0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfОскільки |
< 0 , то в точці M1 (1; 1) |
екстремум відсутній. |
||
Точці M 2 |
(1; − 1) |
відповідають значення |
||
|
|
A = 2 , |
B = 0 , C = 12 , = 24 > 0 . |
|
Оскільки |
> 0 |
і A > 0 , |
то в точці |
M 2 (1; − 1) функція сягає мінімуму, |
причому zmin |
= z(1; − 1) = −3 . |
|
6. Дослідіть на екстремум функцію
z = x3 + xy2 + x2 y.
Розв’язання. За необхідною умовою екстремуму маємо систему рівнянь
∂z∂x∂z∂y
= 3x2 + y 2 + 2xy = 0,
= 2xy + x2 = 0,
звідки знаходимо єдину стаціонарну точку M (0; 0) . |
|
|
|||||
Частинні похідні другого порядку мають вигляд |
|
|
|||||
∂ 2 z |
= 6x + 2 y , |
∂ 2 z |
= 2 y + 2x , |
∂ 2 z |
= 2x . |
||
∂x2 |
∂x∂y |
∂y |
2 |
||||
|
|
|
У точці M (0; 0) усі похідні другого порядку обертаються в нуль, тобто
A = B = C = = 0 . Теорема 2 не дає відповіді про існування екстремуму у точці М. Проведемо додаткове дослідження. Значення функції у точці
M (0; 0) дорівнює нулю: z(0; 0) = 0 . На прямій y = 0 z = x3 . При x > 0
z(x; |
0) = x3 > 0 , а при x < 0 z |
(x; 0) = x3 < 0 . Отже, в довільному околі то- |
чки |
M (0; 0) функція набуває |
як додатних, так і від’ємних значень. Це |
означає, що в цій точці функція z(x, y) не має локального екстремуму.
7. Знайдітьумовнийекстремумфункції u = x2 + y2 + 2z2, якщо x − y + z =1. Розв’язання. Виразимо з умови зв’язку змінну z:
z= 1− x + y
іпідставимо її значення у функцію u(x, y, z) . У результаті прийдемо до за-
дачі про безумовний екстремум функції двох змінних x та y :
u = x2 + y2 + 2(1 − x + y)2 .
51
Знайдемо точки можливого екстремуму одержаної функції:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u = 2x −4(1−x + y) = 0 ; |
∂u = 2 y + 4(1−x + y) = 0 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2(1− x + y) = 0, |
y = − x, |
x = 2 / 5, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + 2(1− x + y) = 0; |
5x = 2; |
y = −2 / 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
Отже, функція u(x, y) має єдину стаціонарну точку |
M |
|
; − |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||
Частинні похідні другого порядку функції u(x, y) такі: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2u |
= 6 ; |
∂ 2u |
= −4 ; |
∂ 2u |
= 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оскільки |
|
|
(M ) = 6 6 − (−4)2 = 20 > 0 та |
A = |
∂ 2u |
= 6 > 0 , |
то у точці |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M |
|
|
; − |
|
|
|
|
|
ця функція |
досягає мінімуму. |
|
Знаходимо |
координату z: |
|||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z = 1 − |
|
2 |
|
|
− |
|
2 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отже, |
функція u = x2 + y2 + 2z2 |
за умови x − y + z =1 має у точці |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M1 |
|
|
|
; − |
|
|
|
|
|
; |
|
|
мінімум, причому umin = u(M1 ) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
8. Знайдіть умовний екстремум функції z = 3x + 2 y3 |
за умови |
|
|
+y2 =1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
x ≥0.
Розв’язання. Зручно записати умову зв’язку, яка геометрично є правою частиною еліпса, у параметричній формі:
x = 2 cos t , y = sin t , t − |
π |
; |
π |
. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
Тоді функція z(x, y) набуде вигляду z(t) = 6 cos t + 2 sin3 t.
Досліджуємо цю функцію на екстремум:
z′(t) = −6 sin t + 6 sin 2 t cos t = 3sin t(sin 2t − 2) ; sin t(sin 2t − 2) = 0, sin t = 0, t = πn, n Z .
