Higher_Mathematics_Part_1

2) Points of intersection with the coordinate axis: if x = 0 , then y = 0 ; if y = 0 , then x = 0 or x = 2 . So, the curve passes through the points (0; 0) and (2; 0).

3)Function is neither even nor odd.

4)The points of discontinuity and vertical asymptotes do not exist.

	5) Let’s find the derivative y′ =		1	3x 2 − 4x	=	x(x −4 / 3)	.
			3 3 (x3 − 2x 2 )2			3 x4 (x −2)2
	Critical points are	x = 0 ; 4/3; 2. These points break the numerical axis into
	four intervals (−∞;0) ,	(0; 4 / 3) , (4 / 3; 2) , (2; ∞) . On each of these intervals the

derivative y′ has constant sign, so: if x (−∞;0) , then y′ > 0 and the function increases; if x (0; 4) , then y′ < 0 and the function decreases; if x ( 4 ;2) (2; ∞) ,

3	3
then y′ > 0 and the function	increases. During transition through the point

x = 0 derivative changes the sign from plus to minus, so, x = 0 is the point of

maximum, and ymax = y(0) = 0 .

x = 4 / 3 derivative

changes the

sign

During transition through the point

from minus to plus, so, at this point it is minimum:

ymin = y(4 3) = 3 (4 3)2 (4 3 − 2)

= − 3 32 27 = − 23 4

>> – 1.1.

3

During transition through the point

x = 2

derivative does not change the

sign, so, this point is not the point of extremum.

6) Let’s find the second derivative

x(x − 4 3)

x − 4 3

y′′ =

=

=

3

x

4

(x −

2)

2

3

x(x − 2)

2

3 x(x − 2)2 − (x − 4 3) (x − 2)2 + 2x(x − 2)

33 x2 (x − 2)4

=

3 x2 (x − 2)4

9x(x − 2)2 − (3x − 4)(x − 2)(3x − 2) = − 8

(x − 2)

.

9

3

x

4

(x − 2)

8

9 3

x

4

(x −

8

2)

Second derivative doesn’t exist if

x = 0 or

x = 2 . So, points x = 0; 2

are

the critical points of the second type. Let’s consider the intervals (−∞; 0) , (0; 2) and (2; ∞) . On the intervals (−∞; 0) and (0; 2) y′′ > 0 and the curve is concave; if x (2; ∞) , then y′′ < 0 and the curve is convex. The inflection point has the coordinates (2; 0).

261

7) Let’s find the inclined asymptote:

k = lim		f (x)	3	x3 − 3x2	= 1,
		x	= lim	x
	x→∞		x→∞
b = lim ( f (x) − kx) = lim (3				x3 − 2x 2	− x) =
	x→∞		x→∞
= lim		x3 − 2x2 − x3			= −	2	.
						3
x→∞ 3 (x3 − 2x2 )2 + x 3 x3 − 2x2 + x2

In such a way, straight line y = x −2 / 3 is inclined asymptote of our curve.

Other asymptotes don’t exist.

8) Taking into account the spent investigations, we can draw the graph of our function (Fig.3.35).

у

4/3

О

1

2

х

•

Fig. 3.35

Micromodule 22

CLASS AND HOME ASSIGNMENTS

Let’s find the intervals of increasing and decreasing of the functions:

1.	y = 6−3x2 −x3 .				2.	y = x4 −2x2 .						3. y = x ln x .
4.	y = x2 e−x .				5.	y =	x2 +2x			.
							x −1
Investigate the function on extremum:
6.	y = x3 −9x2 +15x −10 .						7.	y = x5 −5x4 +5x3 +5 .
8.	y = (x −1)2 (x −2)2 .						9.	y = x(x −1)2 (x +1)3 .
10.	y =	1−x + x2		.	11.	y = 3x +		1			.	12. y =		2x	.
		1+ x	−x2					x3						+ x2
												1

262

Let’s find maximum and minimum values of the functions:

		2
13. y = xe−x .	14. y = x −ln(1+ x) .	15. y =	ln x	.
			x

Investigate the behavior of the function in neighbourhood of the giving points with the help of the derivatives of higher order:

16.y = 6ex −x3 −3x2 −6x −5 , x0 = 0 .

17.y = x sin x −x2 , x0 = 0 .

Let’s find the intervals of the concavity and convexity, and the inflection points of the curves.

18.	y = x2	− 2x + 1 .		19.	y = x3	− 1 .
20.	y = x3	− 3x2 + 9x + 6 .		21.	y = x2	ln x .
22.	y = e− x2		. 23. y = xex .	24. y = ln x + 2x2 .

