Higher_Mathematics_Part_1
.pdfMicromodule 12
BASIC THEORETICAL INFORMATION
SEQUENCE. THE LIMIT OF A NUMERICAL SEQUENCE.
THEOREMS ABOUT LIMITS
Sequence. The limit of a numerical sequence. Theorems about limits. Number e. Determinate and indeterminate forms.
Literature: [2, chapter 1], [3, chapter 3, §§ 3.1—3.8], [4, part 4, §§ 3.1— 3.3, 4.2—4.3], [6, chapter 4, § 3], [7, chapter 4, § 11], [10, chapter 3, § 2], [11, chapter 3, § 1], [12 chapter 2, § 1], [13].
12.1. Sequence
Definition 3.1. If the numbers xn correspond to each natural number according to the definite rule then the set of numbers {x1 , x2 , …, xn , …} is called the
We denote a sequence as {x n} ; xn is the term of sequence.
12.2. The Limit of a Numerical Sequence |
||||||||||
|
||||||||||
Definition 3.2. Number a is called a limit of a sequence {x n } if for any |
||||||||||
positive number ε > 0 |
such number |
N (ε ) |
may be found, that for any |
|||||||
n > N (ε ) the inequality |
|
|
xn − a |
|
< ε will hold. |
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|||
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|||||||
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||||||
In this case we write down: lim x |
n |
= a or x |
n |
→ a for n → ∞. |
||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
||||
Definition 3.3. The sequence {x n } |
|
is said to be infinitesimal, if |
||||||||
|
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|
lim x = 0 . |
|
|
|||
|
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|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
Definition 3.4. The sequence {x n } |
is said to be infinitely large if for any |
number M > 0 there exists such number |
N so that for n > N the inequality |
x > M holds. In this case we write down: |
lim x = ∞. |
n |
n→∞ n |
|
141 |
12.3. Theorems about Limits
We shall formulate properties of limits as theorems.
Theorem 3.1 The sequence can have only one limit.
Theorem 3.2 The sequence which has a finite limit, is bounded.
Theorem 3.3 |
|
|
|
If {xn} and {yn} have limits the following equalities are valid: |
|||||||||||||||||
1) |
lim (x |
± y |
n |
) = lim x |
± lim y |
n |
; 2) lim x y |
n |
= lim x |
n |
lim y |
n |
; |
||||||||
|
n→∞ n |
|
|
|
n→∞ n |
n→∞ |
n→∞ n |
n→∞ |
n→∞ |
|
|||||||||||
3) |
lim Cyn = C lim yn , where С is constant; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
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|
|
|
||
|
|
xn |
|
|
|
lim x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
4) |
lim |
|
= |
n→∞ n |
lim y |
n |
≠ 0 |
. |
|
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|
|||||||
|
lim yn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ yn |
|
|
(n→∞ |
|
|
|
|
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|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
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|
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Theorem 3.4
Theorem 3.5
If x ≥ 0, then |
lim x |
n |
= a ≥ 0. |
|
|
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|
n |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
If for sequences {x }, {y } and {z }: x |
≤ y |
≤ z and |
lim x = a, |
|||||
|
n |
|
n |
n |
n |
n |
n |
n→∞ n |
lim zn = a , then lim yn exists and |
lim yn = a . |
|
||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
Theorem 3.6 Any monotone bounded sequence has a limit.
Theorem 3.7 |
For all elementary functions at any point where they are deter- |
||||||||
|
mined, the equality |
lim f (x) = f (lim x) is valid. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
x→a |
|
x→a |
|
|
||
Using Theorem 3.6. we can prove that there exists |
|
+ |
1 n |
||||||
lim 1 |
. We denote |
||||||||
this limit as e = 2,71828…. |
|
|
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|
n→∞ |
|
n |
||
|
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|
|
|
|||
That is, |
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||
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1 |
n |
|
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|
lim 1+ |
n |
= e. |
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|
n→∞ |
|
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|
12.4. The Determinate and Indeterminate Expressions
While calculating the limits of variables it is necessary to take into account the following:
142
1)a sum and a product of the finite number of infinitesimal magnitudes, and also a product of an infinitesimal by a bounded magnitude are infinitesimal magnitudes;
2)a sum and a product of infinitely large magnitudes, and also a product of infinitely large magnitude by a nonzero constant are infinitely large magnitudes;
3)a quotient of a constant by an infinitely large magnitude is an infinitesimal, a quotient of nonzero constant by an infinitesimal is an infinitely large magnitude.