52
За умовою t − |
π |
; |
π |
|
, тому t = 0 — єдина стаціонарна точка, пере- |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
ходячи через яку похідна змінює знак із «+» на «–». Отже, t = 0 — точка
максимуму |
функції z(t). |
Знаходимо xmax = 2 cos 0 = 2 , |
ymax = sin 0 = 0 , |
||
zmax = 6 . |
|
|
|
(2; 0) — точка умовного максимуму функції |
|
Таким чином, точка |
|||||
z = 3x + 2 y3 |
на кривій |
x2 |
|
+ y2 = 1, x ≥ 0 . |
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
9. Знайдіть умовний екстремум функції z = 8 − 2x − 4 y |
за умови x2 + |
+2y2 − 12 = 0.
Розв’язання. Складаємо функцію Лагранжа:
L = 8 − 2x − 4 y + λ(x2 + 2 y 2 − 12) ,
необхідні умови екстремуму якої мають вигляд:
|
∂L |
= −2 |
+ 2λx = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
λx = 1, |
x = 1/ λ, |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂L |
= −4 |
+ 4λy = |
0, |
|
|
λy = 1, |
|
|
|
|
|||
|
∂y |
|
|
y = 1/ λ, |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 y |
2 |
= 12; |
|
2 |
= 1/ 4, |
|||
|
∂L |
= x2 + 2 y2 − 12 |
= |
x |
|
|
λ |
|
||||||
|
∂λ |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y = 2 ; якщо |
|
звідки знаходимо дві критичні точки: якщо λ = 1/ 2 , |
то |
|||||||||||||
λ = −1/ 2 , то x = y = −2 . Отже, точки M1 (2; 2) , M 2 (−2; − 2) |
— точки мож- |
ливого екстремуму функції z = 8 − 2x − 4 y за умови, що x2 + 2 y 2 − 12 = 0 . Перейдемо до перевірки достатніх умов існування екстремуму. Знаходимо d 2 L :
∂2 L |
= 2λ ; |
∂2 L |
= |
4λ ; |
∂ 2 L |
= 0 |
; |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
||||||
|
|
|
|
|
||||
d 2 L = 2λdx2 + 2 0dxdy + 4λdy2 |
= 2λ(dx2 + 2dy2 ) . |
При λ = 1/ 2 виконується нерівність d 2 L > 0 , значить точка M1 (2; 2) є
точкою умовного мінімуму; при λ = −1/ 2 d 2 L < 0 , тобто точка M 2 (−2; − 2) є точкою умовного максимуму. Знаходимо
zmin = z(2; 2) = −4 , zmax = z(−2; − 2) = 20 .
53
10. Знайдіть найбільше та найменше значення функції z = x2 + xy + 2 y 2
в області D = {(x, y) x ≤ 1, y ≤ x + 1, y ≥ x −1} .
y |
Розв’язання. Знайдемо спочатку стаціонарні точ- |
|
ки функції z(x, y) . Маємо |
||
|
|
2 |
|
В |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
= 2x + y = 0, |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
∂x |
x = 0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
|
D |
|
|
|
∂z |
= x + 4 y = 0 |
y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
–1 |
М |
1 |
С |
x |
|
|
|
|
|
Отже, M (0; 0) — єдина стаціонарна точка даної |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
–1 |
К |
|
функції, ця точка належить області D (рис. 1.13). |
|||||
|
|
|
|
|
Переходимо до дослідження функції на межі об- |
||||
|
Рис. 1.13 |
|
ласті D, яка складається із чотирьох відрізків АВ, |
||||||
|
|
|
|
ВС, СК і КА. |
|
|
|
||
Рівняння відрізка АВ: |
y = x + 1, x [−1;1] , на цьому відрізку функція |
має вигляд:
z = x 2 + x(x + 1) + 2(x + 1)2 = 4x2 + 5x + 2 ,
мінімум якої досягається в точці x = −5 / 8 . Оскільки −5 / 8[−1;1] , то точка M1 (−5 / 8; 3 / 8) належить відрізку АВ .
