Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

∞

(x − 5)n

2.3.7. ∑

.

(n + 2) ln(n +

2)

n=1

∞

(−1)

n−1

(x

+ 1)

n

2.3.9. ∑

.

n3 + 1

n=1

∞

2.3.11. ∑ (n + 1)!(x − 1)n .

n=1

∞

n

x

n

2.3.13. ∑

.

2

n=1 n + 1

∞

(x − 4)

n

2.3.15. ∑

.

n 2n

n=1

∞

2.3.17. ∑ 3n2 xn .

n=1

∞

(x − 3)

n

2.3.19. ∑

.

n 5n

n=1

∞

(x − 2)n

2.3.21. ∑

.

2

n

+ n2

n−1

n=1

∞

(2n − 1)

n

(x + 1)

n

2.3.23. ∑

.

2n−1 nn

n=1

∞

(−1)n−1

(x −

5)

n

2.3.25. ∑

.

n=1

n 3n

∞

(−1)n+1

(x − 1)

n

2.3.27. ∑

.

(3n − 2)2n

n=1

∞

(−1)n

3

n + 2

2.3.29. ∑

(x − 2)n .

n=1

n + 1

	∞	n	2	(x − 3)	n
	2.3.8. ∑					.
		(n4 + 1)2
	n=1

∞
2.3.10. ∑ (−1)n (2n + 1)2 xn .
n=1
∞			n			2n−1				n
2.3.12. ∑									x		.
n=1			2n + 1
∞		(x +		3)	n−1
2.3.14. ∑								.
n=2			3n ln n
∞	(x + 2)				n
2.3.16. ∑							.
			nn
n=1

∞2n

2.3.18.n∑=1 (n + 1)2 (x + 1)n .

∞

2.3.20. ∑ nn (x + 3)n+1.

n=1

∞

n! (x + 5)

n

2.3.22. ∑

.

n=1

nn

∞

(3n −

2)(x − 6)

n

2.3.24. ∑

.

(n + 1)2 2n+1

n=1

∞

(x + 3)n

2.3.26. ∑

.

n

2

+

1

n=1

∞

(x + 1)n

2.3.28. ∑

.

(n + 1) ln2 (n +

1)

n=1

∞

(−1)n

(x − 3)

n

2.3.30. ∑

.

(4n + 1)

n + 1

n=1

2.4. Розвиньте функції у ряд Тейлора за степенями x − a та вкажіть область збіжності ряду.

	2.4.1.		1		, a = 3 .	2.4.2. ln(x2 + 4x + 5) , a = −2 .
		x2 − 6x + 5
	2.4.3.	x	,	a = 2 .		2.4.4. sin2 x , a =	π .
		x + 3
							4

71

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.4.5. xx +− 52 , a = 1 .

2.4.7. ln(x2 − 6x + 10) , a = 3 .

2.4.9.	1				,	a = −1.
	x2 + 2x + 3
2.4.11. ex2 −2x+1 ,					a = 1 .
2.4.13. ln(3x + 7) ,						a = −2 .
2.4.15. ex2 −4 x+1 ,					a = 2 .
2.4.17. cos x , a =						π .
						2
2.4.19.			1			, a = 3 .
		x2 + 3x − 4
2.4.21. ln(2x − 5) ,						a = 3 .
2.4.23.		3x		, a = −1.
		x +	2
2.4.25.			1			, a = −2 .
		x2 + 4x + 6
2.4.27. ln(4x − 5) ,						a = 2 .
2.4.29.			1		,	a = 1 .
		x2 + x − 6

2.4.6. ex , a = 1 .

2.4.8. ln(6x + 19) , a = −3 .

2.4.10.			1						,	a = −4 .
		x2 + 8x					+ 17
2.4.12. cos2 x , a =									π .
									4
2.4.14. cos				πx		,	a = 3 .
			6
2.4.16. sin			πx			,	a = 2 .
			4
2.4.18. e− x , a = 2 .
2.4.20.			1						,	a = 3
		x2 − 9x					+ 20

2.4.22.2x + 1 , a = 2 .

x− 3

	2.4.24.		1		,	a = 1 .
		x2	+ 3x + 2
	2.4.26.		2x + 4		,	a = 4 .
		x2	+ 4x + 3

2.4.28.2x + 3 , a = 1 .

x+ 1

2.4.30.	3	, a = 2 .
	2 − x − x2

2.5. РозвиньтефункціїврядМаклоренатавкажітьобласть йогозбіжності.

