3.6. Податки і інфляція

В розглянутих вище методах визначення нарощеної суми не враховувалися такі важливі моменти, як податки і інфляція. Торкнемося цієї проблеми.

Податок на отримані відсотки. У ряді країн отримані (юридичними, а іноді і фізичними особами) відсотки оподатковуються, що, природно, зменшує реальну нарощену суму і прибутковість депозитної операції.

Позначимо нарощену суму до виплати податків, через S, а з урахуванням їх виплат як S". Нехай ставка податку на відсотки дорівнює g, а загальна сума податку G.

При нарахуванні податку на відсотки можливі два варіанти: податок нараховується за весь термін відразу, тобто на всю суму відсотків, або послідовно по періодах, наприклад в кінці кожного року.

При нарахуванні простих відсотків за весь термін знаходимо

(3.16)

(3.17)

Таким чином, облік податку при визначенні нарощеної суми зводиться до відповідного скорочення процентної ставки — замість ставки i фактично застосовується ставка (1 - g)i. Розмір податку пропорційний терміну.

Перейдемо до довгострокових операцій з складними відсотками. Почнемо з варіанту визначення податку за весь термін. Його сума дорівнює

(3.18)

Нарощена сума після виплати податку складе

S" = S - G = P[(1 - g)(1 + i)ⁿ + g] (3.19)

По другому варіанту сума податку визначається за кожний минулий рік. Ця величина змінна — із зростанням нарощеної суми росте і сума податку. Розрахуємо податок на відсотки за 1-й рік:

G_t = (S_t - S_t-1)g = P[(1 + i)^t - (1 + i)^t-1]g = P(1 + i)^t-1 i g (3.20)

За весь термін сума податків дорівнює отриманої вище величині:

(3.21)

Інакше кажучи, метод стягнення податку не впливає на загальну його суму. Проте, для платника податку далеко небайдуже, коли він його виплачує.

ПРИКЛАД 4.17. Нехай ставка податку на відсотки дорівнює 10%. Процентна ставка — 30% річних, термін нарахування відсотків — 3 роки. Первинна сума позики 1 млн грн. Визначимо розміри податку на відсотки при нарахуванні простих і складних відсотків.

При нарахуванні простих відсотків за весь термін отримаємо наступні розміри нарощеної суми:

1900 тис. грн. без сплати податку

S" = 1000[1 + 3(1 - 0,1)0,3]= 1810 тис. грн. з урахуванням виплати податку.

Нарахуємо тепер складні відсотки:

2197 тис. грн. без сплати податку

S" = 1000 [(1 - 0,1)(1 + 0,3)³ + 0,1] = 2077,3 тис. грн. з урахуванням його виплати за весь термін відразу. Сума податку дорівнює 119,7 тис. грн.

При послідовній виплаті податку:

за перший рік виплачується 1000 х 0,1 х 0,3 = 30 тис. грн., податок за другий рік 1000 х 1,3 х 0,3 х 0,1 = 39. Нарешті, за третій рік 1000 х 1,3² х 0,3 х 0,1 = 50,7. Загальна сума податку дорівнює 119,7 тис. грн.

Інфляція. В розглянутих вище методах нарощування всі грошові величини вимірювалися за номіналом. Інакше кажучи, не бралося до увагизниження реальної купівельної спроможності грошей за період, охоплюваний операцією. Проте в сучасних умовах інфляція в грошових відносинах грає помітну роль, і без її урахування кінцеві результати часто є умовною величиною.

Інфляцію необхідно враховувати принаймні в двох випадках: при розрахунку нарощеної суми грошей і при вимірюванні реальної ефективності (прибутковості) фінансової операції. Зупинимося на цих проблемах.

Введемо позначення:

S — нарощена сума грошей, розрахована за номіналом

С — нарощена сума з урахуванням її знецінення

J_p— індекс цін

J_с — індекс, що характеризує зміну купівельної спроможності грошей за період.

Очевидно, що

С = S x J_c. (3.22)

Індекс купівельної спроможності грошей, як відомо, рівний зворотній величині індексу цін — чим вище ціни, тим нижче купівельна спроможність:

(3.23)

Вказані індекси, природно, повинні відноситися до однакових інтервалів часу. Нехай, наприклад, сьогодні отримано 150 тис. грн. Відомо, що за два попередні роки ціни збільшилися в 1,5 рази (або підвищення на 50%), J_p = 1,5, індекс купівельної спроможності грошей рівний 1/1,5. Отже, реальна купівельна спроможність 150 тис. грн. складе 150/1,5 = 100 тис. грн. в грошах з купівельною спроможністю дворічної давності.

Неважко зв'язати індекс цін і темп інфляції. Під темпом інфляції h розуміється відносний приріст цін за період; звичайно він вимірюється у відсотках і визначається як

(3.24)

У свою чергу

(3.25)

Наприклад, якщо темп інфляції за період рівний 30%, то це означає, що ціни виросли в 1,3 рази.

Інфляція є ланцюговим процесом. Отже, індекс цін за декілька періодів дорівнює добутку ланцюгових індексів цін:

(3.26)

де h_t— темп інфляції в періоді t.

Нехай тепер мова піде про майбутнє. Якщо h — постійний очікуваний (або прогнозований) темп інфляції за один період, то за п таких періодів отримаємо

(3.27)

Найгрубішою помилкою, яка, на жаль, зустрічається в практиці, є підсумовування (!) темпів інфляції окремих періодів для отримання узагальнюючого показника інфляції за весь термін. Що, помітимо, істотно занижує величину одержуваного показника.