На відрізку ВС: x = 1, y [0; 2] функція набуває вигляду
z= 1+ y + 2 y2 ,
їїточка мінімуму — y = −1/ 4 [0; 2] , тобто точка M 2 (1; −1/ 4) не належить
відрізку BC . Виключаємо цю точку з подальшого розгляду. Розглянемо функцію на відрізку КС: y = x − 1, x [0;1] . Маємо
z = x2 + x(x − 1) + 2(x − 1)2 = 4x2 − 5x + 2 ,
її точка мінімуму — x = 5 / 8 [0; 1] . Цьому значенню відповідає точка
M 2 (5 / 8; −3 / 8) відрізка КС.
Нарешті, на межі КА: y = − x − 1, x [−1; 0] функція
z = x2 + x(− x − 1) + 2(− x − 1)2 = 2x2 + 3x + 2
має мінімум при x = −3 / 4 [−1; 0] , тобто точка M 3 (−3 / 4; − 1/ 4) KA . Обчислимо значення функції z(x, y) у відібраних точках M, M1 , M 2 ,
M 3 , а також у точках A, B,C та K:
54
z(M ) = 0 , z(M1 ) = 7 /16 , z(M2 ) = 7 / 16 , z(M 3 ) = 7 / 8 , z( A) = 1 , z(B) = 11 , z(C) = 1, z(K ) = 2 .
Отже,
max z(x, y) = z(1; 2) = 11 ; |
min z(x, y) = z(0; 0) = 0 . |
D |
D |
Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі, проведеної до поверхні z(x, y) у точці М.
1. |
z = x 2 + 3y 2 |
, M (2; 1) . |
2. |
sin 2 x + sin 2 |
y + cos2 z = 2 , M (π / 2, π / 4, π / 4) . |
3.xyz = e x+ y+ z + 1, M (2; −1; −1) .
4.x2 − 3x + y2 + 2xy + 2xz − 2zy + 2 = z2 , в точках перетину з віссю Ox.
5. Знайдіть похідну функції u = xy 2 + z3 − xyz у точці M (1; 1; 2) у напрямку вектора, який утворює з координатними осями Ox і Oy відповідно кути α = 60° і β = 45° .
6. Знайдіть похідну функції |
z = ln(x2 + y 2 ) в точці M (2; 1) в напрямі |
до точки N (6; 4) . |
|
7. Знайдіть похідну функції |
z = x 2 − 3xy + 2 y 2 у точці M (1; 1) за на- |
прямом її градієнта. |
|
8. Знайдіть градієнт функції u = ze x− y+ 2z у точці M (1; 0; 0) .
9.Знайдітьточки, вякихградієнтфункції z = ln(x − y −1 ) дорівнює i + Gj .
10.Знайдітькут між градієнтами функції z = arctg(x / y) уточках M1 (1; 1)
та M 2 (−1; −1).
Знайдіть екстремуми функцій.
11. |
z = x 2 |
− 4xy + 5y 2 − 2x + 10 y . |
12. |
z = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y . |
13. |
z = x2 |
+ xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y . |
14. |
z = 2x4 + xy3 . |
15. |
z = x |
1 + y + y 1 + x . |
16. |
z = e x2 − y (5 − 2x + y) . |
55
Знайдіть умовний екстремум функції u(x, y, z) .