2.5.1. sin2 x . x

1

2.5.4. 4 16 − x .

1

2.5.7. x2 − 1 .

2.5.2. xx−+ 12 .

	2.5.5.	x2		.
		x − 1
	2.5.8.	1			.
		3 27 + x3

2.5.3. sin3 x .

2.5.6.	x3		.
	x + 1
2.5.9.	1			.
	x2 + 1

72

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.5.10.		1− cos x		.
			x
2.5.13.			1			.
		x2	+ 3x + 2

2.5.16. cos3 x .

2.5.19.x − ln(1+ x) .

x2

2.5.22. ln(1+ x − 2x2 ) .

2.5.25. xx+−13 .

2.5.28. 2x sin2 2x − x .

2.5.11.ch 3x − 1 .

x2

2.5.14. ln(1− 5x + 6x2 ) .

2.5.17. sh 2x .

	2.5.20.		1	.
		x2	− 4

2.5.23. (1+ x)ex .

	2.5.26.	x2		.
		x −	2
	2.5.29.	x			.
		4	− x

2.5.12. cos2 x .

2.5.15. xe− x .

2.5.18.4 − x2 .

2.5.21. 1− cos 2x . x

1

2.5.24. . 9 − x2

2.5.27.2 − x .

5 − x

2.5.30.	x2
			.
	2
		+ x

2.6. Застосовуючи відповідні степеневі ряди, обчисліть із точністю ε значення функцій.

2.6.1.	3 30 , ε = 0, 001.						2.6.2. ln1,1, ε = 0, 001.
2.6.3. sin10° , ε = 0, 0001.							2.6.4. e−0,5 , ε = 0, 001.
2.6.5. cos 9° , ε = 0, 0001.							2.6.6.	4 85 , ε = 0, 001.
2.6.7.		105 , ε = 0, 0001.					2.6.8. sin2 42°, ε = 0, 0001.
2.6.9.	1		,	ε = 0, 001.			2.6.10.		1		, ε = 0, 001.
	4 e							5 40
2.6.11.		6 60 , ε = 0, 0001.					2.6.12. cos2 66° , ε = 0, 0001.
2.6.13. ln1, 05 ,						ε = 0, 001.	2.6.14.		4 266 , ε = 0, 0001.
2.6.15. arctg(0,1) , ε = 0, 0001.							2.6.16.		3 130 , ε = 0, 001.
2.6.17.		1			, ε = 0, 001.		2.6.18.		6 1, 2 , ε = 0, 0001.
	4 20
2.6.19. sin15° ,						ε = 0, 0001.	2.6.20. ln			1, 08 , ε = 0, 001.
2.6.21. sin 20° ,						ε = 0, 0001.	2.6.22. cos 80° , ε = 0, 0001.
2.6.23.		1			, ε = 0, 001.		2.6.24.		3 8, 4 , ε = 0, 0001.
	5 36
2.6.25. cos 96° ,						ε = 0, 0001.	2.6.26. ln			1, 04 , ε = 0, 001.

73

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.6.27. 4 1,1 , ε = 0, 0001.	2.6.28.	1	, ε = 0, 001.
		3 e
2.6.29. cos2 85° , ε = 0, 0001.	2.6.30. arctg(0, 2) , ε = 0, 0001.

2.7. Обчисліть із точністю ε інтеграли, використовуючи розкладання підінтегральної функції у степеневий ряд.

0,5				dx
2.7.1.	∫						,				ε = 10−3 .
					4
	0 1+ x
0,25				dx
2.7.3.	∫							,			ε = 10−4 .
			1+ x			3
	0
1/ 3
2.7.5.	∫ cos x2 dx ,													ε = 10−4 .
	0
0.5
2.7.7.	∫ cos					xdx ,								ε = 10−4 .
	0
1
2.7.9. ∫ e− x2 dx ,											ε = 10−3 .
0
	0,5			dx
2.7.11.	∫								,			ε = 10−4 .
			1+ x				5
	0
	0,5		1− cos x
2.7.13.	∫												dx , ε = 10−4 .
				x		2
	0
	0,5			sin	2		x
2.7.15.	∫									dx , ε = 10−4 .
				x	2
	0
	0,5			dx
2.7.17.	∫												,	ε = 10−3 .
				1+ x4
	0
	1
2.7.19. ∫ x4 cos x2 dx , ε = 10−4 .
	0
	0,5			sin	2		x
2.7.21.	∫									dx , ε = 10−4 .
				x
	0
	0,25
2.7.23.	∫			ln(1+									x)dx , ε = 10−3 .
	0

74

0,5

dx

2.7.2.