In the examples of finding the limits sometimes indeterminate expressions occur: the ratio of two infinitesimal magnitudes; the ratio of two infinitely large magnitudes; a difference of two infinitely large magnitudes; a product of an infinitesimal by an infinitely large magnitude; an infinitesimal or infinitely large magnitude in an infinitesimal degree; a magnitude which tends to unit in an infinitely large degree. Symbolically the indeterminate expressions can be written down as:
|
|
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|
|
|
0 |
|
∞ |
∞ − ∞, 0 ∞, 00 , ∞0 , 1∞. |
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
∞ , |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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Micromodule 12 |
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|||||||||||||||
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|
EXAMPLES OF PROBLEMS SOLUTION |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
Еxample 1. Prove that |
lim |
|
n2 + 1 |
|
= 1. |
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||||||||||||||||
|
|
n |
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
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n→∞ |
|
N (ε ) so that |
|
|
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|
|
for n > N (ε ). |
||||||||||||||
|
Solution. Let us find such number |
|
xn − 1 |
|
< ε |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
For this purpose we should solve the inequality |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
n2 + 1 |
|
−1 |
|
< ε. |
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|
(3.1) |
|||||||
|
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|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||
|
As far as n N we get from the inequality (3.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 + 1 |
|
−1 < ε n2 + 1 < |
(ε + 1)2 |
|
1 |
< ε2 |
+ 2ε n > |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
ε2 + 2ε |
|||||||||
|
If to take |
N (ε ) |
so that it would be equal to the nearest but greater than |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
natural |
number |
then |
|
xn − 1 |
|
< ε |
|
for all |
|
n > N (ε ). |
From here it |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ε2 + 2ε |
|
|
n2 |
+ 1 |
|
= 1. |
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||||||
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||||||||||
follows that lim |
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
7n4 − 5n2 + 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Еxample 2. Find |
|
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 10 + 2n − 3n4 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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143 |
Solution. We have an indeterminacy of a kind |
∞ |
|
. We evaluate it by |
|
∞ |
|
|
dividing the numerator and the denominator by the greatest power of n:
|
|
7n4 − 5n2 + 4n |
|
|
|
|
7 − |
5 |
+ |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|||||||||||||
|
lim |
= lim |
|
n2 |
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n→∞ 10 + 2n − 3n4 |
n→∞ |
10 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 + |
|
|
− 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
||||||||
|
lim 7 − lim |
5 |
|
+ lim |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
n→∞ |
n→∞ n2 |
|
|
n→∞ n3 |
= |
7 − 0 + 0 |
= − |
7 . |
|||||||||||||
lim 10 |
|
2 |
|
0 + 0 − 3 |
||||||||||||||||||
|
+ lim |
|
− lim 3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ n4 |
n→∞ n3 |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
By means of division of the numerator and the denominator by the greatest power of n it is possible to prove the validity of such formula:
|
a0n |
m |
+ a1n |
m−1 |
+ …+ am |
a0 / b0 , |
if m = k ; |
||
|
|
|
|
|
if |
m < k; |
|||
lim |
|
|
|
|
|
= |
0, |
||
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ b0nk + b1nk −1 + …+ bk |
|
∞, |
if |
m > k. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
This formula is valid if we consider in the similar way limits of sequences where there is a value n and n → ∞ instead of x.
