7.1. Графічний метод

Нехай гра 22 задана платіжною матрицею . Гравець A має стратегії A₁, A₂, гравець B – стратегії B₁, B₂. Необхідно визначити оптимальну стратегію для гравця A, тобто змішану стратегію , при застосуванні якої гравець A отримає максимальний гарантований середній виграш.

Середній виграш (або математичне очікування виграшу) гравця A при застосуванні гравцем B стратегії B_j становить

, j=1, 2.

Гарантований середній виграш гравця A:

.

Оскільки , то гарантований виграш гравця A:

.

Рис. 7.1

Таким чином, є мінімумом двох лінійних функцій однієї змінної ; неважко побудувати графіки цих функцій, якщо помітити, що вони мають проходити через точки і , а потім виділити жирну ламану лінію (рис. 7.1), що відповідає .

Оптимальну стратегію визначає точка N, у якій гарантований виграш досягає максимуму; її ордината дорівнює ціні гри v.

Геометрично можна також визначити оптимальну стратегію гравця B, якщо поміняти місцями гравців A і B і замість нижньої границі виграшу розглянути верхню границю програшу.

Аналогічний аналіз може бути проведений для ігор 2n, n2.

Задача 7.2. Швейне підприємство, що випускає дитячі сукні й костюми, реалізує свою продукцію через фірмовий магазин. Збут продукції залежить від стану погоди. За даними минулих спостережень підприємство протягом квітня- травня в умовах теплої погоди може реалізувати 600 костюмів і 1975 суконь, а при прохолодній погоді – 1000 костюмів і 625 суконь. Відомо, що витрати на одиницю продукції протягом вказаних місяців склали для костюмів 27 грн, для суконь 8 грн, а ціна реалізації – відповідно 48 і 16 грн. Визначити оптимальну стратегію підприємства, яка дає змогу отримати максимальний гарантований прибуток.

Рішення

Підприємство (гравець A) має дві чисті стратегії: стратегія A₁ відповідає розрахунку на теплу погоду і стратегія A₂ – на прохолодну. Природу будемо розглядати як гравця B також із двома стратегіями: тепла погода (стратегія B₁) і прохолодна (стратегія B₂).

Якщо підприємство обере стратегію A₁, то у разі теплої погоди (стратегія B₁) прибуток становитиме

грн,

а у разі прохолодної погоди (стратегія B₂)

грн.

Якщо підприємство обере стратегію A₂, то у разі теплої погоди (стратегія B₁) прибуток становитиме

грн,

а у разі прохолодної погоди (стратегія B₂)

грн.

Отже, платіжна матриця даної гри має вид:

_.

Рис. 7.2

Нижня ціна гри верхня ціна . Оскільки , гра не має сідлової точки, і оптимальне рішення шукаємо у змішаних стратегіях . Середній виграш гравця A при стратегії B1 гравця B: або

тому, що . Графік цієї функції проходить через точки і .

Середній виграш гравця A при стратегії B₂: або тому, що . Графік цієї функції проходить через точки і .

Гарантований середній виграш гравця A – мінімум двох даних функцій (жирна ламана лінія (рис. 7.2)). Максимальний гарантований виграш досягається у точці N цієї лінії. Точка N лежить на перетині прямих і . Розв’язуючи систему рівнянь цих прямих, одержуємо , . Таким чином, , ; оптимальна стратегія , ціна гри .

Легко розрахувати, яку кількість костюмів і суконь має випускати підприємство при оптимальній стратегії:

костюмів,

суконь.

Висновок: оптимальна стратегія підприємства полягає у випуску 812 костюмів і 1260 суконь, що забезпечить йому за будь-якої погоди середній прибуток у сумі 16 965 грн.