- •Введение
- •Глава I определениясистемного анализа
- •Системность - общее свойство материи
- •Определения системного анализа
- •Понятие сложной системы
- •Характеристика задач системного анализа
- •Особенности задач системного анализа
- •Глава 2 характеристика этапов системного анализа
- •Процедуры системного анализа
- •Анализ структуры системы
- •Построение моделей систем
- •Исследование ресурсных возможностей
- •Определение целей системного анализа
- •Формирование критериев
- •Генерирование альтернатив
- •Реализация выбора и принятия решений
- •Внедрение результатов анализа
- •Глава 3 построение моделей систем
- •Понятие модели системы
- •Агрегирование - метод обобщения моделей
- •Глава 4 имитационное моделирование - метод проведения системных исследований
- •Сущность имитационного моделирования
- •Композиция дискретных систем
- •Содержательное описание сложной системы
- •Глава 5 теория подобия - методология обоснования применения моделей
- •Модели и виды подобия
- •Основные понятия физического подобия
- •Элементы статистической теории подобия
- •Глава 6 эксперимент - средство построения модели
- •Характеристика эксперимента
- •Обработка экспериментальных данных
- •Глава 7 параметрические методы обработки экспериментальной информации
- •7.1. Оценивание показателей систем и определениеихточности
- •7.2. Использование метода максимального правдоподобия для оценивания параметров законов распределения
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •7.5. Примеры оценки показателей законов распределения
- •Глава 8
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Формулировка теоремы Байеса для событий
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •8.3. Вычисление апостериорной плотности при последовательном накоплении информации
- •Достаточные статистики
- •Сопряженные распределения
- •8.9. Оценивание параметров семейства гамма-распределений
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Глава 9
- •Общие замечания
- •Ядерная оценка плотности
- •Глава 10
- •Задача линейного программирования
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Метод искусственных переменных
- •Дискретное программирование
- •Нелинейное программирование
- •Глава 11 системный анализ и модели теории массового обслуживания
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Замкнутые системы с ожиданием
- •11.5. Пример расчета надежности системы с ограниченным количеством запасных элементов
- •Глава 12 численные методы в системном анализе
- •Метод последовательных приближений
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
- •Глава 13 выбор или принятие решений
- •Глава I определения системного анализа 7
- •Глава 2 33
- •Глава 3 построение моделей систем 53
аналогично
писать
*
Л
Hn
9-GjT 7]
i=i
dl(Q,T)
_
ч
эе
к
Iti
і=1
-el?;
-9S7';
;=1
ехр
Как
видно из последнего выражения, даже в
самом простом случае экспоненциального
распределения наработки до отказа
параметры распределения приходится
оценивать численными методами. Поэтому
можно считать выражение (7.11)
окончательным,
дальнейшее преобразование которого
нецелесообразно. Процедура оценивания
параметров закона распределения
реализуется исключительно численными
методами.
В
данном параграфе приведем результаты
вычисления параметров законов
распределения и определения точности
в их оценке для ряда законов, имеющих
наиболее широкое применение в системном
анализе.
Вначале
подведем некоторые итоги. Остановимся
еще раз на обозначениях, используемых
при расчете показателей:
9
-
параметр закона распределения; {Т.}
- реализации наблюдаемой случайной
величины (наработки до отказов); F(9,
Г.)
- функция распределения случайной
величины, fib,
Г.)
- плотность распределения. Функция
правдоподобия обозначается через
/-(9,7),
логарифмическая
функция правдоподобия /(9,7),
причем
/(9,7)
=
InL(QtT);
к-
объем
выборки полных наработок, V
-
количество цензурированных данных,
т.е. TitT2,...,
Tk
-
реализации полных и TT'
-
цензурированных наработок.
Для
группированных данных имеем следующую
информацию: моменты контроля
исправности функционирования оборудования
^1,
^2,.
•.,
^jt,
где
0
<
4,<
£2<...<
<°°.
В
моменты контроля выявляется количество
отказавших в интервале времени (£
,
£.]
устройств,
т.е. наблюдаемыми случайными величинами
являются целые неотрицательные числа,
характеризующие количество отказавших
объектов на рассматриваемом интервале:
Ari,
N2,...,
NM;
Nj
-
число устройств, отказавших в интервале
(£м,
у.