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Еxample 3. Find |
lim |
n5 − n3 |
+ 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n→∞ (n − 2)7 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Solution. We have an indeterminacy of a kind ∞∞ . Then |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
lim |
n5 |
− n3 |
+ 4 |
= lim |
n5 |
(1− n |
|
15 |
+ 4n |
|
5 ) |
= lim |
|
|
n5 |
|
|
= |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 n→∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
(n |
− 2)7 |
− 5 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|||||||||
|
|
|
n |
7 |
− |
− 5n |
− 7 |
|
n |
7 |
− |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
n5 |
= lim |
1 |
= lim |
1 |
|
= |
1 |
= 0 . |
||
3 |
3 |
− 2 |
|
1 |
|
∞ |
|||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|||||
|
n7 |
|
n7 |
5 |
|
n35 |
|
|
|
|
144
Here we have used limits
|
|
|
|
|
|
|
lim n p |
|
= 0, if |
p < 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim n p |
= ∞, if |
p > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Еxample 4. Find lim |
|
n!− (n + 1)! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n→∞ (n + 2)!− n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Solution. We have an indeterminacy of a kind ∞ |
. Then |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim |
n!− (n + 1)! |
= lim |
|
n!− n!(n + 1) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
(n + 2)!− n! |
n→∞ n!(n + 1)(n + 2) − n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= lim |
|
|
n!(1− n − 1) |
|
= lim |
|
|
−n |
|
|
|
= lim |
|
|
−n |
|
|
|
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ n!((n + 1)(n |
+ 2) − 1) |
n→∞ (n + 1)(n + 2) −1 |
|
n→∞ n2 + 3n + 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
Еxample 5. Find lim 1+ 3 + 5 + …+ (2n −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ 1+ 4 + 7 + …+ (3n − 2) |
∞ |
. We use the formula |
||||||||||||||||||||||||||
Solution. We have an indeterminacy of a kind |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a1 + an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Sn = |
n |
for sum of n terms of arithmetical progression: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 3 + 5 + …+ (2n − 1) = |
1+ 2n − 1 n = n2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n(3n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1+ 4 + 7 + …+ (3n − 2) = |
1+ 3n − 2 |
n = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
1+ 3 + 5 + …+ (2n − 1) |
|
= lim |
2n2 |
|
= lim |
|
|
2n |
|
|
= |
2 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
1+ 4 + 7 |
+ …+ (3n − 2) |
|
|
|
|
3n − 1 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ n(3n − 1) |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Еxample 6. lim ( |
n2 − 2n − 3 − n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solution. We have an indeterminacy of a kind (∞ − ∞). Let us multiply the numerator and the denominator of the given fraction by the expression conjugate
to the numerator |
n2 − 2n − 3 + n . Then |
|
|
||
lim ( n |
2 |
− 2n − 3 − n) = lim |
( n2 |
− 2n − 3 − n)( n2 − 2n − 3 + n) |
= |
|
|
n2 − 2n − 3 + n |
|||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
145
|
|
|
= lim |
n2 − 2n − 3 − n2 |
= lim |
|
|
|
|
−2n − 3 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ n2 − 2n − 3 + n |
|
n→∞ n2 − 2n − 3 + n |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
−2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= −1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Micromodule 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
CLASS AND HOME ASSIGNMENT |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Using the definition of a limit prove that |
lim x |
|
= a . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
lim |
3n − 5 |
= 3 . |
|
|
|
2. |
lim |
|
|
n2 + 5 |
|
= 1 . |
|
3. |
|
lim 6n2 + 7 |
= 6 . |
|||||||||||||||
|
n→∞ |
2n − 1 2 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 5n2 + 6 |
5 |
||||||||||
4. |
lim an = 0 , if |
|
a |
|
< 1 . |
5. |
lim |
|
2n + 3 |
= |
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
3n + 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Evaluate limits of sequences: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. а) lim |
3n − 2 |
; |
|
|
|
b) lim |
|
n3 + 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
c) lim |
100n2 + n + 1 . |
|||||||||||||||
|
n→∞ n + 1000 |
|
|
|
|
n→∞ |
2n + 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
4n3 + 5 |
|
7. |
lim |
|
4n4 − 5n2 + 4 |
|
. |
||
|
|
|
|
3) |
|||
n→∞ (n3 − n + 2)(2n + |
|
||||||
9. |
lim |
n! (n2 + 1) |
. |
|
|
||
|
(n + 2)! |
|
|
||||
n→∞ |
|
|
|
|
|||
11. |
lim |
3 + 5 + …+ (2n + 1) . |
|||||
|
n→∞ |
2n2 − 3n + 4 |
|
|
|||
13. |
lim |
3n + 2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
3n + 4n |
|
|
|
||
15. |
lim ( 4n2 − n − 2 − 2n) . |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
14 |
|
|
|
8. |
lim |
n 3 |
+ 3n |
4 + 2 |
. |
|
||
|
|
16 |
|
|
|
|||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n 5 −1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
lim |
|
(n + 2)!+ n! |
. |
||||
(n |
|
|
||||||
|
n→∞ |
+ 2)!− (n + 1)! |
||||||
12. |
lim |
3n + 1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
n→∞ 3n+1 + 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
14. |
lim |
2n |
. |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||
|
4n −1 |
|
|
|
|
146
Answers
6. а) 3; b) ∞; c) 0. 7. 2. 8. ∞. 9. 1. 10. 1. 11. 1/2. 12. 1/3. 13. 0. 14. 1/2.
