0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
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13. ∫ |
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3 |
x |
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dx . |
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14. ∫ |
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x7 |
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dx . |
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15. ∫ |
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dx |
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. |
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1+ 3 x 2 |
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1 |
+ x 2 |
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x(1+ x |
3 |
) |
1/ 4 |
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16. ∫ |
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dx |
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. |
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17. ∫ |
x (1+ 2 6 x )3 dx . |
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18. ∫ |
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dx . |
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x |
+ x 2 − x + 4 |
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3 1+ x3 |
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19. ∫ |
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x 2 dx |
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. |
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20. ∫ |
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dx |
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. |
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21. ∫ |
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dx |
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(6x − 8 − x2 )3 |
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x 2 + 2x + 5 |
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(2x − 3) 4x − x 2 |
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22. ∫ |
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x 2 dx |
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. |
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23. ∫ |
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dx |
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. |
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24. ∫ |
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dx |
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x 2 − 2x + 2 |
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(x −1) 6x − x 2 − 5 |
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x |
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x2 + x + 1 |
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25. ∫ |
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x 4 dx |
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. |
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26. ∫ |
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dx |
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. |
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27. ∫ (2x 2 − 3x)dx . |
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x 2 + 4x + 5 |
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x 2 + x − x 2 |
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x 2 − 2x + 5 |
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28. ∫ |
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2x + x |
2 |
dx . |
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29. ∫ |
1+ x 2 |
dx . |
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30. ∫ |
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xdx |
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. |
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x |
2 |
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2 + x |
2 |
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x − |
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x 2 − 1 |
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Відповіді |
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|||||||||||||
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1. |
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x2 + 6 x + 11 |
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+ C . |
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2. |
arc sin |
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x − 1 |
+ C . |
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3. |
|
3 |
|
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2 x2 − 12x + 15 + |
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ln |
x + 3 + |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+2 2 ln | x − 3 + |
x2 − 6x + 15 / 2 | +C . |
4. − 6 |
|
|
x − x2 + 4 arcsin(2x + 1) + C . |
5. −2 5 + 4t − t2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+3 arcsin( |
t − |
2 |
|
) |
+ C , |
де |
t |
|
= sin t . |
|
6. |
2 |
|
x − |
4 |
4 |
x |
|
+ 4 ln 1 + |
4 |
x + C . |
|
7. |
|
3 |
|
3 |
x + 1 4 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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16 |
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x |
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|
− 1 |
|
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|||||||||||||||
|
3 |
|
|
x |
+ 1 |
7 |
|
|
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|
8. |
6 6 |
|
5 |
|
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|
6 |
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|
6 |
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9. −2t − ln |
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t − 1 |
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x − 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
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|
3 |
|
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+ C . |
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|
x |
|
− 2 |
|
x + |
6 |
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x |
− 6 arctg |
|
x + C . |
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+ C, де |
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t = |
|
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|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
28 x |
− 1 |
|
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5 |
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t |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
10. ln | x | + |
10 |
|
− |
5 |
|
+ |
|
10 |
|
|
|
|
− |
|
|
5 |
|
|
|
|
− 10 ln |
|
1 + 10 x |
|
|
+ C. 11. |
( |
|
|
x − 2) |
1− x − arcsin |
|
|
|
x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 3 |
|
|
|
|
10 x |
7 |
5 x |
|
|
3 10 |
x3 |
4 |
|
|
2 5 x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 / 3 1/ 2 |
|
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|
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|
|
|
t7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
( |
4 |
|
x + 1) |
− 3 |
3 |
( |
4 |
x |
+ |
1) |
+ C . |
13. |
u |
− 3u + C , де |
|
|
|
u = (1 |
+ x |
. |
14. |
|
|
|
|
− |
t |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ t3 − t + C, |
|
де |
t = |
|
1 + x2 . |
|
15. |
2 |
arctg 4 |
1 + x3 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
4 1 + x3 |
|
− 1 |
|
|
+ C. |
|
|
16. |
|
|
|
|
|
8 − x + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
8ln |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
4 1 + x3 |
+ 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
t − 1 |
|
+ 8ln |
|
2t + 1 |
|
− |
ln |
|
t + 1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
x2 − x + 4 |
|
− |
|
ln |
1 − |
2x + |
|
x2 |
− x + 4 |
+ C. |
|
17. |
− |
|
|
|
|
|
+ C, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
де |
t = |
|
|
x2 − x + |
4 + 2 |
. |
|
18. |
|
1 |
|
ln |
|
+ u + 1 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
2u + 1 |
+ C , |
|
|
де |
|
|
|
u = |
|
|
1 + x3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
6 |
|
(u |
|
− 1)2 |
|
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3 |
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|
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|
|
|
3 |
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|
x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||
19. |
|
x − 3 |
|
|
|
x2 + 2x + 5 − ln x + 1 + |
|
|
x2 + 2 x + 5 + C . |
|
20. − |
|
1 |
ln |
|
|
x + 6 + |
|
|
|
|
60 x − 15x2 |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − 3 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
151
21. |
|
x − 2 |
|
− |
6x − 8 − x2 |
+ C . 22. |
|
|
|
|
x + 3 |
x2 − 2x + 2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 2x + 2 |
|
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
x − 1 + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 6x − 8 − x |
2 |
|
|
|
2(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
23. Вказівка. Зробітьзаміну |
|
|
|
|
= t. |
24. −ln |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C . 25. |
|
|
|
(12x −56x + 95x−10)× |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x−1 |
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
48 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
× |
x2 + 4 x + 5 − |
455 ln |
|
x + 2 + |
x2 + 4 x + 5 |
|
+ C. |
|
26. Вказівка. |
Зробіть |
заміну |
1 |
= t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
27. |
x x2 − 2x + 5 − 5ln |
|
x − 1 + |
x2 − 2x + 5 |
|
+ C. 28. −2 |
x + 2 |
− |
ln |
|
|
x + 2 − |
x |
+ C. Вказівка. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + x2 ) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x + 2 + |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Виконайте заміну |
x = |
1 |
. 29. |
|
|
2 |
ln |
|
x − |
|
− |
1 |
ln |
|
x − |
1+ x2 |
|
+ C. |
Вказівка. Вико- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
4 |
|
x + |
2(1 + x2 ) |
|
2 |
|
x + |
1+ x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||
найте заміну x = tg t. 30. Вказівка. |
Домножте |
чисельник |
і знаменник дробу на спря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жений вираз x + |
x2 − 1 . |
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
5.1. Знайдіть інтеграли від квадратичних ірраціональностей.
5.1.1. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.2. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.3. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
|
x2 − 4x + 1 |
|
|
2 − 3x − 2x2 |
|
|||||||
|
4 |
+ 8x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.1.4. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.5. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.6. ∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
|
2 + 8x − 2x2 |
|
3 + 2x − x2 |
|
|
|||||||
|
x |
2 + 6x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.1.7. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.8. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.9. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
|
1 + 6x − x2 |
|
|
x2 − 10x + 4 |
||||||||
|
2 |
− 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.1.10. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.11. ∫ |
dx |
|
|
. |
5.1.12. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
2x + 3 − x2 |
4x2 − 8x + 3 |
1 + 2x − x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.1.13. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.14. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.15. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
4x2 − x + 4 |
2 + 4x − x2 |
|
x2 + 2x + 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.1.16. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.17. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.18. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
3x + 2 − x2 |
2x2 − 8x + 10 |
|
x2 − 5x + 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.1.19. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.20. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.21. ∫ |
dx |
. |
|
|
|
16x2 |
− 8x + 3 |
x2 − x + 1 |
|
|
2 − x − 2x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|