∫

,

ε = 10−3 .

0

1− x3

0,5

sin x

2.7.4.

∫

dx ,

ε = 10−3 .

0

x

1/ 3

2.7.6.

∫

sin x2 dx ,

ε = 10−3 .

0

1/ 4

2.7.8.

∫

sin

xdx , ε = 10−4 .

0

1

2.7.10. ∫

xe−

x dx ,

ε = 10−3 .

0

0,5

2.7.12. ∫ ln(1+ x4 )dx ,

ε = 10−4 .

0

0,2

ln(1+ x)

2.7.14. ∫

dx ,

ε = 10−4 .

0

x

0,5

e

− x

− 1

2.7.16.

∫

dx ,

ε = 10−4 .

x

0

1

2.7.18. ∫ xe− x4 dx ,

ε = 10−4 .

0

0,5

e

− x2

− 1

2.7.20.

∫

dx , ε = 10−4 .

0

x

0,5

2.7.22.

∫

3 1+ x2 dx ,

ε = 10−3 .

0

0,5

2.7.24.

∫

1− x3 dx ,

ε = 10−3 .

0

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

	0,5	dx					0,5
2.7.25.	∫			,		ε = 10−4 .	2.7.26. ∫ 4 1+ x3 dx ,					ε = 10−3 .
		1+ x	6
	0						0
	0,5						0,5
2.7.27.	∫ cos x3 dx , ε = 10−4 .						2.7.28.	∫ sin x3 dx ,				ε = 10−4 .
	0							0
	0,5	dx					1		dx
2.7.29.	∫				,	ε = 10−3 .	2.7.30. ∫				, ε = 10−3 .
			3							4
	0	8 + x					0	16 + x

2.8. Знайдіть наближений розв’язок задачі Коші, обмежившись чотирма ненульовими членами розвинення цього розв’язку у степеневий ряд.

2.8.1. y′ = x3 + y3 ,	y(0) = 1 .
2.8.2. y ′ = xy2 + y4 ,	y(0) = 2 .
2.8.3. y′ = x2 y + y4 ,	y(0) = −1 .
2.8.4. y′′ − xy′ + y + ex = 0 ,	y(0) = 1,	y′(0) = −1 .
2.8.5. y′′ + 2xy′ + y2 − x3 = 0 ,	y(0) = 1, y′(0) = 2 .
2.8.6. y′′ − yy′ + xy + x2 = 0 ,	y(0) = 1, y′(0) = 3 .
2.8.7. y′′ + yy′ + y + x3 = 0 ,	y(0) = 2,	y′(0) = 1 .
2.8.8. y′ + x2 y2 = xy ,	y(2) = 1 .
2.8.9. xy ′ = y2 −ex ,	y(0) = −2 .
2.8.10. yy ′+ y3 = x2 ,	y(1) = 1.
2.8.11. x2 y ′ = y2 −2x2 ,	y(0) = 1 .
2.8.12. xy′+ y3 = ex x ,	y(0) = 1 .
2.8.13. y′′ + yy′ − xy + x2 = 0 ,	y(0) = 1,	y′(0) = −1 .
2.8.14. y′′ + xy′ + xy2 = 0 ,	y(0) = −1,	y′(0) = 2 .
2.8.15. y′ = 4 + y / x + ( y / x)2 ,	y(1) = 2 .
2.8.16. y′′ + xy2 = y ,	y(0) = 2,	y′(0) = 3 .
2.8.17. y′′ + 4xy′ − 2 y2 = 0 ,	y(0) = 2, y′(0) = −2 .
2.8.18. y′′ + 2 y′ + y4 = x ,	y(0) = −1,	y′(0) = −2 .
2.8.19. y′′ + 4 yy′ − 3x2 = 0 ,	y(0) = 1,	y′(0) = −1 .
2.8.20. y′′ + ( y − 2x) y′ − x2 = 0 ,	y(0) = 1,	y′(0) = 2 .