15.–1/4.
Micromodule 12
SELF-TEST ASSIGNMENTS
Evaluate limits of sequences:
12.1. а) lim |
(2 + n)3 − (3 + n)3 + 1 |
; |
||
(2 + n)2 |
+ (3 + n)2 |
|||
n→∞ |
|
c) |
lim |
|
(n + 2)!+ (n + 1)! |
; |
|
|
|
|||||||
|
(n + 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.2. а) |
lim |
|
3n3 − 2(n + 1)2 + 2 |
; |
|
|
||||||||
|
(2n + |
1)3 + n −1 |
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
c) |
lim |
|
1+ 5 + …+ (4n − 3) |
; |
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
1+ 7 + …+ (6n − 5) |
|
|
|||||||||
12.3. а) |
lim |
|
5n4 − 3n + 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 7n − 2n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
lim |
|
2 + 4 + 6 + ... + 2n |
|
; |
|||||||||
1+ 3 + 5 + ... + |
( |
2n + |
) |
|||||||||||
|
n→∞ |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.4. а) |
lim |
|
1000n4 − 3n + 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
2 − 7n − n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
lim |
|
n5 + 2n6 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n10 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.5. а) |
lim |
|
(2n)4 − 3n3 + n |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
4n + n3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ 100 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c) |
lim |
|
(n + 2)!+ (n + 1)! |
; |
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
(n + 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
n 3 |
+ 2n 4 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n 4 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d) |
lim |
5n |
− 2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
n7 |
− n |
5 + 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − 1)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d) |
lim ( |
n2 − 4n + 3 − |
n2 + 1) . |
|
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
n3 |
+ 2n |
4 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 3)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
( n3 + 3 − |
|
n3 − 2 ). |
|
|
|||||||||
d) |
lim n2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
|
1 |
− |
1 |
+ ... + |
(−1) |
n−1 |
1 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
25 |
|
5 |
n |
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d) |
lim ( |
n2 − n + 3 − |
|
n2 + n) . |
|
|
|||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
lim |
n3 |
+ 2n4 + 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n 8 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d) |
lim |
5n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ 5n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147 |
12.6. а) |
|
|
(3n)4 |
+ 5n3 − 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 + 5 + |
3 7 − 2n3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ (4n)3 − n − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
3 3 − 8n6 + n −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
d) |
lim |
8 |
n |
. |
|
|
|
|
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lim |
1 |
3 |
9 |
... |
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|
|
|
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2 |
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n |
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n→∞ |
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3 |
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n→∞ |
8n + 1 |
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||||||||||||||||||
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12.7. а) |
lim |
|
(2n −1)2 (n − 3) + 6n3 − n |
; |
b) |
lim |
|
|
n3 − 3 + |
|
3 5n5 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n − 1)3 + n + |
2 |
|
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4 2n5 − 7 |
|
n8 + 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
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|
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n→∞ |
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1 |
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1 |
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|
1 |
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|||||||
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1+ |
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2 |
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+ |
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4 |
... |
+ |
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|
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|
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|
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(n + 2)!+ (n + 1)! . |
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|
|
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2 |
n |
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|
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c) |
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lim |
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; |
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d) |
lim |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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1 |
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1 |
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( |
n |
+ 2 |
) |
!− |
( |
|
) |
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||||||||||||||
|
n→∞ |
1 |
+ |
|
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+ |
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... + |
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n→∞ |
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n + 1 ! |
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|||||||||||||||||||
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4 |
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16 |
|
4 |
|
n |
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|||||||||||
12.8. а) |
|
lim |
(3n + 2)2 (n − 1) + 3n2 + 1 |
; |
b) |
lim |
|
|
|
n4 − 2 + 3 n7 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n − 2)3 + |
2n + |
5 |
|
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|
4 2n5 − 7 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
|
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n→∞ |
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n16 + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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1 |
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||||||||
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1+ |
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3 |
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+ |
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9 |
... |
+ |
|
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(n + 3)!+ (n + 2)! . |
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|
n |
|
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|
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c) |
