Контрольна робота №4 Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4
Варіант № 31
Завдання 4.1.31. Розв’язати диференціальні рівняння:
а)
,
б)
.
Розв’язання.
а)
Рівняння
є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Для
відокремлення змінних, поділимо обидві
частини рівняння на добуток
,
в результаті чого отримаємо диференціальне
рівняння
.
Інтегруємо останнє рівняння
,
,
- загальний
інтеграл заданого рівняння.
б)
Рівняння
записане в загальній формі. Виразимо з
нього
і отримаємо рівняння в нормальній формі
.
Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Дійсно,
.
Для
розв’язання однорідного рівняння
введемо заміну
,
тоді
;
,
,
,
,
,
.
Повертаючись до
змінної
,
знаходимо загальний інтеграл
заданого
рівняння:
або
.
Завдання 4.2.31. Знайти розв’язок задачі Коші лінійного диференціального рівняння першого порядку
.
Розв’язання. Задача Коші полягає в тому, щоб визначити частинний розв’язок диференціального рівняння, використовуючи для цього початкову умову. Для цього спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Задане
рівняння є лінійним (
і
містяться
в рівнянні лише в перших степенях).
Розв’язуємо його методом Бернуллі. За
формулою маємо
,
.
,
.
Складаємо систему двох рівнянь:
Розв’язуємо перше з рівнянь системи:
,
.
Підставляємо
отримане значення функції
в друге рівняння системи і розв’язуємо
його:
,
.
Запишемо загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Для
розв’язання
задачі Коші застосуємо початкову умову
і знайдемо значення сталої
,
для чого підставимо в загальний розв’язок
значення
,
:
.
Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
.
Завдання 4.3.31. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку
.
Розв’язання.
Рівняння
другого порядку
є
диференціальним
рівнянням
, яке не містить шуканої функції
.
Покладемо
.
Тоді
і задане рівняння набуває вигляду
або
.
Отримане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримаємо рівняння
,
проінтегрувавши яке маємо:
або
.
Розв’язуємо останнє рівняння та отримуємо загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
.
Розв’язання.
Задане рівняння є лінійним неоднорідним
рівнянням другого порядку зі сталими
коефіцієнтами. Згідно з формулою
загальний розв’язок лінійного
неоднорідного диференціального рівняння
складається із загального розв’язку
відповідного однорідного рівняння
і
деякого частинного розв’язку
лінійного неоднорідного рівняння:
.
Знайдемо
спочатку
.
Для цього складемо характеристичне
рівняння і знайдемо його корені:
,
.
Загальний розв’язок однорідного рівняння знаходимо за формулою:
.
Далі
визначаємо
.
В нашому випадку права частина
диференціального рівняння має вигляд
,
де
,
тобто число
є двократним коренем характеристичного
рівняння. Отже, частинний розв’язок
неоднорідного рівняння будемо шукати
у вигляді
,
де
- невідомий коефіцієнт. Знайдемо
,
Підставимо
знайденні похідні в рівняння
:
Тотожно прирівнявши ліву і праву частини останнього рівняння, знайдемо
.
Таким
чином,
- частинний розв’язок
лінійного неоднорідного диференціального
рівняння, а його загальний розв’язок
має вигляд
.
Завдання 4.5.31. Дослідити на збіжність числові ряди
а)
Розв’язання.
Запишемо
-ий
і
-ий
члени заданого ряду:
.
Тепер застосуємо ознаку Даламбера:
.
,
отже досліджуваний ряд збігається.
б)
.
Розв’язання. За радикальною ознакою Коші
,
,
тому
цей ряд збіжний.
в)
Розв’язання.
Порівняємо цей ряд зі збіжною геометричною
прогресією:
,
знаменник якої
.
Оскільки при всіх
маємо:
,
то за
ознакою
порівняння досліджуваний ряд
- збіжний.
г)
, де
-
деяка
стала.
Розв’язання.
Використаємо
інтегральну ознаку збіжності, беручи
в якості
:
.
Якщо
,
то
,
тобто
інтеграл, а разом з ним і ряд – розбіжні.
Якщо
,
то
Отже, узагальнений
гармонічний ряд
збігається, коли
,
і розбігається, коли
.
Завдання 4.6.31. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінний числовий ряд:
а)
Розв’язання. Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому ряд - збіжний. Запишемо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду:
Застосуємо для
цього ряду інтегральну ознаку Коші,
взявши
.
Маємо:
За інтегральною ознакою Коші останній ряд збіжний, отже заданий ряд - абсолютно збіжний.
б)
де
- деяка стала.
Розв’язання. Маємо знакозмінний ряд. Розглянемо збіжність ряду, складеного з абсолютних величин членів заданого ряду:
.
Порівняємо
ий
член цього ряду з
м
членом
узагальненого гармонічного ряду
:
.
Вище було доведено,
що узагальнений гармонічний ряд
збігається, якщо
В нашому випадку
отже за ознакою порівняння збігається
ряд з абсолютних величин, а заданий ряд
-
абсолютно
збіжний.
Завдання 4.7.31. Розкласти в ряд Маклорена функції:
а)
.
Розв’язання.
Користуючись формулою зниження степеня,
маємо:
.
Степеневий ряд для
можна отримати з ряду
,
якщо брати в цьому ряді
замість
:
.
Отже,
б)
.
Розв’язання. Скористаємося біноміальним рядом:
Ряд функції
отримуємо з цього ряду заміною
на
:
Тоді :
.
Оскільки цей ряд отриманий з біноміальною
заміною
на
,
то він буде
збіжним при
або
.
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 4
Завдання 4.1. Розв’язати диференціальні рівняння:
|
4.1.1.a) |
б) |
|
4.1.2.a) |
б) |
|
4.1.3.
a) |
б) |
|
4.1.4.
a) |
б) |
|
4.1.5. a) |
б) |
|
4.1.6.
a) |
б) |
|
4.1.7.a) |
б) |
|
4.1.8.a) |
б) |
|
4.1.9.
a) |
б) |
|
4.1.10.
a)
|
б) |
|
4.1.11.a)
|
б) |
|
4.1.12. a) |
б) |
|
4.1.13. a)
|
б) |
|
4.1.14. a) |
б) |
|
4.1.15. a) |
б) |
|
4.1.16.
a) |
б) |
|
4.1.17. a) |
б) |
|
4.1.18.
a) |
б) |
|
4.1.19.a) |
б) |
|
4.1.20.
a) |
б) |
|
4.1.21.a)
|
б) |
|
4.1.22.a) |
б) |
|
4.1.23. a) |
б) |
|
4.1.24. a) |
б)
|
|
4.1.25. a) |
б) |
|
4.1.26.
a) |
б) |
|
4.1.27.a) |
б) |
|
4.1.28.a) |
б) |
|
4.1.29.
a)
|
б) |
|
4.1.30. a) |
б)
|
;
.
;
