0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

3.1. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи виділення повного квадрата у знаменнику підінтегрального виразу.

3.1.1. ∫

dx

.

3.1.2. ∫

dx

.

4x

2

− 5x +

4

x

2

− 4x + 10

3.1.3. ∫

dx

.

3.1.4. ∫

dx

.

2x

2

− 7x +

3

2x

2

+ x − 6

3.1.5. ∫

dx

.

3.1.6. ∫

dx

.

9x

2

+ 6x +

2

4x

2

−

4x +

3

3.1.7. ∫

dx

.

3.1.8. ∫

dx

.

2x

2

− 11x +

2

2x

2

+ x + 2

3.1.9. ∫

dx

.

3.1.10. ∫

dx

.

3x

2

− 12x +

3

2x

2

+

3x

3.1.11. ∫

dx

.

3.1.12. ∫

dx

.

x

2

− 5x +

6

2x

−

3 − 4x

2

3.1.13. ∫

dx

.

3.1.14. ∫

dx

.

3x

2

− 8x −

3

8

− 2x − x

2

3.1.15. ∫

dx

.

3.1.16. ∫

dx

.

5x

− 6 − x

2

x

2

+

4x +

25

3.1.17. ∫

dx

.

3.1.18. ∫

dx

.

2x

2

− 8x +

30

3x

2

− 9x +

6

3.1.19. ∫

dx

.

3.1.20. ∫

dx

.

2x

2

x

2

− 2x + 5

−

3x

3.1.21. ∫

dx

.

3.1.22. ∫

dx

.

x

2

− 6x +

2x

2

− 8x +

16

11

3.1.23. ∫

dx

.

3.1.24. ∫

dx

.

x

2

+ 8x +

x

2

−

8x +

11

21

3.1.25. ∫

dx

.

3.1.26. ∫

dx

.

5x

2

2x

2

+ 6x +

− 10x + 25

3

3.1.27. ∫

dx

.

3.1.28. ∫

dx

.

x

2

− 6x +

1

− 2x − x

2

8

3.1.29. ∫

dx

.

3.1.30. ∫

dx

.

x

2

+ 3x +

x

2

+

5x +

1

6

121

3.2. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи виділення повного квадрата у знаменнику підінтегрального виразу.

3.2.1. ∫				x + 1				dx .
	x	2	+ 3x − 4
3.2.3. ∫			2x − 1							dx .
	3x		2		− 2x
						− 1
3.2.5. ∫		x + 5					dx .
	x	2
			+ x − 2
3.2.7. ∫					x + 4					dx .
	2x		2		− 6x	−		8

∫4x − 1

3.2.9.4x2 − 4x + 5 dx .

3.2.11. ∫				x − 4	dx .
		x	2
				− 2x − 3
3.2.13. ∫				5x + 1	dx .
		x	2
				− 4x + 6

∫x − 3

3.2.15.x2 − 5x + 4 dx .

2 − x

3.2.17. ∫ x2 + 4x − 5 dx .

∫2x − 1

3.2.19.3 + x − 2x2 dx .

3.2.21. ∫		3x + 1					dx .
	x	2
			− x − 6
3.2.23. ∫			2x + 3						dx .
	x	2	+ 2x +				7
3.2.25. ∫		x + 2						dx .
	x	2			2
			− x −
3.2.27. ∫				x − 7						dx .
	4x		2	+ 3x
					− 1
3.2.29. ∫		x − 4						dx .
	x	2
			− x + 1

∫x + 6

2.2.2.3x2 + 2x + 1 dx .

3.2.4. ∫					x		dx .
	x		2	+ 2x + 5
3.2.6. ∫				3x − 2						dx .
	5x			2	+
						3x − 2
3.2.8. ∫				5x		− 2				dx .
	2x			2	−	5x +	2
3.2.10. ∫					x + 1						dx .
			x	2	+
						4x + 10
3.2.12. ∫					4x + 8						dx .
			x	2
					+ 6x + 10
3.2.14. ∫					x			dx .
			x	2
					+ 2x − 8
3.2.16. ∫					2x − 1			dx .
			x	2
					− 8x + 7

∫2x − 1

3.2.18.3x2 − 6x − 9 dx .