Let’s find the asymptotes of the curves:

25. y =	6x4 +3x3	. 26. y =	1	.	27. y = x e2 / x +1.
	5x3 +1		x2 −3x +2

Investigate the functions and sketch the graphs:

28.

y =

x3 +4

.

29.

y =(2x+3)e−2/(x+1) . 30.

y = 3 (x +3)x2 .

x2

3x4 +1

31.

y = arctg(sin x) .

32.

y =

.

33.

y = 3ln

x

−1 .

x3

x

−3

ex+1

34.

y =

.

35.

y =

4x2

.

36.

y =

x3

.

x +1

3+ x2

x2 −

4

ln x

37.

y = 3 1−x2 . 38.

y = x2 +

2

.

39. y =16x(x −1)3 . 40. y =

.

x

x

Answers

1.

(−∞;−2) і (0; ∞) –

decreases;

(−2;0) – increases. 2.

(−∞;−1) and

(0;1) –

decreases;

(−1;0) and (1; ∞) – increases. 3.

(0;1/ e) – decreases;

(1/ e; ∞) – increases.

4. (−∞;0) and (2; ∞) – decreases; (0;2) – increases. 5.

(−∞;1−

3) and (1+

3; ∞) –

increases;

(1− 3;1) and

(1;1+

3) –

decreases. 6.

x = 2 –

maximum,

x = 3 –

minimum. 7.

x = 1– maximum,

x = 3 – minimum. 8.

x = 1;2 – minimum,

x = 3 / 2 –

263

maximum.

9. x = −4 / 3;1– minimum, x = 1/ 2 – maximum. 10. x = 1/ 2 – minimum.

11.

x = −1 – maximum, x =1– minimum. 12. x = 1 – maximum. 13. ymax = y(1) = 1/ e .

14.

ymin = y(0) = 0 .

15.

ymin

= y(1) = 0 , ymax = y(e2 ) = 4 / e2 .16.

Minimum.

17.

Maximum. 20.

(−∞;1) –

convex,

(1; ∞) –

concave,

(1;13) is inflection point.

21.

(0; e−3 / 2 ) – convex, (e−3 / 2 ; ∞) – concave, (e−3 / 2 ;−3 /(2e3 )) is inflection point.

22.

(−∞;−1/

2) (1/

2; ∞) – concave, (−1/

2;1/

2) – convex, (±1/

2;e−1/ 2 )

are inflection points. 24.

(0;1/ 2) – convex,

(1/ 2; ∞) – concave, (1/ 2;1/ 2 − ln 2) – point

of

bend. 25.

6x − 5y + 3 = 0 – inclined asymptote,

x = −1/ 3 5

is a vertical asymptote.

26.

x = 1;2

are vertical asymptotes, y = 0

is a

horizontal

asymptote.

27.

y = x + 3 .

28.

y = x ,

x = 0 are

asymptotes; (−∞;0) (2; ∞) –

increases,

(0;2) –

decreases;

xmin = 2 ,

ymin = 3 ; (−∞;0) (0; ∞) – concave. 29. Designated everywhere, except

x = −1; extremum

doesn’t

exist;

function increases;

(−2;−e2 ) – inflection point;

x = −1– asymptote. 32. Odd; (−∞;−1) (1; ∞) – increases,

(−1;0) (0;1) – decreases;

ymax = −4

if x = −1,

ymin

= 4

if x = 1 ; y = 3x ,

x = 0 – asymptotes;

(−∞;0) –

convex, (0; ∞) – concave. 34. Designated

everywhere, except

x = −1 ;

ymin = e

if

x = 0 ;

x = −1–

asymptote;

(−∞;−1) –

concave down,

(−1; ∞) –

concave

up.

35.

Even;

ymax = 0

if x = 0 ;

y = 4 –

asymptote;

(±1; 1)

is inflection point;

(−∞;−1) (1; ∞) –

convex,

(−1;1) –

concave.

39.

ymin

= −27 /16

if

x = 1/ 4 ;

(−∞;1/ 2) (1; ∞) – concave, (1/ 2;1) – convex;

(1/ 2;−1) ,

(1;0) are inflection points;

asymptotes don’t exist.

Micromodule 22

SELF-TEST ASSIGNMENTS

22.1. Find the intervals of increasing and decreasing of the functions:

22.1.1. y = x2 − ln x2 .							22.1.2. y =	x − 1(x − 2) .
22.1.3. y = (x − 1)2 (x + 1)3 .							22.1.4. y = arcsin(1+ x) .
22.1.5. y =					x	.	22.1.6. y =	x −1	.
	x		+ 100
								x + 24
22.1.7. y =		x2			.		22.1.8. y = ln x − arctgx .
		2x
22.1.9. y =	x5			.			22.1.10. y = x4 ln x .
	3x

264

22.1.11. y = ln(x2 + 1) − x .

