2.2. Теорема про ймовірність суми 2-х сумісних подій

Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

, (15)

тобто, ймовірність появи принаймні однієї з 2-х подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без ймовірності сумісної появи цих подій.

Д Рис.1оведення

Подамо суму сумісних подій ВС у вигляді суми несумісних подій:

. (16)

Наглядну ілюстрацію рівності (16) зображено на Рис.1, де подію (С без В, тобто С\В) подано у вигляді сітки із горизонтальних ліній (подія ) і вертикальних ліній (подіяС).

Застосуємо до суми 2-х несумісних подій аксіому аддитивності:

. (17)

Другий доданок в (17), ,виразимо через ймовірність Р(С) у такий спосіб: подамо подію С сумою несумісних подій, , і застосуємо до цієї суми аксіому аддитивності:

. (18)

Виразивши звідси величину і підставивши відповідний вираз у рівність (17), дістанемо рівність ,ідентичний із формулою (15), що й треба було довести.

Зауваження 6. Формулу (15) для ймовірності суми сумісних подій неважко довести для випадку геометричної чи класичної ймовірності. Зупинимося на останній.

Із комбінаторики нам відоме правило підрахунку числа елементів суми кількох множин (див. формулу (2)):

,

тобто, у випадку спільних елементів із загальної суми елементів N(А)+N(В) спільні вилучаються, оскільки в суму ввійшли двічі. Якщо N(А), N(В) – кількість елементарних подій, які сприяють відповідно кожній із подій А, В, то розділивши почленно обидві частини записаної рівності на загальну кількість рівноможливих подій простору  елементарних подій, дістанемо формулу (15) для ймовірності суми сумісних подій.

Наслідок Теореми про ймовірність суми 2-х сумісних подій

Для випадку трьох сумісних подій запишемо:

Р(А+В+С)=Р[(А+В)+С]=Р(А+В)+Р(С)–Р[(А+В)С]=

=[Р(А)+Р(В)–Р(АВ)]+Р(С)–Р[АС+ВС]=

=Р(А)+Р(В)+Р(С)–Р(АВ)–Р(АС)–Р(ВС)+Р(АВС),

оскільки (АС)(ВС)=АВС.

Отже, формула ймовірності суми сумісних подій швидко ускладнюється зі збільшенням числа цих подій. У таких випадках доцільно застосовувати формулу, що пов’язує ймовірності протилежних подій:

3. Застосування теорем теорії ймовірностей до розрахунку надійності простих систем

Означення 7. Надійністю роботи системи називається ймовірність р її безвідмовної роботи.

В багатьох випадках деяку систему можна подати схематично у вигляді блоків із послідовного та паралельного з’єднання її елементів. Надійність кожного елемента визначається виробничою технологією і вважається відомою.

Нехай блок системи складається із n елементів, що мають надійності р_і, відповідно ймовірності відмови елементів дорівнюють: 1р_і (i=1,2,,n).

За послідовного з’єднання всіх елементів системи для безвідмовної роботи кожен її елемент має працювати без відмови, тому надійність системи обчислюється за формулою ймовірності добутку незалежних подій,

р=р₁р₂р_n. (19)

За паралельного з’єднання всіх елементів системи (задубльоване з’єднання) для безвідмовної роботи принаймні один із її елементів має працювати, тобто безвідмовна роботи системи є сумою n сумісних подій, тому для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи системи доцільно застосувати формулу, що пов’язує ймовірності протилежних подій, і для надійності системи дістанемо:

р=1-(1-р₁)(1-р₂)(1-р_n). (20)