3.2.20. ∫		x − 4						dx .
	3x		2
						+ x
3.2.22. ∫						x − 3				dx .
		4x		2		+	4x + 5
3.2.24. ∫					x − 5					dx .
		2x			2	+ x − 3

∫3x − 2

3.2.26.dx .

x2 + 8x + 17

3.2.28. ∫			2x + 1		dx .
	x	2	+	2x + 10
3.2.30. ∫				x		dx .
	x	2
			− 8x + 20

122

3.3. Знайдіть невизначені інтеграли, ральної функції на елементарні дроби.

3.3.1. ∫

3x2 + 20x + 9

dx .

(x

2

+ 4x + 3)(x +

5)

3.3.3. ∫

43x − 67

dx .

(x

2

− x − 12)(x − 1)

3.3.5. ∫

12x

dx .

(x

2

+ 6x + 5)(x +

3)

3.3.7. ∫

x2 + 8x − 4

dx .

(x

2

+ 5x + 6)(x −

1)

3.3.9. ∫

6x2 + 6x − 6

dx .

(x

2

+ x − 2)(x + 1)

3.3.11. ∫

3x2 + 3x − 24

dx .

(x

2

− x

− 2)(x −

3)

3.3.13. ∫

3x2 − 15

dx .

(x

2

+ 5x

+

6)(x − 1)

3.3.15. ∫

6x

dx .

x

3

+ 2x

2

− x − 2

3.3.17. ∫

2x2 + 41x − 91

dx .

(x

2

+ 2x

−

3)(x + 2)

3.3.19. ∫

x2

dx .

(x

2

+ 8x

+

15)(x +

1)

3.3.21. ∫

6x4

dx .

(x

2

− 1)(x + 2)

3.3.23. ∫

2x2 + 12x − 6

dx .

(x

2

+ 8x

+

15)(x +

1)

3.3.25. ∫

x − 7

dx .

(x

2

− 5x

+

6)(x + 1)

використовуючи розклад підінтег-

3.3.2. ∫

12

dx .

(x

2

− 4x + 3)(x − 2)

3.3.4. ∫

2x2 + 8x + 9

dx .

(x

2

+ x − 2)(x + 3)

3.3.6. ∫

2x − 7

dx .

(x

2

− 5x + 6)(x + 1)

3.3.8. ∫

5x + 17

dx .

(x

2

+ 4x + 3)(x + 5)

3.3.10. ∫

37x − 85

dx .

(x

2

+

2x − 3)(x −

3)

3.3.12. ∫

6x

2 − 4x + 30

dx .

(x

2

−

2x − 3)(x −

2)

3.3.14. ∫

x2 − 19x + 6

dx .

(x

2

+

5x + 6)(x −

1)

3.3.16. ∫

4x2 + 32x + 52

dx .

(x

2

+

6x + 5)(x +

3)

3.3.18. ∫

x

dx .

(x

2

+

2x − 3)(x +

2)

3.3.20. ∫

6x2

dx .

(x

2

+

3x + 2)(x −

1)

3.3.22. ∫

2x2 − 26

dx .

(x

2

+

4x + 3)(x +

5)

3.3.24. ∫

20x2

dx .

(x

2

+

2x − 3)(x −

4)

3.3.26. ∫

6x − 21

dx .

(x

2

+ x − 2)(x + 1)

123

2.3.27. ∫

2x4 − 3

dx .

3.3.28. ∫

7x2 − 17x

dx .

(x

2

(x

2

−

2x − 3)(x − 2)

− 5x + 4)(x + 3)

3.3.29. ∫

6x4 − 30x2 + 30

dx .

3.3.30. ∫

3x2 − 17x + 2

dx .

(x

2

− 1)(x

+ 2)

(x

2

+

5x + 6)(x − 1)

3.4. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи розклад підінтегральної функції на елементарні дроби.

3.4.1. ∫

x3 + 1

3.4.2. ∫

x3

− 2x2 − 2x + 1

dx .

dx .

x

3

− x

2

x

3

− x

2

3.4.3. ∫

3x2 + 1

dx .

3.4.4. ∫

x + 2

dx .