75

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.8.21. xy′ − y( y + x) = x4 ,		y(1) = −1 .
2.8.22. ( y − x) y′ = y2 − 3xy ,		y(1) = 1.
2.8.23. yy′ = xy +	x ,	y(1) = 1 .
2.8.24. y′′ + yex + ey = 0 ,		y(0) = 1,	y′(0) = 1.
2.8.25. y′ + 3x2 y = x5 y3 ,		y(0) = 3 .
2.8.26. y′(x + 2 y) = x3 y ,		y(0) = 2 .
2.8.27. y′′ + x3 + 3y2 = 0 ,		y(0) = 2,	y′(0) = 1.
2.8.28. x2 y′ − y2	= x3 ,	y(1) = 0 .
2.8.29. y′(x + y) = ye2x ,		y(0) = −1 .
2.8.30. yy′ + xey	= ex ,	y(0) = −2 .

Тема 3. РЯДИ ФУР’Є

Гармонічні коливання. Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є. Достатня умова подання функції через її ряд Фур’є . Ряд Фур’є для парних і непарних функцій. Ряд Фур’є для 2π та

2l — періодичних функцій. Ряди Фур’є для функцій, заданих на відрізку [0; l] або на довільному відрізку [a; b]. Комплексна формарядуФур’є.

Література: [3, розділ 5, п. 5.6], [9, розділ 9, §3], [14, розділ 3, §3], [15, розділ 13, п. 13.4], [16, розділ 17, §1—6], [17, розділ 6, §20—21].

Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1.Періодичні функції і процеси

Уприроді та техніці поширені процеси, які повторюються через певні проміжки часу. Такі процеси називають періодичними. Наприклад, механічні та електромагнітні коливання, періодичні рухи в акустиці, теорії пружності, радіотехніці, електротехніці тощо.

Періодичні процеси описують за допомогою періодичних функцій.

Функцію f (x) , визначену на множині D, називають періодичною з періодом Т, якщо для кожного x D значення x + T також належить D і виконується рівність f (x + T ) = f (x) .

76

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Найпростішими періодичними функціями є тригонометричні функції sin x та cos x , основний період цих функцій T = 2π .

Найпростішим періодичним процесом (рухом) є просте гармонічне коливання, яке задається функцією

y = A sin(ωt + ϕ0 ), t ≥ 0,

(1.23)

де А ― амплітуда коливання, ω ― циклічна частота, ϕ0 ― початкова фаза. Функцію такого вигляду і її графік називають простою гармонікою. Осно-

вний період функції (1.23) ― число T = 2ωπ . Це означає, що одне повне ко-

ливання відбувається за проміжок часу 2ωπ . Частота ω показує, скільки

коливань здійснює точка протягом 2π одиниць часу. Просту гармоніку зображає також функція

y = A sin ωt + B cos ωt.

Справді, використовуючи метод введення допоміжного кута, дістанемо

2

2

A

B

y = A sin ωt + B cos ωt =

A

+ B

sin ωt +

cos ωt

=

2

2

2

2

A

+ B

A

+ B

	=	A2 + B2 (cos ϕ0 sin ωt + sin ϕ0 cos ωt ) = A2 + B2 sin(ωt + ϕ0 ),
	де cos ϕ0	=	A	, sin ϕ0 =	B	.
			A2 + B2		A2 + B2

Коливання, утворені внаслідок накладання скінченного (або нескінченного) числа простих гармонік, називають складними гармонічними коливаннями. Так, функція

ϕ(t) = A1 sin(t + ϕ1 ) + A2 sin(2t + ϕ2 ) + …+ An sin(nt + ϕn )

задає складне гармонічне коливання. Цю функцію можна подати ще у вигляді

ϕ(t) = a1 cos t + b1 sin t + a2 cos 2t + b2 sin 2t …+ an cos nt + bn sin nt =

								n
							= ∑ (ak cos kt + bk sin kt).
								k =1
	Оскільки перша гармоніка має період T1 = 2π,										друга ―T2 = π, третя ―
T	=	2π	,	...,	n –а ― T	=		2π	,	то загальний період	Т функції ϕ(t) дорівнює
3		3			n			n

найменшому спільному кратному періодів T1 ,T2 , …,Tn , тобто T = 2π .

77

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Отже, при накладанні простих гармонік дістають періодичну функцію, що описує складне періодичне коливання.

Природно виникає питання: чи можна періодичний рух, заданий деякою періодичною функцією, подати як суму простих гармонік? Якщо так, то як знайти невідомі коефіцієнти кожної з цих гармонік? Відповідь на перше питання у загальному випадку негативна, якщо обмежитися скінченною кількістю гармонік. Якщо ж увести до розгляду нескінченні суми гармонік (тригонометричні ряди), то широкий клас періодичних функцій можна розкласти на прості гармоніки.