Как и ранее функцию правдоподобия для
полных наработок будем писать без
индекса
1=1
для
данных, имеющих наряду с полными
цензурированные справа наработки,
будем использовать обозначение
После
сделанных обозначений приведем
результаты оценивания параметров
законов распределения и оценок дисперсии
данных показателей.
Экспоненциальное
распределение
1.
Для полных наработок имеем:
к
f
к
\
L(Q,Т)
=
П0ехр(-87’)
=
8*
ехр|
Ti
Таким
образом, в данном случае решение
получается в явном виде.
2.
Для
данных, содержащих полные и цензурированные
справа наработки:
\
Г
_к_
\
П/тоП
F(®-r>>
.'=1 J=I
для
цензурированных интервалом или
группированных данных
*+i
,
для имеющих цензурированные слева
наработки будем
Ln(QJ)
=
Пехр(-Є7;')ҐІЄехр(-Є7;.)
=
9*
ехр
Ir*
=H-Yt1=
о;
е=
е
эе
J=і
J=I
A1
=П/св,7^)П(1-^се,т;>);7.5. Примеры оценки показателей законов распределения
Aexp(-0£,(_j)
:0;
Решение так же как и в предыдущем случае получается в явном виде.
Для данных, содержащих полные и цензурированные слева наработки:
^ji(QJ) = П(1-ехр(-0Г))П9ехр(-07;) = 9* ехр -9^7; 1п(1-ехр(-9Г;))
M /=і /=і /7=1
/(9, Г) = In 9 - 9^ Ti- + Xln (l - ехр (-97;))
(-і j=i
Э/(9,Г) _ к Л ^ 7;,ехр(-9Г;)
Э9 9 “Г ' рі-ехр(-9Гу)
jt * ^^'(і-ехрИг^-г; к * * v Г
= I-Yt- Y — — w/ ; Yt Yt' i Y
е £ ' £ 1 -ехр(-97;) 9 5" £ ' -ехр(-97;) '
Данное уравнение в явном виде не имеет представления. Программная реализация решения подобных уравнений требует применения численных методов.
В случае, когда выборка содержит только группированные данные, решение имеет следующий вид:
*+i
LriNltN1,..., Nw, 9) = ПИеЛ)"ЯеЛ-ОГ:
1=1
*+1 *+1
= In Zr = X Ni In [FiQ, Esi) - F(9, )] = X Ni In [ехр(-9^_,) - ехр(-9^.)];
ЭI у Ni [E3i ехр(-0^) - Sm ехрС-О^.,,)]
Э0 h ехр(-0^,)-ехр(-0^)
Если представить S =A/, ,=A(Z-I), где А- временной интервал группирования, будем иметь
ЭI Л N1 [Ai(exp(-0£,,) - ехр(—0^,_!)) +А ехр(-0^_,)] _
Э0 м ехр(-0^_,)-ехр(-0^)
= -Х^А>Х-
M ехр(-0^_,)-ехр(-0^,.) ехр(-0^_!) _ Л exp(-9A(i -1))
к к
X^ = X:
j=1 ^ехр(-0^_,)-ехр(-0^)w ехр(-0Д(і -1))[1 - ехр(-0Д)]
Yуу і — у 1 = - •
Тл '11 - ехр(-9Д) 1-ехр(-0Д)’
lnfl-Jt/X^
= і L_i=!
Приведем результаты определения точности оценки параметра экспоненциального закона распределения.
Дисперсионная матрица для вектора параметров определяется путем транспонирования информационной матрицы, элементы которой имеют вид
Cu=-M
SI _ у N1 ехр(—9£,,_,) - Eli ехр(-9^,)]
Э9 h ехр(-0^_,)-ехр(-0^)
При равных интервалах цензурирования решение можно представить в следующем виде:
Э21п 1(0,0Э9,Э9;
в нашем случае оценки одного параметра необходимо определить вторую производную по параметру:
дЧ
Э9
ГГ1
=
-
л
•
Lr
(N1,
N2,....
Nk,
0)
= ПМЛ-,)
- ехр(0^, )f;
1-І
/
=
X^ln
[ехр(-0^._,)
-
ехр(-0^.)];
4.
Для
группированных данных:
Для полных наработок:
BI
у
N1
ехр(-Є^.)