|
lim |
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
d) |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
|
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|
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
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+ |
+ |
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|
|
... + |
|
1 |
|
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n→∞ |
(n + 3)!− (n + 2)! |
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1 |
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|||||||||||||
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5 |
25 |
|
5 |
n |
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|
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|
|
|
|||||||||||
12.9. а) |
lim |
|
(4n −1)2 (n + 2) + 2n2 − 1 |
; |
b) |
lim |
|
|
|
|
n5 + 1 + |
4 n9 |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n −1)3 |
+ n2 |
|
|
|
|
|
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|
n→∞ |
|
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|
n→∞ 4 2n11 − 7 n9 + 1 |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
... |
+ |
|
(−1)n |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
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1− |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)!− (n − 2)! . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) |
|
lim |
|
|
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; |
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d) |
lim |
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||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
1 |
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|
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(−1) |
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( |
n − 1 !+ |
( |
n − 2 |
) |
! |
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|
n→∞ |
|
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n |
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n→∞ |
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|
) |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
1− |
|
|
+ |
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|
|
|
... + |
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|
|||||||||||||||
|
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4 |
16 |
|
|
|
|
4n |
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||
12.10. а) |
lim |
|
(3n − 1)2 (n − 2) − 5n3 |
; |
|
b) |
lim |
|
|
n − 3 + 3 3n4 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8(n − 1)3 + |
4n + |
2 |
|
|
|
4 2n3 − 3 |
6n4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
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|
|
|
n→∞ |
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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1 |
|
|
|
1 |
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|
1 |
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|
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|||||||
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1+ |
3 |
+ |
|
9 |
... + |
|
|
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|
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|
|
(n + 2)!+ n! . |
|
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|
n |
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c) |
lim |
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
; |
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d) |
lim |
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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(−1)n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
1 |
+ |
|
1 |
... + |
|
|
|
|
n→∞ |
(n + 2)!− n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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1− |
3 |
|
9 |
|
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3n |
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
148
12.11. а) |
lim |
|
(2n −1)2 (n −1) − 5n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
8(n + 1)5 + n + 1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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1 |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
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|
||||
|
|
|
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1+ |
6 |
|
+ |
|
|
|
... |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
36 |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||
c) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
6 |
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|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
(−1)n |
|||||||||||
|
n→∞ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
16 |
|
|
4n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12.12. а) |
lim |
|
(2n + 1)2 (n + 2) + 3n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5(n − 3)4 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
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|
|
|
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|
|||||||||||
|
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1 |
|
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|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
+ |
7 |
+ |
|
|
... + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
49 |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||
c) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
(−1)n |
|||||||||||||
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n→∞ |
1 |
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7 |
49 |
|
7n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12.13. а) |
lim |
|
(3n − 1)(n −1)2 + 2n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
10(n + 1)3 + 1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
c) |
lim |
|
1+ 2 + 3 − 4 + ...− 2n ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.14. а) |
lim |
|
(2n − 1)(n − 3)2 + 7n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
14(n − 1)3 + 2 |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
c) |
lim |
|
1+ 3 + 5 + ... + (2n −1) ; |
||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
2n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12.15. а) |
lim |
|
(2n −1)(n − 3)2 − n3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
11(n − 2)3 + 22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c) |
lim |
|
1+ 4 + 7 + ... + (3n − 2) ; |
||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.16. а) |
lim |
|
(4n −1)(n + 1)2 + 3n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
6(n + 2)3 + 5 |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
c) |
lim |
|
1+ 5 + 9 + ... + (4n − 3) ; |
||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n4 + 7 − 6 |
5n7 |
||
b) lim |
|
|
|
; |
|
5 n7 + 3 + |
|
||
n→∞ |
n |
2(n + 2)!+ 3 n! d) lim ( ) .
n→∞ n + 2 !− n!
3 |
2n4 + 1 |
+ 5 |
n7 |
||
b) lim |
|
|
|
|
; |
|
5 n8 + 2 |
|
|
||
n→∞ |
+ |
n |
3(n + 1)!+ (n − 1)! d) lim ( ) .
n→∞ n + 1 !− (n − 1)!