17. |
u = x2 − y 2 , |
якщо x + 2y − 6 = 0 . |
|||||
18. |
u = xyz , |
якщо x + y + z = 6 . |
|||||
19. |
u = 4x 2 + y 2 , |
якщо |
1 |
+ |
2 |
− 4 = 0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
y |
||
20. |
u = xy 2 z 2 , |
якщо x + 4 y − 2z − 10 = 0 . |
|||||
21. |
u = 16 − 10x − 24 y , |
якщо x2 |
+ y 2 − 169 = 0 . |
||||
22. |
u = 4x2 + 2y 2 + z 2 , |
якщо x2 |
+ y 2 + z 2 − 1 = 0 . |
|
|
Знайдіть найбільше та найменше значення функції |
z(x, y) |
у вказаній |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
області D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
23. |
z = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3y , D = {(x, y) |
|
|
|
x ≥ 0, y ≤ 0, x − y ≤ 3} . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
z = x3 + y3 − 3x − 9 y + 9 , |
D = {(x, y) |
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
y |
|
≤ 3} . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
z = 3x2 + 3y2 − x − y , D = {(x, y) |
|
|
|
|
x ≤ 5, y ≥ 0, y ≤ x − 1} . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
z = 2x2 y − x3 y − x2 y2 , D = {(x, y) |
|
|
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6} . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
z = 4 − 2x2 − y2 , |
D = {(x, y) |
y ≥ 0, y ≤ |
|
1 − x2 } . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1. 4x + 6 y − z − 7 = 0 , |
x − 2 |
= |
y − 1 |
|
= |
z − 7 |
|
. 2. |
|
|
|
y − z = 0 , |
|
x − π / 2 |
|
= |
y − π / 4 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z − π / 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||
= |
. |
3. |
y + z + 2 = 0 , |
|
x − 2 |
= |
y + 1 |
= |
z + 1 |
. |
4. |
|
|
M1(1; 0; 0), x − y − 2z − 1 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 1 |
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x − 1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
= |
; |
M2 (2;0;0), |
x + 2 y + 4z − 2 = 0, |
|
= |
|
= |
. 5. 5 або – 6. 6. 22 / 25 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. 2. 8. |
gradu = ek . 9. (2; 1), (0; –1). 10. 180° . 11. (–5;–3) — точка локального |
мінімуму. 12. (2; 1) — точка локального мінімуму, (–2; –1) — точка локального максимуму. 13. (1; 2) — точка локального мінімуму. 17. (–2; 14) — точка умовного
мінімуму. 18. umax = f (2; 2; 2) = 8 . 21. (5; 12) — точка умовного мінімуму, (–5; –12) — точка умовного максимуму. 23. zmin = f (1; − 1) = −3 , zmax = f (0; 0) = 4 . 24. zmin =
= f (−3; 0) = −9, zmax = f (3; 0) = 27 . 25. zmin = f (1/6; 1/6) = −1/6, |
zmax = f (5; 4) = 114. |
26. zmin = 0, zmax = f (1; 0,5) = 0,25. 27. zmin = f (1; 0) = f (−1; 0) = 2 , |
zmax = f (0; 0) = 4. |
56
Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
3.1. Складіть рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні z(x, y) у точці М:
3.1.1. z = |
x2 |
+ y |
2 |
, |
M (2; |
2) . |
|
3.1.2. |
z = |
|
x2 |
|
− xy + y2 |
|
, M (1; 2) . |
||||||||||||||||||
|
x3 |
+ y3 |
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.1.3. z = sin(ex− y − 1) , M (1;1) . |
3.1.4. z = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
, M (2; −1) . |
|||||||||||||||||||||
|
y(x + y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.1.5. z = 3 x2 + y2 +10, M (1; |
4) . |
3.1.6. z = ln(x2 − y2 − 4), M(3; 2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.7. z = arctg(ex2−2xy ) , |
