Ііі. Розміщення

Упорядковані підмножини n-елементної множини. Кількість розміщень із різних елементів

Означення 4. Множину, що містить n різних елементів, розіб’ємо на впорядковані підмножини, які містять по k елементів (k≤n) і різняться між собою упорядкованістю елементів (порядком розташування) та (або) принаймні одним елементом (деякі з них при k≤n/2 можуть різнитися також і всіма елементами). Такі підмножини n-елементної множини називають роміщеннями із n різних елементів по k елементів.

Оскільки число різних неупорядкованих k-елементних підмножин n-елементної множини дорівнює числу С_n^k сполучень із n різних елементів по k елементів і обчислюється за формулою (5), і оскільки кожну із таких множин можна упорядкувавти П_k способами (число переставлень із k елементів), то застосувавши основне правило комбінаторики (3), дістаємо формулу підрахунку кількості розміщень із n елементів по k елементів:

= (6)

Кількість розміщень із повтореннями елементів

Нехай є деяка множина із елементів різних типів (n типів), і елемент кожного типу в цій множині повторюється довільне число разів. Розглянемо розміщення із цих елементів, що містять k елементів з усіма можливими повтореннями серед цих k елементів (разом з можливою відсутністю повторень у випадку k≤n). На відміну від розміщень різних елементів, (6), для розміщень із повтореннями число k елементів в розміщенні з повтореннями може бути більшим від числа n різних елементів.

Для кількості розміщень із n елементів по k елементів з повтореннями елементів має місце формула

. (6₁)

Приклад 6. Кількість різних 8-значних двійкових слів, які можна побудувати за допомогою символів 1 та 0, є число розміщень з 2-х елементів по 8 із всіма можливими повтореннями серед цих 2-х елементів і обчислюється за формулою (6₁) при n=2, k=8: g_n^k=g₂⁸=2⁸=256. Для прикладу, запишемо одне із 8-значних двійкових слів: 10000001. 

Приклад 7. Скількома різними способами можуть розподілитися семеро пасажирів ліфта при виході від 2-го до 5-го поверхів?

 Вкажемо таблицею один із можливих розподілів

Пасажир	1	2	3	4	5	6	7
№ поверху	5	5	5	5	2	3	4

Згідно з таблицею кожному розподілу пасажирів на поверхах 2, 3, 4, 5 відповідає певне семизначне число із 4-х символів – розміщення з повтореннями із 4-х різних елементів по 7 елементів. Загальна кількість таких розміщень обчислюється за формулою (6₁) при n=4, k=7: g_n^k=g₄⁷=4⁷=16384. 

Запитання. Чи є еквівалентними розв’язаній задачі наступні задачі:

Скількома способами можуть розподілитися 7 однакових куль по 4-х лузах?

Скількома способами можуть бути розподіленими 7 призів серед 4-х осіб?

Означення 5. Множини, для елементів яких має місце взаємно-однозначна відповідність, називаються еквівалентними. Справедлива теорема: для того, щоб множини були еквівалентними, необхідно і достатньо, що вони мали однакову кількість елементів.

2. Основні теореми теорії ймовірностей

В багатьох задачах складні події, імовірності яких потрібно знайти, представляють у вигляді комбінацій інших, більш „простих” подій, при цьому ймовірності останніх або відомі, або легко підраховуються безпосередньо. В таких випадках можна використати формули (теореми), які виражають ймовірності суми та добутку подій через ймовірності відповідних доданків та співмножників.

2.1. Умовна ймовірність, формула обчислення та властивості. Незалежність випадкових подій. Теореми про ймовірність суміщення випадкових подій

Ймовірність Р(А) як міра об’єктивної можливості появи події має смисл при виконанні певного комплексу умов. Якщо умови змінити, то ймовірність події А може змінитись. Так, коли до комплексу умов, при яких вивчалась ймовірність події А, додати нову умову – появу події В, то ймовірність події А, розраховану за умови, що має місце подія В (подія В здійснюється чи здійснилася), називають умовною ймовірністю події А відносно В і позначають Р(А/В) або Р_В(А).

Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої. У протилежному випадку події А і В – незалежні (незалежні за ймовірністю).

Умовна ймовірність обчислюється за формулою

. (7)

Цю формулу вважають визначенням умовної ймовірності випадкової події А або Аксіомою 4 теорії ймовірностей.