2.2 Уравнение массы

Разрушенная масса распределена по зонам разрушения

M₀ = M₁ + (M₀ - M₁),

или в приращениях

M₀ = M₁ + (M₀ - M₁).

Согласно п. 3 предположений для малого диапазона крупности (m, m+dm)

M₀ g(m) m = M₁ g₁(m) m + (M₀ - M₁) g₀(m) m,

откуда

g(m) =  g₁(m) + (1 - ) g₀(m),

где  =M₁/M₀ - доля зоны M₁ в общей массе обломковM₀,

g₁(m) - распределение обломков по массе в зоне M₁,

g₀(m) - распределение для зоны (M₀ - M₁).

Имеем бимодальное распределение осколков разрушенного образца по массе. Для зоны интенсивного дробления уравнение перераспределения по массе в приращениях

dM₁(m, m+dm; z, z+dz) = dM₁(z, z+dz) r(z, m) dm

или

dM₁(m, m+dm) = M₁g₀(z) r(z, m) dz dm,

где z_m, z₀- минимальная и максимальная масса структурных отдельностей (или самого образца), которые образуют в результате разрушения

17

осколки массой в интервале (m, m+dm).

С учетом п. 3 предположений получаем

g₁(m) =g₀(z) r(z, m) dz,

а результирующая плотность принимает вид

g(m) = g₀(z) r(z, m) dz + (1 - ) g₀(m).

Имеем модель скачкообразного изменения системы дефектности в разрушенной массе с помощью интегрального оператора структурного преобразования. В частном случае монолитного образца g₀(z) = (z-z₀) при  = 1, где  - дельта - функция Дирака, и уравнение гранулометрического состава по массе принимает вид

g(m) = r(z₀, m),

Т.Е. Совпадает с законом разрушения исходной структуры.

Таким образом, иерархическая система трещиноватости, сформировавшаяся, например, в объёме горного массива, активизируется и раскрывается при дезинтеграции в обратной последовательности масштабных порядков посредством внешних (технологических) воздействий. Трансформация дефектных структур при добыче и переработке ископаемых моделируется цепочкой преобразований плотности g₀ → g₁ → g₂ , рисунок 6. Этот же рисунок может служить качественной иллюстрацией к цепочке геологических этапов процесса естественной дезинтеграции пород на планете (в природном масштабе времени) типа: «горные массивы, блочность - раздробленные материалы, кусковатость - щебенка, пыль».

2.3 Уравнение энергии

Энергозатраты разрушения образца связаны с необратимыми изменениями и формированием геометрических поверхностей разрушения на разных структурных уровнях процесса. Баланс энергозатрат

18

E = E_k + E_c + E_s.

Рисунок 6 - Трансформация распределений с помощью оператора структурного преобразования в технологической цепочке горного производства «взрыв → дробление → измельчение»

Здесь E - полная энергия, переданная образцу при нагружении.

E_k - кинетическая энергия разлетающихся осколков:

E_k = v²(m) g₁(m) dm + v²(z) g₀(z) dz,

где v(m), v(z)- средняя скорость кусков в зонах разрушения M₁ и (M₀ - M₁) при дезинтеграции образца;

m₀, z₀- максимальная масса кусков в соответствующих зонах.

E_c - потери энергии, связанные с рассеиванием и поглощением в окружающей среде посредством волновых процессов и теплопотерь. Величина E_c зависит от способа и условий разрушения и может быть определена с помощью условного к. п. д. процесса :

E_c = (1 - ) E.

19

Доля E_s энергозатрат связана с образованием новых поверхностей трещин и разделяется по уровням процесса:

E_s = E_s0 + E_s1,

или в терминах удельной энергии

U_m = U_m0 +  U_m1.

Здесь U_m = E/M₀, U_m0 = E_S0/M₀, U_m1 = E_S1/M₁,

E_S0 - энергия, затрачиваемая на раскрытие структуры g₀(z) в (M₀ - M₁)

E_S0 = u_S0 S₀,

где u_s0 - удельная поверхностная энергоёмкость разрушения для нулевого уровня процесса с площадью трещин S₀.

C учётом взаимосвязи линейного размера d, площади поверхности S, объёма V и массы m кусков в предположении их геометрического подобия, имеем

dS₀ = S dn = _S0 d ²=,

или

E_S0 = .

Здесь n - число осколков размера d, поверхности S, объёма V и массы m; _S0, _V0, ₀ - геометрические коэффициенты для обломков крупной фракции,  - объёмная плотность материала. Скачкообразное изменение удельных энергозатрат на различных этапах разрушения иллюстрирует рисунок 7.

Величина E_s1 включает энергозатраты на формирование поверхностей трещин в зоне M₁. Для установления связи параметров разрушенной массы с энергозатратами и детальной оценки различных час-

20

тей последних применим известные энергетические гипотезы, например,

Риттингера U_S(t, x) = u_S1(₁/x - ₀/t);

Бонда U_SV(t, x) = u_SV1(1/x^1/2 - 1/t^1/2);

Ребиндера U_SV(t, x) = u_S1(₁/x - ₀/t) + u_V1.

Рисунок 7 - Распределение энергозатрат по уровням иерархии разрушении

Здесь U- удельная по объёму энергия разрушения (U = E_S/V₀) кусков от крупности t до x; ₀ и ₁ - коэффициенты формы кусков до и после дробления; u_S1, u_V1, u_SV1- удельные энергоёмкости разрушения.