- ^i,,
ехр(-Є^._,)]
Э6
h
ехр(-Є^м)-ехр(-Є^)
Э
IclnQ-Q^Ti
Bl(QtT)
эе
BQ
B2I
_у
ДО
2 2-І
г[Ч
(^2-I
ехр(-Є^.,)-^2ехр(-Є^))х
Э62
ы[ехр(-е^.,)-ехр(-е^)]2
х(ехр(-Є^_,)
-
exp(-0^,
))-(£,
ехр(-Є^
)-£,_,
ехр(-0^_,)
)х
X^1
ехр(-0£,)
- ехр(-6£
,_,))
=
-½.,2
«р(-Є(Ь
Ч-
,))-[§
ехр(-2в£,
)Ч_2
ep(-2^ J-2U, «фНЙ
+¾-.))]]=
exp(-e(^+^,))(-l)fe-^,-,)2
ЭЧ_
эе2
Q
ZT1
=-
;D
=
о2
2.
Для
выборки, содержащей полные и
цензурированные справа наработки:
Bl(QtT)
_
к
эе
е'
е
;D
=
3.
Для
выборки, содержащей полные и
цензурированные слева наработки:
Э
I(QtT)
_t_y
у
^
у
ехр(-8Г.)
Э0
QhtTxi
“Гі-ехр(-ЄГ)’
B2I(QtT)
к
^
HT')2
ехр(-67;,)(1-ехр(-9Г))-7;ехр(-ег;)г;ехр(-ег;)
[ехр(-Є^.,)-ехр(-Є^)]
1
D
=
к
эе2
е2
_
*
.+^rf
M~V)+(rf
M-™r,)-(rf
М-Щ)
[ехр(-
0^_,)-ехр(-
Є^_,)]2
В
случае равных интервалов группирования:
(l-exp
(-QT'))
AexpC-OA(Ij1I))
=
NAi+д
£
1
—
=
Э0 h ' 1 h ехр(-9А(; -1)) - ехр(-9Лі) 1=1
Ti [1—ехр(—0Д)3
к Jr-(т;)2 exp(-QT')
2 2ы
B2I 2 у ехр(-ЭА) . д = Э92 [1-ехр(-9Д)]2’
ехр(- 8А)
е
к
A2I
(і-ехр(-ег;)) 1
£/[1-ехр(-0Д)]
D-=-^ D=. BQ2'
имеем в виду, что:
к i у. (7^)2 ехр(-ЄГ^) 92 /->(і-ехр(-ЄГ/))2
= 1-
1-
In
ехр(-0Д) = ехр
2>,»_
тогда:
;
D
=
і
(X^O2 INli к2 к
D = -
ItNli
Нормальное распределение
Плотность и функция распределения для нормального закона распределения имеют вид:
Ы к .IcQ2l^QlJTi+Jt2_п
_ - і -ZU,
эе2 е2
kQ\ =kQ\-IQlJTi +IT2 = JVi -Є,)2 в итоге получаем следующую формулу
-Ъ2-
л /«і
Для выборок, содержащих полные и цензурированные справа наработки, функция правдоподобия имеет вид
ґ
«~т)2Л
I
г
*
f(t,m,a)
=
ехр
I(T1-Q1)2
aj2n
Ig1
'
(/-
9,)г^
V
20гг
JJ
»
(
1
пИ
dt,
іп(є„є2,{7;})
=
ехр
7
ехр
JlnQ,
(-JlnQl)
2
Л
20
(х-т)
2
о2
dx.
ехр
oV2rt.
логарифмическая
функция правдоподобия:
Г-а-9,)21
1
1-
[
I0JiHq2
+
Jln
2
jsl
dt
20;
и,
наконец, частные производные определяются
выражениями
2
\
(T1i-Ql)
291
=
0;
це„мт;})
-ехр
'
а~9,)2Л
202
(JIkQ1)
I(Ti-Ql)
dt
2
'N
(г;-0,)
202
(Tj-Ql)
-ехр
JlnQ:
202
JL
эе,
■=0.
*
-£*+5£.0;
Є3,
ґ
(t-QO2^
2 Q2
dt
эе,
0:
В
данных формулах приняты обозначения:
т
—
математическое
ожидание; с - среднее квадратическое
отклонение. При получении оценок
параметров и определении точности в
их оценке будем также в качестве
математического ожидания использовать
обозначение 0,
в качестве среднего квадратического
отклонения - 02.
Приведем результаты вычислений.
I.