M (2; |
1) . |
3.1.8. z = ex2 −3xy+ 2 y2 , |
M (1;1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
3.1.9. z = (x − y |
2 |
)e |
x2 + y |
, |
M (1; − 1) . |
3.1.10. z = x |
3 |
y |
2 |
+ arctg |
|
x |
, М(1; 1). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.11. z = (x 2 + y 2 − x)e xy , M (1; 0) . |
3.1.12. z = arctg |
x + y |
, М(2; 0). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
||||
3.1.13. z = |
|
|
x3 − y2 + 3x + 2 y , M (1; 2) . 3.1.14. z = 3 x4 + y4 + 10, М(1; 2). |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.15. z = 4 x3 − xy + y3 |
, M (1; − 1). |
3.1.16. z = |
x − xy + y |
, |
|
M (1; 0) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y 2 |
|
|
|
|
|
||||||
3.1.17. z = |
|
x |
2 + y 2 |
, M (1; 1) . |
|
3.1.18. z = |
|
|
|
x − y |
, |
M (1; 1) . |
|||||||||||||||||||||
|
x |
3 + y3 |
|
|
|
3 + y3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.1.19. z = (x3 − 2xy)ex+ y , M (1; − 1) . |
3.1.20. z = e x2 − x− y+ y2 , |
|
M (1; 0) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.21. z = ln(2x2 − 7 y2 ), |
M (2; |
1) . |
3.1.22. z = |
|
3x2 − y , M (2; 3) . |
||||||||||||||||||||||||||||
3.1.23. z = |
|
|
x2 + 2 y2 − 2x − 1, |
|
M (2; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.1.24. z = (x2 + 4xy − y 2 − 3)3 , |
M (1; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.1.25. z = xy + |
|
|
x2 + y2 |
, |
|
M (−3; 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.1.26. z = ln(x2 − 3xy + y 2 + 2) , |
M (2; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.1.27. z = (x + 2 y) |
x2 + y2 , |
|
M (1; 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.1.28. z = arctg(cos x +sin y) , |
|
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
M |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
3.1.29. z = 3 x2 + 3xy − 4x + 3y − 1, |
M (1; 2) . |
|
||||
3.1.30. z = ln(x2 − 3xy − y − 2) , |
M (4; 1) . |
|
||||
3.2. Знайдіть кут між градієнтами функцій u і v у точці М. |
||||||
3.2.1. u = arctg( x / y) , |
v = ln(x 2 + |
y ) , |
M (1; 1) . |
|||
3.2.2. u = |
3x2 + 4 y2 + z2 , |
v = 4 2x + 5y + 3z , |
M (1; 1; 3) . |
|||
3.2.3. u = arcsin(xy) , |
v = arccos(xy) , |
M (3; 1/ 4) . |
||||
3.2.4. u = x2 + y2 + z2 , |
v = x2 − 4 y + z2 , |
M (1; 1; 1) . |
||||
Знайдітькутміжградієнтамифункції u , обчисленимивточках M1 та M2 . |
||||||
3.2.5. u = xy 2 z 4 , |
|
M1 (1; 2;1) , |
|
M 2 (1; − 1; 0) . |
||
3.2.6. u = |
xy z −2 , |
|
M1 (4;1;1) , |
|
M 2 (1; 9; − 1) . |
|
3.2.7. u = 3 |
xy + 3 yz + 3 xz , |
M1 (1; 8;1) , |
|
M 2 (1; 1; 1) . |
||
3.2.8. u = arctg(x + y2 z) , |
M1 (1;1;1) , |
|
M 2 (0;1; 2) . |
|||
Знайдіть похідну функції u в точці M1 |
у напрямку до точки M2 . |
|||||
3.2.9. u = |
x2 + xy + y3 , |
M1 (1; 0) , |
|
|
M 2 (2;1) . |
|
3.2.10. u = ln(x2 − 3x + y2 ) , |
M1 (3; 1) , |
|
|
M 2 (2; 2) . |
||
3.2.11. u = e x2 y (x + y)2 , |
M1 (0;1) , |
|
|
M 2 (−1; 2) . |
||
3.2.12. u = sin 2 x cos 2y , |
M1 (π / 4; |
π / 3) , |
M 2 (π / 3; 0) . |
|||
Знайдіть похідну функції u в точці M1 |
у напрямку її градієнта, обчис- |
|||||
леного в цій точці. |
|
|
|
|
|
|
3.2.13. u = 3 x + y 2 + z3 , |
|
M1 (3; 4; 2) . |
||||
3.2.14. u = |
x2 + y 2 |
(x2 + z 2 )−1/ 2 , |
M1 (3; 4; − 4) . |
|||