ПРИКЛАД 4.18. Постійний темп інфляції на рівні 5% в місяць приводить до зростання цін за рік в розмірі

J_p = 1,05¹² = 1,796.

Таким чином, дійсний річний темп інфляції рівний 79,6%, а не 60% як при підсумовуванні.

Продовжимо приклад. Нехай прирости цін по місяцях склали: 1,5; 1,2 і 0,5%. Індекс цін за три місяці згідно (3.26) дорівнює:

J_p = 1,015 х 1,012 х 1,005 = 1,0323.

Темп інфляції за три місяці 3,23%.

Повернемося до проблеми знецінення грошей при їх нарощуванні. Якщо нарощування проводиться по простій ставці, то нарощена сума з урахуванням купівельної спроможності дорівнює

(3.28)

Як бачимо, збільшення нарощеної суми з урахуванням її інфляційного знецінення має місце тільки тоді, коли 1 + ni > J_p.

ПРИКЛАД 4.19. На суму 1,5 млн грн. протягом трьох місяців нараховуються прості відсотки по ставці 28% річних, отже, нарощена сума, дорівнює 1,605 млн грн. Щомісячна інфляція характеризується темпами 2,5; 2,0 і 1,8%. Індекс цін рівний 1,025 х 1,02 х 1,018 = 1,06432. З урахуванням знецінення нарощена сума складе

= 1,508 млн грн.

Звернемося тепер до нарощування по складних відсотках. Нарощена сума з урахуванням інфляційного знецінення знаходиться як

(3.29)

Величини, на які помножаються Р у формулах (3.28) і (3.29), є множниками нарощування, що враховують очікуваний рівень інфляції. Подивимося тепер, як впливають складна ставка i і темп інфляції h на значення цього множника. Очевидно, що якщо середньорічний темп інфляції дорівнює процентній ставці, то зростання реальної суми не відбудеться — нарощування поглинатиметься інфляцією, і отже, С = Р. Якщо h/100 > i, то спостерігається "ерозія" капіталу — його реальна сума буде менше первинної. Тільки за ситуації, коли h/100 < i, відбувається реальне зростання, реальне накопичення. Очевидно, що при нарахуванні простих відсотків ставка, компенсуюча вплив інфляції, відповідає величині

(3.30)

Ставку, що перевищує критичне значення i' (при нарахуванні складних відсотків i’ = h), називають позитивною ставкою відсотка

Власники грошей, зрозуміло, не можуть змиритися з їх інфляційним знеціненням і роблять різні спроби компенсації втрат. Найпоширенішим є корегування ставки відсотка, по якій проводиться нарощування, тобто збільшення ставки на величину так званої інфляційної премії. Підсумкову величину можна назвати брутто-ставкою.

Визначимо брутто-ставку (позначимо її як r) за умови повної компенсації інфляції. При нарощуванні по складній процентній ставці знаходимо брутто-ставку з рівності

(3.31)

Звідки

(3.32)

На практиці скореговану по темпу інфляції ставу часто розраховують простіше, а саме

(3.33)

Формула (3.32) по порівнянню з (3.33) містить один додатковий член, яким при незначних величинах i і h можна нехтувати. Якщо ж вони значні, то помилка (не на користь власника грошей) стане відчутною. Наприклад, навіть при i = 5% і h = 1% "внесок" цієї величини в брутто-ставку складе 0,005, або 0,5%. Брутто-ставка в цьому випадку дорівнює 5,5% (замість 5% по формулі (3.33). Проте при річній інфляції в 100% і тій же початковій ставці нарощування брутто-ставка збільшується вже до 0,05 + 1 + 0,05 х 1 = 1,1, тобто до 110%.

При нарощуванні по простих відсотках маємо

(3.34)

де J_p — індекс цін за період, що враховується.

Очевидно, що при великих темпах інфляції корегування ставки має сенс тільки для коротко- або в крайньому випадку середньострокових операцій.

Перейдемо тепер до вимірювання реальної прибутковості фінансової операції, тобто прибутковості з урахуванням інфляції. Якщо r оголошена норма прибутковості (або брутто-ставка), то реальний показник прибутковості у вигляді річної процентної ставки i можна визначити при нарощуванні складних відсотків на основі (3.32):

(3.35)

Якщо брутто-ставка визначається по спрощеній формулі (3.33), то

(3.36)

Аналогічний за змістом показник, але при нарахуванні простих відсотків, знаходимо як

(3.37)

Як бачимо, реальна прибутковість тут залежить від терміну операції. Позитивної проста ставка i може бути тільки за умови, що 1 + пr > J_p.

ПРИКЛАД 4.20. Розрахуємо реальну річну ставку для наступних умов: річний темп інфляції — 20%, брутто-ставка —25% річних, п = 0,5 роки. Індекс цін за половину року: 1,2⁰⁵ = 1,0954.

Для простих відсотків отримаємо

Змінимо умови задачі. Нехай термін тепер рівний 5 рокам і йдеться про складну ставку. Індекс цін за цей період 1,7. В цьому випадку

,

Компенсації інфляції можна досягти і шляхом індексації початкової суми заборгованості. В цьому випадку

(3.38)

14