(x

2

− 1)(x − 1)

x

3

2

− x

3.4.5. ∫

4x4

+ 8x3 − 3x

− 3

dx .

3.4.6. ∫

x + 2

dx .

x

3

+ 2x

2

+ x

x

3

+ x

2

3.4.7. ∫

2x2

− 2x − 1

dx .

3.4.8. ∫

4x2

dx .

x

2

− x

3

(x

2

− 2x

+ 1)(x + 1)

3.4.9. ∫

2x3 + 1

dx .

3.4.10. ∫

1

dx .

2

x

3

+ x

2

x

(x + 1)

3.4.11. ∫

2x2 − 5x + 1

dx .

3.4.12. ∫

x2 + x + 2

dx .

x

3

− 2x

2

+ x

x

3

+ x

2

3.4.13. ∫

3x 2 + 2

dx .

3.4.14. ∫

4x4 + 8x3 − 1

dx .

x(x + 1)

2

(x

2

+ x)(x +

1)

3.4. 15. ∫

x + 2

dx .

3.4.16. ∫

1

dx .

x

3

− 2x

2

+ x

x

3

− x

2

3.4.17. ∫

x3 − 3

dx .

3.4.18. ∫

6x − 2x2 − 1

dx .

(x

2

− 1)(x − 1)

x

3

− 2x

2

+ x

3.4.19. ∫

x3 − 4x 2 − 1

dx .

3.4.20. ∫

4x 4 + 8x3 − 2

dx .

x

3

− 2x

2

+ x

x(x +

1)

2

3.4.21. ∫

x3 − 4x + 5

dx .

3.4.22. ∫

x2 − 3x + 2

dx .

(x

2

− 1)(x − 1)

x

3

+ 2x

2

+ x

124

∫x + 5

3.4.23.x3 − x2 − x + 1 dx .

3.4.25. ∫			4x	dx .
	(x	2	− 1)(x + 1)

∫2x2 + 1

3.4.27.dx .

x3 − 2x2 + x

3.4.29. ∫ 3x − x2 − 2 dx . x(x + 1)2

3.5. Знайдіть невизначені інтеграли, ральної функції на елементарні дроби.

3.5.1. ∫			3x + 13	dx .
	(x	2	+ 2x + 5)(x − 1)

3.5.3.∫ x2 − 6x + 8 dx .

x3 + 8

3.5.5. ∫		2x2 + 2x + 20		dx .
	(x	2	+ 2x + 5)(x − 1)

3.5.7.∫ 7x − 10 dx .

x3 + 8

3.5.9.∫ 4x − x2 − 12 dx .

x3 + 8

3.5.11. ∫		2x2 + 2x + 20		dx .
	(x	2	+ 2x + 5)(x − 1)

3.5.13.∫ 6 − 9x dx .

x3 + 8

3.5.15.∫ 4x + x + 10 dx .

x3 + 82

3.5.17. ∫	(x 2 + 4x + 20)dx	.
	2
	(x − 4x + 13)(x + 1)

3.4.24. ∫	3x2 − 7x + 2			dx .
	(x	2	− x)(x − 1)

3.4.26.∫ 2x + 4x + 3 dx .

x3 + x 23

3.4.28.∫ 2x + 5x − 1 dx .

x3 + x223

3.4.30. ∫ 4x3 + 2x 2 + 1 dx . x(x − 1)2

використовуючи розклад підінтег-

3.5.2. ∫						12 − 6x		dx .
			(x		2	− 4x	+ 13)(x + 1)
3.5.4. ∫				4x + 2			dx .
		x		4 2
					+ 4x

3.5.6.∫ x2 + 3x + 2 dx .

x3 − 1

9(x − 1)dx 3.5.8. ∫ (x 2 − 4x + 13)(x + 1) .

3.5.10.∫ 3 − 9x dx .

x3 − 1

3.5.12. ∫			(4x − 10)dx				.
			2
	(x			− 2x + 10)x
3.5.14. ∫		(x		2 − 13x + 40)dx				.
	2
	(x			− 4x + 13)(x + 1)
3.5.16. ∫			6x			dx .
		x	3	− 1

3.5.18.∫ 3x + 2x + 1 dx .

x3 − 12

125

3.5.19. ∫

8

dx .