В случае полных наработок имеем:
Лші'
І
I' IrQ2
_9А
V
T
J-
V T2
I
= InL
= -к
1п(л/27С02)-
——— =
-к
1п(л/2л02) ! —
(
* N
I(Ti-Ql)2
/=1
202
202
э/
Pt-t
~У5о,°р
Э0,
0J
-
Т]-
1
= ~
1п(2я)-Ип02-^_
-^x-
2
JmI
I(Ti-Ql)2
JbtQ.
1
-ехр
_
1=1-■
ехр2-*
;
откуда
получаем
2
Л
(7:-,-9,)2
20?
SJrAl
20?
\_
Ы
A
-JbiQ,
-ехр
ехр
2
Л
2
Л
з;-.
f
(f
-
9,)
J
expI
—^eT
А
/
J
ШДехр
MM1,
{Г,}):
dt\
-ехр
(Vijte2)'
20
логарифмическая
функция правдоподобия:
I
=
In
/
=
-
- (In
271+In
9'
)■- +
£
In
J
-L-
’
2922 LJ^Q2
частные
производные:
q-9,)2
v
292
dt\
ехр
(Tj
-
Є,
)2
2¾-0.)
-
-ж“р
"
—+Sf
202
дІ_
Э9,
_
I
= I
:0;
rI(Tl-Bl)
'
UzM2
Л
202
J
dt
■ехр
\llnQ.
I
^ к
^
verier
Э0,
02
(.T--Q1)2
202
(Tj-Ql)
ехр
Х(^-9,)2
-£+Z
=
0.
9,
+
2
Л
932
Э02
Л
f_L
(t~
9.)
20?
J2
J=1
dt
•ехр
•JbiQ, -1 ехр (Ti-^Ql)2)
/
(7]_,
-9,)-ехр (Ti
-9,)2
^ (Ti-
9.) л/27102 292
; 20? 1
> 1 Г7ИГ
(f_9,)2l Ti dt
-
J
ехр (
({~
9,
)21 dt
-JbiQ1 Li
Pl
2¾
J 20? V
2
)
л/2710, -=Хм- Э92
£
' =
0.
Рассмотрим
вопрос вычисления точности в полученных
оценках. Определим вторые производные
для случая, когда имеются в наличии
полные наработки.
=-JL-
D
=H
Л
О
»
xyA. -
»
I(Ti-Ql)2
: — 3
92
Э0?
,2
'
0 (
(г-9,)2
^
Yr dt 202
J
Для выборок, содержащих цензурированные слева наработки, делаем тот же вывод, что и в предыдущем случае, а именно, решение необходимо искать численными методами.
Для группированных данных итоговые оценки получаются таким образом. Функция правдоподобия:
Л-i
мм>.го>=П[ j*-JШГ
логарифмическая функция правдоподобия:
Х^-9,)2
:3-=
9
Для всех остальных типов данных при расчете дисперсии получаются результаты, не имеющие представления в явном виде. Поиск решения осуществляется численными методами, поэтому итоговые формулы не приводятся.
Усеченное нормальное распределение
Плотность усеченного нормального распределения имеет следующий вид:
1M
т>
і
-Итк
f^20?
^
(х-m)2
^
2о2
dt
-ехр
»
х
>
0;
-ехр
ехр
7^0.
-JlnQ.
-JlilG
0,* < 0,
/W
=
производные
от нее по параметрам: 220
а-е,)2
202
V
2
у
нормировочная
константа.
здесь
С=-
(*
- т)2
dx
-ехр
о
J2ko
Функция
распределения равна
2а
\ у (к
\
J(Ti-Ql)2 V
ы 20І \
2J
п J=I
-ехр
L=-
(JiHb2Y
логарифмическая
функция правдоподобия равна
(
Л
ґ
(Х-т)2
Л
2
а2
t
Jexp
F(x)
=
dx.
Будем
обозначать 0,
-
математическое ожидание, 02
- среднее квадратическое отклонение.
Рассмотрим последовательно вычисление
оценок параметров для различных схем
наблюдений.
1.
Функция правдоподобия для полных
наработок имеет вид
J
A(x)dx
X(TT-O1)2
-
к
In
J
A(x)dx+X
In
1-і.
20,
J
A(x)dx
м
(
к \
I(Ti-Ql)2
ы
2Є2
И,
наконец, производные по параметрам
определим следующим образом:
L
=
-ехр
(72л
G2
У
{
^
1 ехр
26? \
Соответствующая
логарифмическая функция правдоподобия
Jj(Ti-Ql)
ехр
Ы
-+Jfc-
1(7:-9,)2
—itoIexp
эе,
02
J
A(x)dx
dx. ехр (
Q21
2ВІ
\
-
A(Tj) )
J
A(x)dx+ехр
0
е?'
