Зміст практичного заняття
Завдання
1.
Обчислити лінійну форму
з вектором змінних
і коефіцієнтами
над
кільцем
,
.
,
|
№ |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
2 |
|
4 |
4 |
2 |
|
5 |
0 |
4 |
|
6 |
1 |
3 |
|
7 |
1 |
1 |
|
8 |
4 |
1 |
|
9 |
0 |
2 |
|
10 |
3 |
3 |
Завдання
2.
Знайти добуток матриць
над полем
,
.
|
№ |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
4 |
4 |
|
2 |
1 |
2 |
3 |
0 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
4 |
4 |
2 |
1 |
3 |
|
5 |
2 |
3 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
3 |
2 |
1 |
|
7 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
8 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|
9 |
3 |
2 |
3 |
4 |
|
10 |
1 |
3 |
4 |
3 |
Завдання
3.
Для підстановок
і
Знайти добуток
;Знайти обернену підстановку для підстановки
;Записати добуток
у
вигляді підстановочної матриці;Визначити циклову структуру
і знакпідстановки
,
.
|
№ |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
3 |
5 |
1 |
|
4 |
7 |
1 |
|
5 |
1 |
2 |
|
6 |
3 |
2 |
|
7 |
5 |
2 |
|
8 |
7 |
2 |
|
9 |
1 |
3 |
|
10 |
3 |
3 |
Завдання
4.
Обчислити
за означенням
над полем
.
|
№ |
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
–1 |
|
4 |
2 |
–2 |
|
5 |
3 |
–2 |
|
6 |
2 |
1 |
|
7 |
3 |
2 |
|
8 |
2 |
–1 |
|
9 |
3 |
4 |
|
10 |
2 |
4 |
Завдання
5.
Для заданих
розв’язати задачу Лагранжа.
,
|
№ |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
Завдання
6.
Обчислити многочлен
від матриці
з множини
,
,
,
,
над полем
.
|
№ |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
3 |
2 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
|
5 |
2 |
3 |
|
6 |
3 |
3 |
|
7 |
2 |
4 |
|
8 |
3 |
4 |
|
9 |
2 |
5 |
|
10 |
3 |
5 |
Завдання
7.
Побудувати
характеристичний та мінімальний
многочлени матриці
над полем
.
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
–2 |
–2 |
–1 |
|
2 |
–4 |
2 |
–2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
–2 |
–2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
–1 |
|
4 |
3 |
1 |
–2 |
1 |
–1 |
2 |
1 |
–2 |
3 |
|
5 |
3 |
–1 |
–3 |
–2 |
0 |
1 |
–4 |
–2 |
–1 |
|
6 |
–2 |
2 |
–3 |
4 |
0 |
3 |
2 |
–2 |
4 |
|
7 |
–2 |
4 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
–2 |
–1 |
|
8 |
–4 |
–3 |
3 |
3 |
–4 |
–3 |
0 |
–3 |
–1 |
|
9 |
3 |
–3 |
2 |
–1 |
0 |
3 |
–1 |
3 |
0 |
|
10 |
1 |
–3 |
–2 |
–2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Завдання
8. Побудувати
мінімальний многочлен вектора
відносно матриці
над полем
.
,
.
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
6 |
2 |
1 |
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
7 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
8 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
9 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
10 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
2 |
0 |
Завдання 9. Знайти власні значення, власні вектори і власні підпростори лінійного оператора у дійсному векторному просторі, який в заданому базисі має матрицю:
|
№ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
Контрольні питання
Що називається оператором в векторному просторі?
Що називається лінійним оператором в векторному просторі?
Які властивості має лінійний оператор?
Як побудувати матрицю лінійного оператора?
Як діє лінійний оператор на вектор, заданий в координатному вигляді?
Що називається сумою лінійних операторів?
Що називається добутком лінійного оператора на число?
Що називається добутком лінійних операторів?
Що називається лінійною формою?
Що називається підстановкою?
Як підстановку задати матрицею?
Що таке цикл і як записати підстановку у вигляді добутку циклів?
Що таке циклова структура підстановки?
Що таке транспозиція?
Що таке знак підстановки?ї
Сформулюйте означення детермінанту матриці.
Довести за означенням детермінанту, що
,
а
.Поясніть зміст формули повного розгортання визначника.
У чому полягає задача Лагранжа?
Що таке характеристичний многочлен матриці?
Що таке мінімальний многочлен матриці?
Як пов’язані між собою характеристичний та мінімальний многочлени матриці?
Що таке мінімальний многочлен вектора відносно матриці? Як його побудувати?
Як знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора?
Як визначити власний підпростір лінійного оператора?
Література:
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.
Кузнєцов Г.В., Фомичов В.В., Сушко С.О., Фомичова Л.Я. Математичні основи криптографії. – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет, 2004. – 391 с.
Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Теория и прикладные аспекты. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 576 с.
Порядок виконання роботи.
Вивчити короткі теоретичні відомості з теми заняття, користуючись конспектом лекції і рекомендованою літературою.
Виконати практичні завдання за своїм варіантом.
Скласти звіт, приєднавши отримані результати.
Вимоги до звіту.
У звіті мають бути приведені:
Короткі відомості про вивчені властивості цілих чисел.
Розв’язання свого варіанту з необхідними поясненнями.
Відповіді на контрольні питання.