3.5.20. ∫

(4x 2 + 38)dx

.

(x

2

+ 6x +

13)(x + 1)

(x

2

− 2x + 2)(x +

2)

3.5.21. ∫

19x − x

2 − 34

dx .

3.5.22. ∫

2x2 + 7x

dx .

(x

2

− 4x +

13)(x + 1)

x

3

− 8

3.5.23. ∫

36

dx .

3.5.24. ∫

5x + 13

dx .

(x

2

− 2x +

(x

2

10)(x + 2)

+ 6x + 13)(x + 1)

3.5.25. ∫

x2 − 5x + 40

dx .

3.5.26. ∫

4x2 + 7x + 5

dx .

(x

2

− 2x +

5)(x + 2)

(x

− 1)(x

2

+ 2x +

5)

3.5.27. ∫

x2 + 23

dx .

3.5.28. ∫

4x2 + 3x + 17

dx .

(x

2

+ 2x +

5)(x + 1)

(x

2

+ 2x + 5)(x − 1)

3.5.29. ∫

5x2 + 17x + 36

dx .

3.5.30. ∫

2x + 22

dx .

(x

2

+ 6x + 13)(x + 1)

(x

2

− 2x + 5)(x −

1)

Тема 4. ІНТЕГРУВАННЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Методи інтегрування тригонометричних функцій. Універсальна тригонометрична підстановка. Частинні випадки раціоналізації інтегралів від тригонометричних функцій.

Література: [1, розділ 6, п. 6.5], [2, розділ 2, п. 2.1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 8], [7, розділ 10, § 12], [9, § 32].

Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

4.1. Інтегрування тригонометричних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

Інтеграли вигляду ∫ R(sinx, cos x)dx, де R — раціональна функція від sin x і cos x, за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

126

tg 2x = t зводять до інтегралів від раціональних функцій. При цьому вико-

ристовують співвідношення:

sin x =		2t	,	cos x =	1 − t 2		, dx =		2	dt .
		+ t 2			1	+ t 2			+ t 2
1							1

За допомогою запровадженої підстановки зручно знаходити інтеграли вигляду

dx
∫ a cos x + b sin x + c .	(*)

Проте застосування універсальної підстановки часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках використовують інші підстановки. Наведемо деякі з них.

4.2.Частинні випадки інтегрування тригонометричних функцій

4.2.1.∫ R(sin x, cos x)dx залежно від властивості підінтегральної функ-

ції зручно раціоналізувати такими підстановками (див. табл. 2.2):

				Таблиця 2.2
	№	Властивість підінтегральної функції		Підстановка
		R(sin x, cos x)
	1	непарна відносно sin x :		cos x = t
		R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
	2	непарна відносно cos x :		sin x = t
		R(sin x,− cos x) = −R(sin x, cos x)
	3	парна відносно cos x і sin x одночасно:		tg x = t
		R(− sin x,− cos x) =	R(sin x, cos x)

Зокрема, інтеграли ∫ R(sin x) cos xdx , ∫ R(cos x) sin xdx , ∫ R(tg x)dx ін-

тегрують підстановками sin x = t , cos x = t , tg x = t відповідно.

127

	4.2.2. Інтеграли вигляду ∫sin m x cosn xdx		залежно від значень m і n
знаходять так (див. табл. 2.3):					Таблиця 2.3
№		Властивість підінтегральної функції	Підстановка
		sinm x cosn x
1		m — ціле додатне непарне число	cos x = t
2		n — ціле додатне непарне число	sin x = t
			формули зниження степеня:
			cos2 x =	1+ cos 2x			,
3		m, n — цілі додатні парні числа		2
			sin2 x =	1− cos 2x
					2
		m, n — цілі парні числа, але хоча б одне з	tg x = t
4		них від’ємне;
		m i n — цілі непарні від’ємні числа

4.2.3.Інтеграли вигляду

∫sin mx cos nxdx , ∫sin mx sin nxdx , ∫ cos mx cos nxdx

інтегрують шляхом застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій у їх суму:

	sin mx cos nx =		1		[sin(m + n)x + sin(m − n)x] ,
		2
	sin mx sin nx =	1			[cos(m − n)x − cos(m + n)x] ,
		2
	cos mx cos nx =		1		[cos(m − n)x + cos(m + n)x] .
		2

4.2.4.Інтеграли вигляду

∫tg n xdx , або∫ ctg n xdx ,

де n — ціле додатне число, можуть бути знайдені за допомогою застосу-

вання формул tg2 x =	1		− 1 , ctg2 x =	1		− 1 , або ж за допомогою
	cos2			sin2
		x			x
заміни tg x = t ( ctg x = t ).

