- •Міністерство освіти і науки України
- •Математичні моделі економічних задач
- •1.1. Задача планування виробництва
- •1.2. Задача складання раціону (задача про дієту, задача про суміші)
- •1.3. Транспортна задача
- •1.4. Задача про мінімізацію відходів
- •К 2ількість шматків
- •1.5. Задача про призначення
- •Загальна постановка задач лінійного програмування (лп)
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Лекція 2
- •Тема 2. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування. Задача лінійного програмування, форми її запису
- •Приведення задачі лп до канонічного виду
- •Приведення задачі лп до симетричного виду
- •Перелік питань для самоперевірки
- •3.1. Визначення вихідного опорного плану
- •3.2. Симплексні таблиці
- •3.3. Поняття про м-метод
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Лекція 4
- •Тема 4. Двоїстість у лінійному програмуванні
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Лекція 5
- •Тема 5. Методика розв’язування транспортної задачі
- •5.1. Приведення задачі до замкненої форми
- •5.2. Визначення вихідного опорного плану
- •5.3. Метод потенціалів
- •Перелік питань для самоперевірки
- •6.1. Метод відсікань Гоморі
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Лекція 6
- •Тема 7. Елементи теорії ігор
- •7.1. Графічний метод
- •7.2. Приведення матричної гри до задачі лінійного програмування
- •Перелік питань для самоперевірки
- •8.2. Задачі нелінійного програмування з нелінійною цільовою функцією та лінійною системою обмежень
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Лекція 8
- •Тема 9. Динамічне програмування
- •9.1. Задача про розподіл коштів між підприємствами
- •Рішення
- •9.2. Задача про заміну обладнання
- •Рішення
- •Перелік питань для самоперевірки
- •Список рекомендованої літератури
1.1. Задача планування виробництва
Підприємство випускає виробів. Для їх виробництва необхідноресурсів (сировини, матеріалів, робочого часу, грошей, машинного часу і т. п.).
Початкові дані наведені в табл. 1.1.
Таблиця 1.1
Вид ресурсу |
Технологічні норми витрат i-го ресурсу на j-й виріб |
Запас ресурсу | |||||
1 |
2 |
... |
... | ||||
1 |
... |
... | |||||
2 |
... |
... | |||||
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... | ||||||
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... | ||||||
Прибуток від одного виробу |
... |
... |
| ||||
Кількість виробів |
... |
... |
|
У таблиці позначено:
–технологічні коефіцієнти (які визначають норми витрат i-го ресурсу на j-й виріб); – запасi-го ресурсу; – ефективністьj-го виробу (наприклад, прибуток). Ці показники вважаються постійними, тобто .
–кількість j-го виробу .
Завдання: скласти такий план випуску виробів , щоб отримати максимальну ефективність(максимальний прибуток).
Математичний опис задачі складається з функції мети
та обмежень:
Побудувати математичну модель задачі.
Задача 1.1. Підприємство, використовуючи три види ресурсів S1, S2 і S3, виробляє продукцію чотирьох видів P1, P2, P3 і P4. Запаси ресурсів, число одиниць ресурсів, необхідних на виробництво одиниці кожного виду продукції, а також прибуток від реалізації одиниці кожного виду продукції, наведені в табл. 1.2.
Таблиця 1.2
Вид ресурсу |
Число одиниць ресурсів, необхідних на виробництво одиниці продукції, умовн. од. |
Запас ресурсу, умовн. од. | |||
P1 |
P2 |
P3 |
P4 | ||
S1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
18 |
S2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
30 |
S3 |
1 |
3 |
3 |
2 |
40 |
Прибуток від од. продукції, грн |
12 |
7 |
18 |
10 |
|
Визначити план випуску продукції, що забезпечить максимальний прибуток.
Рішення
Побудуємо математичну модель задачі.
Позначимо через хj – кількість одиниць продукції j-го виду (j=1, 2, 3, 4), запланованих до виробництва. Для їх виготовлення необхідно х1+2х2+х3 одиниць ресурсу S1, х1+х2+2х3+х4 одиниць ресурсу S2 і х1+3х2+3х3+2х4 одиниць ресурсу S3. Споживання ресурсів S1, S2 і S3 не має перевищувати їх запасів, відповідно 18, 30 та 40 одиниць, тому зв'язок між споживанням ресурсів та їхніми запасами задається системою нерівностей:
(1.1)
Кількість одиниць продукції не може бути від’ємною, тому
(1.2)
Сумарний прибуток f складе грн від реалізації продукціїP1, грн – від реалізації продукціїP2, грн – від реалізації продукціїP3 і грн – від реалізації продукціїP4, тобто
. (1.3)
Отже, математична модель задачі планування виробництва: знайти такий план випуску продукції , що задовольнить системі(1.1) і умові невід'ємності (1.2), при якому функція (1.3) набуде максимального значення