22.1.13. y = 9− x − 3− x .

22.1.15.	y =	1	+	2	−	4	.
		x		x2
						x3

22.1.17. y = x2 ln x . 22.1.19. y = x2 e− x2 .

22.1.21.y = x2 + 3x − 4 .

x− 5

	22.1.23. y =	2x − x2 .
	22.1.25. y =	x2 − 3x + 2	.
		(x + 1)2

22.1.27.y = x2 − 7x + 6 .

x−10

22.1.29. y = e− x − e−2x .

22.1.12. y = x3 . ex

22.1.14. y = x ln3 x .

22.1.16. y = (x − 5)3 (x + 4)2 .

22.1.18. y = x ln2 x .

22.1.20.	y = 2x − 4x .
22.1.22.	y = (x − 4)3 (x + 5)2 .
22.1.24.	y = x ln x .

22.1.26. y = ln			1		+ x			.
				1
					− x
22.1.28.	y =		x2
							.
		x4 + 4
22.1.30. y = x +					1	.
					x

22.2. Find the intervals of the concavity and convexity, and the inflection points of the curves:

22.2.1.	y = x2		x + 1 .			22.2.2. y =	x2 + 1 .
22.2.3.	y = (x − 4)4 (x + 7)3 .					22.2.4. y = xx .
22.2.5.	y = ln(1+ x2 ) .					22.2.6. y = x + sin x .
22.2.7.	y = 3x2 − x3 .					22.2.8. y = xe− x .
22.2.9. y = x + x5 / 3 .						22.2.10. y = 3x2 − 4x		x .
22.2.11. y = ln(x4 + 1) .						22.2.12. y = ln x + ln2 x .
22.2.13. y = e− x4 .						22.2.14. y = x4 + 8x3 + 18x2 + 8 .
22.2.15. y = (x − 1)2 x .						22.2.16. y = x3 − 3x2 + 6x + 7 .
22.2.17. y =		x + 1				22.2.18. y =	x		.
		x2 + 1
							x2 − 2x + 2
22.2.19. y =		x	1− x		.	22.2.20. y =	(1− x) x	.
							2 − x
		1+ x

265

22.2.21. y =

22.2.23. y =

22.2.25. y =

22.2.27. y =

22.2.29. y =

	x2			.	22.2.22. y =	x2	+ 2x + 1		.
	(x − 1)3						x3
	3 (1− x)(x − 2)2 .				22.2.24. y = x		x (4 − x)−1/ 2 .
	x3	.			22.2.26. y =	x3	− x	2 − 1	.
	x2 + 1						x2
	x + 7 / x − 3 / x2 .				22.2.28. y = x4 + 6x3 + 12x2 .
	x3			.	22.2.30. y = 3 x(x + 1)2 .
	4x2 +	1

22.3. Investigate the functions and sketch the graphs.

22.3.1.	y = x2 +						2			.						22.3.2. y =			x2 − 4x + 3														.	22.3.3. y =					16										.
								x															x − 2														x2 (x −								4)
22.3.4.	y =			x						.						22.3.5. y =						x3				.								22.3.6.	y =			x2			− 5					.
			1	+ x2													3				− x2																		x − 3
22.3.7. y =		(x − 1)3									.					22.3.8.	y =					x2					.							22.3.9.	y =				4x − 12											.
		(x		− 2)2																	x2																	(x − 2)2
																								− 1
22.3.10.	y =			3x4 + 1									.			22.3.11. y =								x					.					22.3.12.	y =						x4							.
				x3																		x	2	−		4														x3		−			1
22.3.13.	y =			x2		−2x										. 22.3.14.	y =					4x2				.								22.3.15.	y	= x+					7			−				3				.
				x −1																	3		− x																		x							x2
22.3.16.	y =			8							.					22.3.17.	y =					x2		−		1			.					22.3.18.	y =							x4									.
																																								(1+ x)3
				x2	−			4														x2		+		1
22.3.19. y =			3	−	1						.					22.3.20.	y =					x2		− 2x + 2										. 22.3.21.	y =				x2			− 4						.
			x			x3																		x − 1																x	− 1
22.3.22.	y =			x3										.		22.3.23.	y =						4x							.				22.3.24.	y =					x2		+ 1						.
				(x + 1)2																	4		+ x2																	x2		−			1
22.3.25.	y =			x3							.					22.3.26.	y =					2x − 1										.		22.3.27.	y =					4x3						.
				x2	+			1														(x		− 1)2															x3			− 1
22.3.28.	y =			2x2 + 1									.			22.3.29.	y =					x2		− 1					.					22.3.30.	y =					2 − 4x								2			.
				x	−			1																x																1− 4x2

266

LITERATURE

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. —

М.: Наука, 1987. — 600 с.