128

Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

Знайдіть інтеграли

	1. ∫		dx	.
		5	− 3cos x

Розв’язання. Маємо інтеграл вигляду (*). Отже, виконаємо заміну

tg

x

= t . Тоді

2

dx

2dt

dt

∫

=

∫

= 2∫

=

5 − 3 cos x

(1+ t

2

1− t

2

(5

+ 5t2 − 3 + 3t2 )

)

5 − 3

1+ t

2

= ∫

dt

=

1

arctg(2t) + C

=

1

x

+ C.

arctg

2 tg

1+ 4t

2

2

2

2

2. ∫sin 5 x cos xdx .

Розв’язання. Зробимо заміну sin x = t . Тоді

∫ sin5 x cos xdx = ∫ sin5 xd(sin x) = ∫ t5 dt =

t6

+ C =

sin6 x

+ C .

6

6

3. ∫sin 2x cos 6xdx .

Розв’язання. Оскільки sin 2x cos 6x =

1

(sin 8x − sin 4x) , то

2

∫sin 2x cos 6xdx =

1

∫ (sin 8x − sin 4x)dx = −

1

cos 8x +

1

cos 4x + C .

2

16

8

4. ∫

dx

.

sin

3

x cos x

Розв’язання. Підінтегральна функція

R(sin x, cos x) =

1

парна

sin 3

x cos x

відносно sin x та cos x одночасно:

R(− sin x,− cos x) =

1

=

1

= R(sin x, cos x) .

(− sin x)3 (− cos x)

sin 3

x cos x

129

Тому даний інтеграл зводиться до вигляду ∫ R(tg x)d tg x . Враховуючи

співвідношення d tg x =

dx

та

1+ tg2 x =

1

, одержуємо

cos2 x

cos2

x

∫

dx

= ∫

dx

= ∫

1

1

dx

=

sin

3

x cos x

tg

3

x cos

4

x

tg

3

2

cos

2

x cos

x

x

= ∫

(1+ tg2

x)d tg x

=∫

d tg x

+

∫

d tg x

= −

1

ctg

2

x + ln

tg x

+ C .

tg

3

x

tg

3

x

tg x

2

5. ∫sin 5 x cos 4 xdx .

Розв’язання. Виконаємо підстановку cos x = t

(див. табл. 2.3). Маємо:

∫sin 5 x cos 4 xdx = ∫ (sin 2 x)2 cos 4 x sin xdx =

= −∫ (1− cos 2 x)2 cos4 xd cos x = − ∫ (1− t 2 )2t 4 dt =

= −∫(1− 2t2 + t4 )t4dt = −∫(t4 − 2t6 + t8 ) dt =

= −

t 5

+

2

t

7

−

t 9

+ C = −

cos5 x

+

2

cos

7

x

−

cos9 x

+ C .

5

7

9

5

7

9

6. ∫ cos 4 xdx .

Розв’язання. Оскільки m = 0, n = 4 — парне, то застосуємо формулу зниження степеня:

	4						2		2						1+ cos 2x				2		1									2
cos		x = (cos						x)		=									=				(1+ 2 cos 2x + cos								2x) =
															2						4
		=	1	+	1	cos 2x +						1			(1+ cos 4x) =					3		+		1	cos 2x +			1	cos 4x .
			4		2															8				2
											8															8
Тоді											3					1										1
			∫ cos 4 xdx						=				∫ dx +				∫ cos 2xdx +										∫ cos 4xdx =
											8															8
															2

=38x + 14 sin 2x + 321 sin 4x + C .

7.∫32 sin 6 x cos 4 xdx .

Розв’язання. Виконаємо перетворення

130