Іі. Випадкові величини та процеси

1. Закон розподілу дискретної випадкової величини заданий таблицею:

х	–7	– 6	–5	– 4	–3
р	0,2	0,25	0,1	0,15	0,3

Знайти функцію розподілу випадкової величини х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

2. Інтегральна функція розподілу випадкової величини х має вигляд

Потрібно: а) знайти коефіцієнт ; б) знайти функцію щільності розподілу ; в) побудувати графіки функцій і ; г) знайти імовірність того, що випадкова величина X набуде значення з інтервалу (0,25; 0,5).

3. Випадкова величина Х задана функцією щільності розподілу:

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) знайти функцію розподілу ; в) побудувати графіки функцій і ; г) знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини

4. Екзаменатор задає студентові додаткові питання. Імовірність того, що студент відповість на задане питання дорівнює 0,9. Викладач перериває іспит, як тільки студент виявляє незнання заданого питання або коли кількість запитань досягає 5. Знайти закон розподілу числа додаткових питань. Визначити математичне сподівання випадкової величини.

5.  На верстаті виготовляється 90 % деталей без дефектів. Скласти закон розподілу числа дефектних деталей, виявлених в результаті перевірки 3-х довільних деталей. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.

6. Книга має 1000 сторінок. Ймовірність помилки при наборі тексту на будь-якій сторінці постійна і рівна 0,002. ДВВ Х – кількість помилок в книжці. Скласти закон розподілу числа помилок в книжці. Знайти М(Х), D(X), (X).

7. З упаковки, яка містить 10 дискет, серед яких 3 браковані, навмання взяли дві дискети. Випадкова величина – число бракованих дискет серед відібраних. Скласти закон розподілу числа бракованих дискет серед відібраних. ЗнайтиМ(Х), D(X), (X).

8. Відомо, що випадкові величини Х та У незалежні і М(Х)=3; М(У)=4. Знайти М(Z), D(Z), (Z), якщо Z=5X–8Y+4

9. Випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку [3;18]. Знайти М(Х), D(X), (X), побудувати графіки функцій f(x) та F(x), обчислити ймовірності подій Р(4<Х<10) та Р(Х<12).

10. Статистичні дослідження показали, що річний прибуток працівника страхового бізнесу має нормальний розподіл з середнім значенням 8000 гривень і середньо-квадратичним відхиленням 1000 гривень. Навмання відібрано особу, що працює в страховому бізнесі. Яка ймовірність того, що її річний прибуток буде:

а) менше, ніж 6000 гривень;

б) не менше, ніж 10000 гривень;

с) між 7500 та 9200 гривень.

11. Величина Х розподілена за законом:

Знайти М(Х), D(X),  (X), Р(0,2<X<0,4) i P(X1).

12.Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин Х і Y, якщо задано двовимірний розподіл цих величин:

Х Y	1	2	3
–3	0,4	0,05	0,05
–2	0,1	0,3	0,1

13.Закон розподілу системи двох випадкових величин заданий таблицею:

	0	1	2
1	0,2	0,1	0,4
2	0,1	0,1	0,1

Знайти: а) закони розподілу та; б) числові характеристикита;

в) ,; г),.

14.Закон розподілу дискретної випадкової величини заданий таблицею:

	-3	2	3	10
	0,3	0,3	0,2	0,2

Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини ,

М(У), D(У),  (У)

15. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу . Знайти функцію розподілу, щільність розподілу ймовірностей і числові характеристики випадкової величини .

16. Неперервна випадкова величина задана функцією розподілу . Знайти функцію розподілу, щільність розподілу ймовірностей і числові характеристики випадкової величини

17. Оцінити ймовірність того, що з 800 малих підприємств збанкрутує не менше 50, якщо ймовірність банкрутства будь-якого навмання взятого малого підприємства постійна і рівна 0,05.

18. Середня температура в приміщенні в період опалюваль­ного сезону дорівнює 20^о С, а середнє квадратичне відхилення дорівнює 2^о С. За допомогою нерівності Чебишова оцінити знизу ймовірність того, що температура в квартирі відхилиться від середньої менше, ніж на 4^о С.

19. Ймовірність того, що телевізор витримає гарантійний термін роботи дорівнює 0,95 для всіх 200 телевізорів, які обслуговує гаран­тій­­на майс­тер­ня. Оцінити ймовірність того, що число телевізорів, які вит­ри­мають гарантійний термін роботи, буде в межах [185;195].

20. Реалізація випадкового процесу виходить в результаті підкидання грального кубика 5 разів. На інтервалі значення реалізації дорівнює наслідку-го підкидання грального кубика. Треба:

а) Зобразити отриману реалізацію, якщо наслідками п’яти підкидань є 5,2,6,4,1.

б) Визначити, скільки різних реалізацій даного випадкового процесу можна отримати.

в) Визначити ймовірність того, що буде спостерігатися реалізація з п. а).

г) Визначити ймовірність того, що буде спостерігатися реалізація, яка складається тільки з цифри 3.

21. На вхід інтегрувального пристрою подається випадковий процес з характеристиками , . Визначити характеристики випадкового процесу на виході.

22. При яких значеннях параметрів матриця

буде стохастичною?

23. Ланцюг Маркова має матрицю переходу за один крок

Знайти матрицю переходу за два кроки.

24. Кожний водій автопідприємства заправляє свою машину 1 раз на тиждень на одній з трьох автозаправок. На одному з тижнів було опитано 100 водіїв: 50 водіїв заправляються на першій заправці, серед них 45 наступного тижня будуть заправлятись на першій, 4 – на другій і 1 – на третій заправках; 20 водіїв заправляються на другій заправці, серед них 8 наступного тижня будуть заправлятись на першій, 6 – на другій і 6 – на третій заправках; 30 водіїв заправляються на третій заправці, серед них 21 наступного тижня будуть заправлятись на першій, 3 – на другій і 6 – на третій заправках. Треба:

а) знайти матрицю перехідних ймовірностей ;

б) побудувати граф, що відповідає матриці ;

в) знайти кількість водіїв, що будуть заправлятись на кожній заправці через 2 тижні;

г) знайти стаціонарний розподіл ймовірностей.

25. Побудувати граф за матрицею перехідних ймовірностей

.

26. На колі розміщені 6 точок: , рівновіддалених одна від одної. Частинка рухається з точки в точку наступним чином: з даної точки вона переміщується в одну з найближчих сусідніх точок з ймовірністюабо в діаметрально протилежну точку з імовірністю. Записати матрицю ймовірностей переходу для цього процесу і побудувати граф, відповідний цій матриці.

27. Нехай випадковий процес являє собою число викликів, які поступили на телефонну станцію за час. Інтенсивність (середнє число) викликів в одиницю часу дорівнює .

Знайти:

а) закон розподілу значення випадкового процесу і його числові характеристики.

б) ймовірність того, що за час надійде не менше 2 викликів.