Обчислення похибок при прямих вимірюваннях.

При проведенні прямих вимірювань спочатку обчислюють середнє арифметичне значення виміряної фізичної величини:

, (2)

де n– кількість дослідів.

Потім обчислюють середню квадратичну похибку за формулою:

, (3)

де n– кількість дослідів.

Наступним кроком є обчислення абсолютної похибки за формулою:

, (4)

де - коефіцієнт Стьюдента, який береться з таблиці при відомій кількості дослідівn, та надійностіp, яку при усіх вимірюваннях в даних лабораторних роботах потрібно брати 0,95:

p n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
∞	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

Після цього відносна похибка обчислюється за формулою (1), а результат зручно записувати у вигляді:

при, (5)

де після дужок записується розмірність шуканої фізичної величини, а після "=" числове значення відносної похибки.

Описаний вище метод обчислення похибок носить назву методу Стьюдента.

Обчислення похибок при непрямих вимірюваннях.

Досить часто при експериментальних дослідженнях шукають фізичну величину не прямим шляхом, а опосередковано – через вимірювання інших величин. При цьому шукана фізична величина є функцією останніх:

, (6)

Знаючи явний вигляд рівняння (6) для конкретної лабораторної роботи, потрібно вивести формулу для відносної похибки непрямого вимірювання (у випадку добутку величин ():

, (7)

де – абсолютні похибки вимірювання фізичних величинвідповідно. Ці похибки шукаються методом Стьюдента, або вже є визначеними, про що обов’язково зазначено у лабораторній роботі.

Після цього обчислюється абсолютна похибка шуканої фізичної величини:

(8)

Кінцевий результат записують аналогічно до попереднього методу обчислення похибок у вигляді:

при, (9)

Лабораторне заняття № 2

Сферична аберація оптичних лінз

1. Мета роботи.

Вивчення основних характеристик і дефектів оптичних лінз.

2. Теоретичні відомості.

Лінзоюназивається прозоре тіло з певним показником заломленняn, обмежене однією або двома сферичними (іноді циліндричними) поверхнями. Лінія, що проходить через центри кривизни поверхонь, називаєтьсяголовною оптичною віссю лінзи.

Методи геометричної оптики дозволяють встановити основні оптичні характеристики лінз по відношенню до джерел (предметів), які розташовані поблизу від оптичної осі. Будемо розглядати тонку лінзу, в якої відстань між обмежуючими поверхнями мала в порівнянні з діаметром лінзи.

На рис. 1 зображена тонка опукло-вгнута лінза (меніск), у якоїрадіусипередньоїта задньоїповерхонь позитивні. Розрахунок будемо вести в загальному виді, який застосовний для лінз будь-якої форми (двоопуклої, плоско-вгнутої і т.д.). Оскільки лінза тонка, то відлік відстаней до предметаі до зображенняможна вести практично від однієї точкиP–оптичного центра лінзи. Показники заломлення середовищ, розташованих попереду і позаду лінзи, позначимо відповідно черезn₁ іn₂.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3 Рис. 4

Промені, що виходять від джерела світла S, що лежить на головній оптичній осі, заломившись на передній поверхні лінзи перетнуться в деякій точціS*, яка розташована на відстаніF*від оптичного центра. ВеличинаF*може бути знайдена із співвідношення

(1)

Точка S*по відношенню до задньої поверхні лінзи є джерелом (дійсних або уявних) променів, що заломлюються на цій поверхні. Після заломлення ці промені знову перетнуться в деякій точціS, яка є кінцевим зображенням джерелаS, яке дає лінза. Позначаючи відстань від до оптичного центру через одержуємо

(2)

Віднімаючи почленно рівняння (1) і (2) і виключаючи тим самим величину F*, яка характеризує положення проміжного зображенняS*, отримуємо остаточно:

(3)

Це рівняння дозволяє знайти відстань до зображення , якщо відома відстань до предмета, радіуси кривизни обох поверхонь лінзиR₁ та R₂, показник заломлення речовини лінзиnі показники заломлення середовищ, які розташовані попереду та позаду лінзиn₁іn₂.

Для лінзи, розташованої в однорідному середовищі (наприклад, у повітрі) n₂ =n₁співвідношення (3) спрощується:

. (4)

Вводячи відносний показник заломлення n_відн = n/n₁, можна вивести формулу лінзи до остаточного вигляду:

. (5)

Величина

(6)

називається оптичною силою лінзи, а зворотна їй величина-головною фокусною відстанню. Пучок паралельних променів, які йдуть від нескінченно віддаленого джерела, сходиться в так званомузадньому фокусіна відстаніF₁ = f від її оптичного центра. Промені, що виходять із переднього фокуса лінзиF = —, після заломлення підуть паралельно до головної оптичної осі.

Якщо вимірювати фокусну відстань в метрах, то оптична сила лінзи вимірюватиметься вдіоптріях.

При головна фокусна відстаньпозитивна і ми маємо збірну лінзу. Приклад такої збірної двоопуклої лінзизображений на рис. 2. При<0 отримуємо розсіювальну лінзу. Приклад такої розсіювальної двовгнутої лінзи,наведений на рис. 3.

Пучок паралельних променів, нахилених до головної оптичної осі під малим кутом α, також збирається в одну точку, яка лежить у площині, що проходить через головний фокусФі перпендикулярна до головної оптичної осі (рис. 2). Ця площина називаєтьсяфокальною площиною.

Розглянуті властивості тонких лінз дозволяють геометрично будувати зображення предметів, що являють собою сукупність зображень окремих точок предмета. Якщо предмет лінійний, то при цьому досить побудувати зображення двох його крайніх точок.

Для знаходження зображення кожної окремої точки необхідно геометрично побудувати перетинання променів, що виходять із цієї точки, після їхнього заломлення в лінзі. В принципі при цьому досить знайти перетинання будь-яких двох із цих променів. Практично ж, якщо відомі положення оптичного центру і головних фокусів, легко побудувати три промені та проконтролювати себе, перевіряючи, чи перетнуться всі вони в одній точці.

Для прикладу на рис. 4 побудовано зображення лінійного предмета АВ, отримане за допомогою збірної лінзи. Із загального пучка променів, що виходять із точки А, виділимо три промені:1,2і3. Промінь1йде паралельно головній оптичній осі та після заломлення проходить через задній фокус Ф'.

Промінь 2проходить через передній головний фокус Ф і після заломлення піде паралельно головній оптичній осі. Нарешті промінь3, що проходить через оптичний центр лінзи, проходить зовсім не заломлюючись. Перетин цих трьох променів дає точку, яка є зображенням краюАпредмета. Опускаючи зперпендикуляр на головну оптичну вісь, знайдемо точку, яка є зображенням другого краю предметаВ.

Предмет АВна рис. 4 розміщений на відстаніF, більшій за головну фокусну відстань. Як видно з рисунка, у цьому випадку зображення предметазбільшене та перевернуте. Так як точки зображення є перетинами самих променів, а не їхнім продовженням, то таке зображення буде дійсним.

При виводі основних співвідношень для лінзи передбачалося, що пучок променів, що виходять із кожної світної точки, після заломлення сходиться в певній точці зображення. Таке зображення називається стигматичним. З міркувань також слідує, що це припущення виконується приблизно для вузьких пучків променів, що йдуть поблизу головної оптичної осі (параксіальні промені).Для збільшення світлосили лінзи потрібно збільшувати вхідну зіницю і використовувати промені, що падають під більшими кутами до поверхні, що й приводить до появи спотворень, об'єднаних загальним терміном дефекти лінз. У цій роботі розглядається сферична аберація.