3 |
n7 + 5 + 4 |
3n9 |
||
b) lim |
|
|
|
; |
|
5 n7 + 2 + |
|
||
n→∞ |
n |
d) |
lim |
(n + 2)!+ 5 n! . |
||||
|
n→∞ |
2(n + 2)!− n! |
||||
b) |
|
5 n7 + 4 2n11 |
||||
lim |
|
|
|
|
; |
|
5 n7 + 1 + |
|
|
|
|||
|
n→∞ |
n5 |
||||
d) |
lim |
(n + 3)!+ 5 (n + 2)! . |
||||
|
n→∞ |
3(n + 3)!− (n + 2)! |
||||
b) |
lim |
4 n11 + 4 3n13 |
||||
|
|
; |
||||
5 n16 + 1 + |
|
|||||
|
n→∞ |
n |
||||
d) |
lim |
(n + 3)!− 4 (n + 2)! . |
||||
|
n→∞ |
2(n + 3)!+ (n + 2)! |
||||
|
|
3 n10 + 4 2n13 |
||||
b) |
lim |
|
|
; |
||
|
|
|||||
|
n→∞ |
5 n16 + 1 + 2 |
||||
d) |
lim |
(n + 3)!− 5 (n + 2)! . |
||||
|
n→∞ |
3(n + 3)!+ (n + 2)! |
149
12.17. а) |
lim |
(n + 2)3 − (n − 1)3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
3n2 + 2n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c) |
lim |
1+ 6 + 11+ ... + (5n − 4) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
4n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.18. а) |
lim |
(n + 3)3 − (n − 2)3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
5n2 + 2n − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c) |
lim 1+ 7 + 13 + ... + (6n − 5) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
5n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.19. а) |
lim |
(n + 1)4 − (n −1)4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
2n3 + n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
c) |
lim |
|
1 |
|
+ |
2 |
|
+ ... + |
|
n − 1 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
n |
2 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.20. а) |
lim |
(n + 2)4 − (n − 2)4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
4n3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c) |
lim |
|
1 |
+ |
4 |
|
+ ... + |
|
3n − 2 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
n |
2 |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.21. а) |
lim |
5n(n − 1)3 − 2n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 − |
|
8n2 − 3n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
c) |
lim |
|
2 + 6 + 10 + ... + (4n − 2) |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ |
3 + 5 + |
... + |
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.22. а) |
lim |
(2n + 1)(2n −1)2 + 5n3 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3(n − 2)3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
c) |
lim |
1+ 3 + 5 + ... + (2n − 1) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
(2n + 3)(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.23. а) |
lim |
|
(2n − 3)2 (n − 3) − 6n3 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(2n − 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ |
4 |
+ |
|
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
c) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
16 |
|
|
4n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150
|
|
3 n7 + 4 5n9 |
|
|
|
|
|||||||
b) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
7 n16 − 1 + 3 |
|
|
|
|
|||||||
d) |
lim |
(n − 1)!− 2 (n − 2)! . |
|||||||||||
|
|
3 |
( |
) |
|
|
|
|
|
− 2)! |
|||
|
n→∞ |
|
n −1 !+ (n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n5 + 4 3n7 |
|
|
|
|
|||||||
b) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
5 n8 − 1 + 1 |
|
|
|
|
|||||||
d) |
lim |
n!− 2 (n − 2)! . |
|||||||||||
|
n→∞ |
n!+ (n − 2)! |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 n4 + 5 6n6 |
|
|
|
|
|||||||
b) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
5 n6 −1 + 2 |
|
|
|
|
|||||||
d) |
lim |
(n + 1)!− 2 (n − 1)! . |
|||||||||||
|
|
4 |
( |
) |
|
|
|
|
|
−1)! |
|||
|
n→∞ |
|
n + 1 !+ (n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 n4 + 5 3n3 |
|
|
|
|
|||||||
b) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
7 n6 + 1 − 1 |
|
|
|
|
|||||||
d) |
lim |
(n + 1)!− 4 (n − 1)! |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
( |
) |
|
|
|
|
|
−1)! |
|||
|
n→∞ |
|
n + 1 !+ (n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
( n3 + 2 − n3 − 4 ); |
||||||||||
b) |
lim n2 |
||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d) |
lim |
n7 + 4n8 + 2 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(n + 1)16 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b) |
lim |
4 n7 + 5 4n11 |
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
3 n7 + 1 + n7 |
|||||||||||
d) |
lim |
1+ 4n+ 2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
5 − 3 4n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n + 2 + 7 3n4 |
||||||||||
b) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4 |
n3 − 9 3n4 |
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||
d) |
lim |
(n + 4)!+ (n + 2)! . |
|||||||||||
|
n→∞ |
(n + 4)!− (n + 3)! |