20? V
2J tI J
A(x)dx
0
J
A(x)dx
0
2
-
т;
-
J
A(x)dxj
A(x)dx
0
0
+I
j-i =
0; (
п2
\ ЭI ■^-jA(x)dr
2
Л
(X-Q1)
20,
Обозначим:
А(х)
=
ехр
,
тогда
ef
Х<7]
-Q,)
ехр
-
2Q\
—^
=
0;
ЭI
-+Jfc-
JL
2Є2
Э0,
X^-0.)2
^exp
-Jfe-2
J
A(x)dx
эе,
е3,
0.
7ëР2
'
е,2
N
26j ^
1J Ti j
A(x)dx- j A(x)dx)
0
0 -Ii^A(T')\A(x)dx 2
0
J
A(x)dx
.0
2
-
n
—J
A(x)dx
J
A(x)dx 0
0
J
A(x)dx +1-
j=i =
0.
* 0
^
0 117-
X(Ti
-Є,)2
Fexp
ГГlA(x)dx
I
)
и2
0
-jfc-
=
0.
ег
Э0,
\A(x)dx
Решая
данную систему уравнений, получаем
оценки параметров усеченного
нормального закона распределения для
случая полных наработок.
( N
Т,-,
\і=і До Lo °
Производные
по
параметрам равны
1
=
1
20?
L
= -
-ехр
(-JlKQ2)
Далее
вычисляем логарифмическую функцию
X(^e1)
л
20?
ехр
в, ^exp f
0M 2Є2 +
І"
IA(x)dx
°2
0 )
J
A(x)dx
О
Ti
т
+
J А(д:)й!х
+
'
0
0
Ti
T-lA(Tm)-
J
A(x)dx 2
0
Ti
Ti-1
J
A(x)dx-
J
A(x)dx
0
0
N
>
Х*< jA(x)dx-
J
A(x)dx
1\
X*. =
0.
A(Ti)-A(T^l)
_А,
1
'5>,
=
0;
Э0
J
A(x)dx
■
-
(к
/ = —
щ о
и производные для вычисления оценок параметров
JL
Эв,
|
- CD |
|
CD “ Si |
( |
ехр |
20? |
ехр V |
20? |
-ехр |
|
I 2 , |
+ V |
^ 1 J |
V |
)
-+(Jfc+v)-
20?
I A(x)dx ‘ 1
‘ I
J A(x)dx
о
2 Л
ЭI Э0.
= 0;
Ti-Ql
( Al \ v
X^. X-
V I=I J J=I
( сё
~]а(х)(1х
ехр
_Э1_ Эв,
20:
■ 1=1
- — (к +v)-~-
Как видно из приведенных выражений, для определения параметров усеченного нормального закона распределения необходимо решать систему уравнений численными методами.
Логарифмически нормальное распределение
Логарифмически нормальному закону распределения подчиняется случайная величина t, логарифм которой распределен по нормальному закону.
Плотность и функция распределения имеют вид
J A(x)dx
1Т;с
V Й
'Jf.' 20,2
ехр
■0.
‘ I
J A(x)dx
4. Для группированных данных итоговые оценки получаются таким образом.
Функция правдоподобия имеет вид
' (*~Ю2 '
2а2
' (In Г - I-L)2 ^
2 о2
ІПГ j
; F(0= J-j
dx;
fit) =
ехр
ехр
ta4lK
п
L=Tl
L
=
к ти
J A(x)dx- I A(x)dx
V2JC0,
логарифмическая функция правдоподобия:
Пусть |i = O1, а = 02.
1. Результаты расчетов для полных наработок следующие:
(X(InT--^I)2
І-1
а2
-ехр
а*(2іс)*/2П7;
W
28,
02*
(IK)knYlTl
(
J(InTi-Ql)2
_м
262
2
Л
о1?
1
01
^sap
(*~9i)
26?
L
-к—
ехр V2(Jbt)kYlTi
*
k X(InT^-G1)2
=
~X
^nTi--
1п(2л)
-
A:
In
G2
-
— 5
/=1
I 262
!(InTJ-e,)2
v
ь»;
j
-£И
-ад-*ыц +».
f
(
(X-Q1)2)
I
202,
Xan7;-0,)
І>т;
д[
50,
dx
dl_
Э6,
=
O,
откуда
получаем G1=-
Л,
(inr;-e,)2N
262,
к
1
_
1=1
XdnTl-e,)
е2^ЄХР
і Х«Т
Э/
_
к
эвГ"
вГ+"
• =
0;
:0;
G22
=j^l
'
(*-е,)2^
2G2,
*—
ш'>
і
>=і
г I
в3,
\dx
ехр
Q2Jlit
2.