2.Валєєв К.Г., Джалладова І.Л. Вища математика: Навчальний посіб-

ник: У 2-х ч.— К.: КНЕУ, 2001.— Ч.2. — 451 с.

3.ДубовикВ.П., ЮрикІ.І. Вищаматематика. — К.: А.С.К., 2001. — 648 с.

4.Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные мето-

ды. — М.: Просвещение, 1991. — 172 с.

5.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В. И.,

Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник, Т.4. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 352 с.

6.Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика:

Підручник. У 2 ч. — Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення. —

К.: Техніка, 2000. — 592 с.

7.Овчинников П.П. Вища математика: Підручник. У 2 ч. — Ч. 2: Диференціальні рівняння. Операційне числення. Ряди та їх застосування. Стійкість за Ляпуновим. Рівняння математичної фізики. Оптимізація і керування. Теорія ймовірностей. Числові методи. — К.: Техніка, 2000. — 792 с.

8.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник.— Д.: «Видавництво Сталкер», 2003. — 496 с.

9.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М.:

Наука, 1985. — Т. 2. — 456 с.

10.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. — 2-е изд., испр.— М.: Айрис-пресс, 2003. — 256 с.

11.ФильчаковП.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. — К.: Наукова думка, 1970. — 792 с.

12.Денисюк В. П., Репета В. К. Вища математика: Навч. посіб.: У 4 ч. — Ч. 1. — К.: Вид-воНац. авіа. ун-ту«Нау-Друк», 2009. — 296 с.

267

CONTENTS

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 3
Module 1. ELEMENTS OF LINEAR AND VECTOR ALGEBRA .	. . . . . 4
Micromodule 1. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 6
Micromodule 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 22
Micromodule 3. Systems of linear algebraic equations . . . . . . . . . . . . .	. . . . 42
Micromodule 4. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 58
Micromodule 5. Dot product of two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 69
Micromodule 6. Cross and triple products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 77
Module 2. ELEMENTS OF ANALYTICAL GEOMETRY . . . . . . .	. . . . 85
Micromodule 7. Straight line on a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . 87
Micromodule 8. Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 100
Micromodule 9. Straight line in space. Mutual position of straight line
and plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 109
Micromodule 10. Curves of the second order . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 121
Micromodule 11. Surfaces of the second order . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 129
Module 3. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL ANALYSIS.
DERIVATIVES AND DIFFERENTIALS OF A FUNCTION
OF ONE VARIABLE. APPLICATIONS OF DERIVATIVES 138
Micromodule 12. Sequence. The limit of a numerical sequence. Theorems
about limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 141
Micromodule 13. The concept of a function. Classification of functions.
Limit of function. Theorems about limits . . . . . . . . . .	. . 152
Micromodule 14. Honorable limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 172
Micromodule 15. Comparison of infinitesimals. Equivalent infinitesimals.
Their application in calculation of limits . . . . . . . . . .	. . 181
Micromodule 16. Continuity of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 188
Micromodule 17. Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 196
Micromodule 18. Derivative and its calculation (continued) . . . . . . . . . .	. . 211
Micromodule 19. Differential of function. Tangent . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 219
Micromodule 20. Higher order derivatives and differentials . . . . . . . . . .	. . 229
Micromodule 21. Basic theorems of differential calculus . . . . . . . . . . . .	. . 239
Micromodule 22. The usage of derivative in investigation of a function	. . . 249
Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . 267

268

Навчальне видання

ДЕНИСЮК Володимир Петрович ГРИШИНА Людмила Іллівна КАРУПУ Олена Вальтерівна ОЛЕШКО Тетяна Анатоліївна ПАХНЕНКО Валерія Валеріївна РЕПЕТА Віктор Кузьмич

ВИЩА МАТЕМАТИКА

У чотирьох частинах

Частина 1

Навчальний посібник

(Англійською мовою)

В авторській редакції

Художник обкладинки Т. Зябліцева

Верстка О. Іваненко

Підп. до друку 22.12.09. Формат 60·84/16. Папір офс. Офс. друк. Ум. друк. арк. 15,81. Обл.-вид. арк. 17,0.

Тираж 300 пр. Замовлення №

Видавництво Національного авіаційного університету «НАУ-друк» 03680, Київ-58, просп. Космонавта Комарова, 1

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 977 від 05.07.2002

Тел. [phone]. Тел./факс: [phone] E-mail: [e-mail]