3.2. Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є

Функціональний ряд вигляду

a0

+ a

cos x + b sin x + …+ a

n

cos nx + b

sin nx + …=

2

1

1

n

(1.24)

a0

∞

=

+ ∑ (an cos nx + bn sin nx)

2

n=1

називають тригонометричним рядом. Сталі числа

a0 ,

a1 , b1 ,…, an , bn ,...

називають коефіцієнтами тригонометричного ряду.

a0

Вільний член ряду для зручності записують у вигляді

.

2

Розглянемо задачу. За яких умов і як для 2π -періодичної функції f (x) можназнайтизбіжнийдоцієї функціїтригонометричнийрядвигляду(1.24)?

Припустимо, що періодичну з періодом 2π функцію f (x) можна розкласти у тригонометричний ряд, який збігається до функції f (x) на відрізку [−π; π], тобто

		a0	∞
	f (x) =		+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) .	(1.25)
	2		n=1

Вважатимемо, що ряд, складений із коефіцієнтів тригонометричного ряду, абсолютно збіжний, тобто збігається ряд

	a0		+ | a1 | + | b1 | + | a2 | + | b2 | +…+ | an | + | bn |… .
	2

Тоді ряд (1.25) за ознакою Вейєрштрасса є рівномірно й абсолютно збіжним на R , і цей ряд можна почленно інтегрувати.

Наведемо формули, які використовуватимемо для обчислення коефіцієнтів ряду (1.25).

78

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Нехай m і n — натуральні числа. Тоді:

π0, якщоn ≠ 0,

∫cos nxdx =

−π 2π, якщоn = 0;

	π
	∫ sin nxdx = 0;
	−π
π	cos mx cos nxdx = 0, якщо m ≠ n,
∫
−π	π, якщо m = n;
π	sin mx sin nxdx = 0, якщо m ≠ n,
∫
−π	π, якщо m = n;

π

∫sin mx cos nxdx = 0.

−π

(1.26)

(1.27)

(1.28)

(1.29)

(1.30)

Для обчислення інтегралів (1.28) — (1.30) слід скористатись формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Зауваження. Послідовністьфункцій ϕ1 (x), ϕ2 (x), …, ϕn (x), … називають ортогональною на відрізку [a; b], якщо виконуються рівності

b

∫ ϕi (x)ϕ j (x)dx = 0 ( i ≠ j ).

a

b

Якщо i = j , то ∫ ϕi2 (x)dx = λi > 0 .

a

Приклади ортогональних систем функцій: 1) система функцій

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x, …, sin nx, cos nx, …

ортогональна на відрізку [−π; π] ; 2) системи функцій

1, cos x, cos 2x, cos 3x, …, cos nx, …

та

sin x, sin 2x, sin 3x, …, sin nx, …

ортогональні на відрізку [0; π] ;

79

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3) система функцій

1, sin πlx , cos πlx , sin 2πl x , cos 2πl x , …, sin nπl x , cos nπl x , …

ортогональна на відрізку [−l; l] ; 4) системи функцій

1, cos πlx , cos 2πl x , …, cos nπl x , …

та

sin πlx , sin 2πl x , …, sin nπl x , …

ортогональні на відрізку[0; l] .

Обчислимо коефіцієнти тригонометричного ряду (1.25). Проінтегруємо обидві частини рівності (1.25) в межах від −π до π :

π

π

a

∞

π

n

π

∫

∫

∑

∫

∫ n

f (x)dx =

0

dx +

n=1 −π

a

cos nxdx +

b

sin nxdx

,

−π

−π 2

− π

звідси з урахуванням формул (1.26), (1.27) дістанемо:

		1	π
	a0 =		∫ f (x)dx.	(1.31)
		π
			− π

Тепер помножимо обидві частини рівності (1.25) на cos kx руємо одержаний ряд почленно на відрізку [−π; π] :

π

π

a

∫

f (x) cos kxdx = ∫

0

cos kxdx +

2

−π

−π

∞

π

n

π

n

+

∑

∫

a

∫

cos nx cos kxdx +

b

sin nx cos kxdx .

n=1 −π

−π

Враховуючи рівності (1.28) — (1.30), дістанемо

π

π

∫

f (x) cos kxdx = ∫ ak cos2 kxdx = ak π = an π,

звідси

−π

− π

1

π

a =

π

∫

f (x) cos nxdx.

n

− π

80

і проінтег-

(1.32)

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/