Для
выборок, содержащих полные и
цензурированные справа наработки:
f
(InT^ei)2Y
ІПГ/-8,
202,
I
G22
І^Т-Qj
v
V^expi
(
J(InTi-Ql)
^
J
t=l
26,2
dl
_
к
Э02
G2
In
Г'
in
г;
G
'
(JC-G1)2
^
26,2
j=1
г
і
T=exP
і
Q2J2k
In
Jm
1
і
T=exP
Q2Jbt
Idbt
'-і
L
=
-ехр
dx
262,
Qt2(^)tIlTi
Для группированных данных:
1(^-8,)2
v
InTf
ґ
(X-Q1)2
л
2
Є2
l=~J\nTi--\n2%-k\nQ2-^
м
2 2
2G
-
I
W
і—+Xln
2 J=I
Idx
exP
8272л
'
(InT--Ql)2'
262
ді
_|°П7;~Єі),^
Q2Jbi
ехр
■ =
0;
Э6,
G2
ті.
г
(*-е,)2^
262
V 2
у
Idx
ехр
Q2JlH
(Іпт;-6,)2У
Іпг.'-е,
а,
*
Xe-T--O,)2
^expj
—=—+-—-—+X
26,2
-
= 0.
Э02
в2
Q32
і-T-
Ш2,
’
Г
1
Q2Jlk
.(-t-6,)
2G,2
Idx
ехр
к V
а_
эе,
Jt
+JiTjf'
(In
7:-6,)
20,2
=
0;
Ni
I
N
1
=-Ly—
A
JLu
Inr
e2„
J
-exp
=0:
і»
з;-.
r
л
\
U~9i)
202
dx-
I
exp
_Э/_
Э09
exp
Jt*
+J(Tj)*
,=1
j=i
)вг
InTi-Ql
З2
J2
(In
7;
-0,)2
292
(InTm
-Є,)2
20j
Э/
I
e2
exp
Є2
20?
=0.
Jt*
+J(Tj)*
ш
/=і J=і
іп7;
/
,2
\
ЬГ
—
dx-
I
ехр
2
Л
U~9,)
202
г
\dx
ехр
=
0;
Jt*
+J(Tj)*
,0.-1
2
=
о.
Э/
30.
-0;
1=1
к
X
<=1
ді
ґ
эе.
_э/_
Э0,
Распределение
Вейбулла
Плотность
и функция распределения для распределения
Вейбулла:
fit)
= a(kt)a~'
ехр(-(ХгГ);
Fit)
= l-exp(-(Xt)°),
где
а - параметр формы; X
-
параметр масштаба. Будем обозначать а
=
Q1,
X
=
02.
Приведем итоговые результаты для
различных схем получаемых данных.
1.
Для
случая полных наработок:
(
*
L(OpO25(^))
=
O1tO29'4
ехр
-Q2*
JT1*
П^)9"1;
I-=I ;=і
2.
Для
выборок, содержащих полные и цензурированные
справа
наработки:
к
In
0,
+
JkO1
In
O1
+
(0,
-
OXlnTi
-
O29'
^t;9'
=
О;
i=1
J
в,
^
+
UnO2
+^nTi-Jj(TiQ2)9'
In(^e2)
=
0;
к
to
O1
+ £0,
In
O2
+
(0,
-1)£
In
Ti
-
O29'
^T19'
Ol
I
эеГеТм
-'Q1
JjT*
=0.
U"9,)
20?
/-1
/*1
Lexp
/=1
к
0,
U~9i)
20?
ln7T_,
-0,
20?
12
\
2^
f
(In
7;.,
-O1)2
'I
+
exp
4.
Для
группированных данных:
до,,
O2,
(7;})
=
П
(ехр
(-Q2TJ-,
f
-
ехр
(-э2т;
т)
;
3.