3.2.15. u = ln( xy + |
yz ) , |
|
M1 (1; 4;1) . |
|||
3.2.16. u = arcctg(xy2 z) , |
|
M1 (1; − 1; 2) . |
||||
Знайдіть grad u та | grad u | функції u в точці М. |
||||||
3.2.17. u = xy 2 z −3 + |
x ( yz)−1 , |
M (1; − 2; 2) . |
||||
3.2.18. u = |
xyz + |
x2 + y 2 + z 2 − 2 , |
M (1; 4; 1) . |
58
3.2.19. u = ln(x3 + y3 + z3 ) , |
M (1; − 1; 2) . |
|
|
|
|
|||||||||
3.2.20. u = |
x2 + y2 + z2 , |
M (6; −2; 3) . |
|
|||||||||||
Знайдіть точки, для яких виконується умова grad u = a . |
|
|||||||||||||
3.2.21. u = x2 + xy + yz + xz , |
aG = 5i + 3Gj + 2k . |
|
||||||||||||
3.2.22. u = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 2y + xz , aG = −i + 4k . |
|
|||||||||||||
3.2.23. u = |
x3 |
|
2 |
|
2 |
|
G |
G |
|
|||||
|
+ xy |
|
+ z |
|
, |
a = 4i + |
4 j − k . |
|
||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||
3.2.24. u = x2 + 2 y2 − z2 − xy + 2x − 4z , aG = 5i + 2 Gj . |
|
|||||||||||||
Знайдіть точки, в яких | grad u |= b . |
|
|
|
|
|
|||||||||
3.2.25. u = ln(x2 + y 2 ) , |
b = 2 . |
3.2.26. u = arctg |
x |
|
, b = 3 . |
|||||||||
y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2.27. u = |
x + 2y , b = 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||
Знайдіть похідну функції u у точці М у напрямку її радіус-вектора. |
||||||||||||||
3.2.28. u = arcsin |
|
yzx , |
M (1; 1; 2) . |
3.2.29. u = |
x2 + y2 + z2 , M(1; 2; − 2). |
|||||||||
3.2.30. u = ln sin(x + 2 yz) , M (0; π / 6;1) . |
|
|
|
|
||||||||||
3.3. Дослідіть функцію z = f (x, y) |
на екстремум. |
|
|
|
|
|||||||||
3.3.1. z = 4x + |
y 2 |
+ 2 y + y 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2. z = ln(xy) + 1x + 2y .
3.3.3. z = 3 + 6x − x2 − xy − y2 . 3.3.4. z = x2 + 8xy + 20y2 − 20 y −1 .
3.3.5. z = ln(x4 y) + |
1 |
+ |
1 |
− 3x . |
||||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|||
3.3.6. |
z = ln(xy2 ) + |
5y + 6x |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
xy |
|||
3.3.7. |
z = 9x + |
y 2 |
+ 6y + 3y 2 + 2 . |
|||||
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
3.3.8. z = 2x − y + 1x ( y + ln x + 1) .
59
3.3.9. z = 27x3 + 18xy2 − 153x − 72 y .
3.3.10. z = 3x2 + y 2 − 3x + 3xy − 3y . 3.3.11. z = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 .
3.3.12. z = x3 + y3 − 5x 2 y + 3xy 2 + 5x + 5y .
3.3.13. z = e− x2 − y2 (2x2 + y2 ) . 3.3.14. z = 6x − x2 − xy − y2 .
3.3.15. z = x2 |
+ xy + y2 − 6x − 9 y . |
|||
3.3.16. z = |
x2 |
− 2x − |
1 |
− 2 y − 2 . |
|
y |
|||
|
y3 |
|
||
3.3.17. z = x 2 |
+ 5y 2 + 2x + 4xy − 6 y . |
3.3.18. z = x3 + y3 − 2x2 y + 3xy 2 − 7x − 7 y .
3.3.19. z = ln(x2 y) + 4 y + 3x . xy
3.3.20.z = y x − 2 y 2 − x + 14y .
3.3.21.z = 2 arctg x + 2 arctg y − ln(x2 + 1)( y2 + 1) .
3.3.22.z = 2 y 3x − 8y 2 − 3x + 28y .
3.3.23.z = x3 + 8y3 − 6xy + 3 .
3.3.24.z = (x + y) ln(x + y) + x 2 .
3.3.25.z = xy(6 − x − y) .
3.3.26.z = (x + 2y)ln(x + 2 y) + 4y2.
3.3.27.z = 27x3 + 8y3 − 18xy .
3.3.28.z = x3 + y3 − 3xy2 − 9x + 9 y .
3.3.29.z = x y − x2 − y + 6x .
3.3.30.z = 4 arctg x + 2 arctg y − ln(x2 + 1)( y2 + 1) .
3.4. Знайдіть умовний екстремум функції u(x, y, z) .
3.4.1. u = x + 2 y , |
якщо 4x2 + 9 y2 |
= 36 . |
||||
3.4.2. u = 16x2 + y2 , |
якщо |
1 |
+ |
2 |
− 4 |
= 0 . |
2x |
|
|||||
|
|
|
y |
|
||
3.4.3. u = x − 2y + z , |
якщо x + y 2 − z 2 − 1 = 0 . |
60