Для
выборок, содержащих полные и цензурированные
слева наработки:
~
=±-
+ кЫ0г
+JlnTi-Xf(Tie2)9l^e2)]
+
OtJ1
У, І=1
;=1
у
ехР(-(7;е2)9'
)(?;е2)а-
іп(т;е2)
_
+Ь
1-ехр(-(7';е2)^)
”0’
£-(0,,0,,(7;,})
-O1tO29"*fl(7,)9'expf
-O29'
Jt*
jfj(l_ехр(-(O2Tj)9|)),
к
In
O1
+
к
In
O2
+
0,
J
In
T1-
0
i=i
После
элементарных преобразований
^
ехр(-(TjQ2)*
){TjO2)9'
In(Tje2)
_
+Ь
1—ехр(-(TjQ2)*
)
_0'
=
kQl-QjT*
-Х[(7;02)9‘
In(TJO2)]
+
—
+
JtlnO2
+Xln
Ti
-О9'
InO2
itlne.+itlne.+e.Xln^-e,
JtO1-O1OI
L
'=I
/=1
i=i J=і
M /=1
=
о.
i=i
к
-Q9AJt*
^Ti+J(Tj)*
\nTj
J=і
Ґ V \
-Q29'J(Tj)*
J=і
(
к
\
-q*Jt*
^e1,02,
(7;})
=
Q1tQ29'*
П
(7;.
)9'4
ехр
ехр
и
получим
_ N ехр(-(Т-82)8')(ТЄ2)9- 1п(7;92)-ехр(-(7;.,Є2)9')(7:.,0,)9' іп(т;.,е2)_оM 'ехр (-(7:.,0, )*)-ехр (-(?;.е2)в‘)Э/ ехр(-(т;е2)9'^1G1O201'1 -ехр(-(7’і_102)9‘^e1O1*-' _
2а Ij і / ™ - а ч
ехр(—(7^_,02)9' )-ехр(-(Г.02)9‘ )
Введем следующие обозначения:
А(х) = дг9н ехр(-02дг); В(х) = де9'-1 In х ехр (-O2X); С(х) = (~хв> )ехр(-62х)
Гамма-распределение
Плотность
и функция распределения для гамма-закона
записываются в виде
»
Xа
ta'1
exp(-Xt)
.
Г
'r .
/(гД,а)
= — •
F(t,X,a)
=
——
J
де
exp(-ta:)<&.
Г(а)
’ Г(а)
■
Введем
обозначения
O1
= a; O2
= X
и
приведем
результаты
вычисления оценок параметров.
I.
Для случая полных наработок:
Tl т; Ii
у
Г
(O1)
[G21
In
O2
J
A(x)dx
+ O21
J
В(х)&]--Iv(O1)O?
J
А(*)Л
-J »_= S —2
0;
T(O1)
ехр
-O2Jt;.
|П
Jx01'1
ехр(-O2X)Л;
^
-HnA
^T(O1)
Vl
т
n
^
^0’
V1
-klrx^
-F^T
+
Lhi7i
=0;
_
= =0.
I-JL
J/1
1
exp(-02x)ft
ACO1)
Jo
* V
в9'O1
j+
09']С(лг)^
d/
_
ко,
у
у*
о о
Q
эе2
O2
tf‘
P
09‘
Т‘-
1 —
f
A(x)dx
T(O1)jO
T(O1)
ПГ'-'ехр
-O2J1T1
L
=
J(S1)y
3.
Для
выборок, содержащих полные и
цензурированные слева наработки:
Ґ
к
\
£іпт;
(O1-I)-O2Jt;;
/
=
А:0,1п02
— А:1пГ(0,
)
+
(
-і-
Л
V
tL
'
0,°'
y+v
Г(0,)
i=l
J
і=1
о
30, ‘
Г(0,)
2.
Для
выборок, содержащих полные и
цензурированные справа
нара-
VlJ'
Э02
02
1=,
I
=
(fc+v)0,
In
O2
-
(Jfe+v)in
F(O1)+(O1
-I)
Jin?;
-O2Jt;.
+
Jinf
д(
х&с.
І=1
І-1
о
т;
ботки:
I
B(x)dx
k+vm)+±^Ti+±$—=°;
i=1
J=1
I
A(x)dx
(
е
в,
V
(
к
\
П^
'ехр
-о^т;
П
м V
'=1
)
J=I
L
=
1_f^)
J^'1
ехР(-02*)<&
Г(0,)
/
1
—
}дг9'
1
ехр(-02^)а!х
T(O1)J-
h
SI <*+v) 8,J,ijCW*
—= &+£? =o.
Э0, 0