Higher Mathematics. Part 3
.pdfSolution. The domain of integration is a rectangular parallelepiped (Fig. 6.5). Then the triple integral can be reduced to the formula (6.14). We have
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z |
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3 |
1 |
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4 |
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y |
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x |
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Fig. 6.5 |
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3 |
4 |
1 |
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∫∫∫(x + y + 2z)dxdydz = ∫ dx∫ dy∫(x + y + 2z)dz = |
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G |
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1 |
0 |
0 |
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3 |
4 |
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2 |
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1 |
3 |
4 |
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3 |
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y2 |
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4 |
||||
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= ∫ dx∫((x + y)z + z |
|
) |
|
dy = ∫ dx∫(x + y + 1)dy = ∫ |
(x + 1) y + |
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dx = |
|||||||||||||||
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2 |
||||||||||||||||||||||
1 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
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1 |
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0 |
|||||
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3 |
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3 |
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= ∫(4x + 12)dx = (2x2 + 12x) |
= 18 + 36 − 2 − 12 = 40. |
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1 |
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1 |
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Example 2. Calculate the triple integral |
∫∫∫ |
xdxdydz |
|
over the domain |
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(1+ 2y + z) |
3 |
|||||||||||||||||||||||
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|
|
x = 0, y = 0 , z = 0 , x + y + z = |
D |
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||||||||||||||
D = {(x, y) |
|
1}. |
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Solution. The domain of integration is a rectangular triangular pyramid bounded by coordinate planes and sloping plane x + y + z = 1 (Fig. 6.6).
Let’s define limits of integration in a triple integral. Projecting the given body on the xy-plane, we shall receive domain D. It is a triangle ОАВ (Fig. 6.7.),
which boundaries are determined by the equations |
x = 0, |
y = 0, |
x + y = 1 (on |
||||||||||||||||||||||||||||
the xy-plane |
z = 0 ). |
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We have |
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||||
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xdxdydz |
|
1 |
1− x |
|
|
1− x− y |
|
|
dz |
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|
|
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|||||
|
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∫∫∫ |
|
= ∫ xdx ∫ |
dy |
∫ |
|
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|
|
|
|
= |
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||||||||||
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(1+ 2y + z) |
3 |
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(1+ 2 y + z) |
3 |
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D |
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0 |
0 |
|
|
0 |
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|||||||||
|
1 |
1− x |
1 |
|
|
|
1− x− y |
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1 |
1 |
|
1− x |
|
|
1 |
|
|
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|
|
|
1 |
|
dy = |
|||||
|
|
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||||||||||||||||||
= |
∫ |
xdx |
|
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|
|
|
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|
dy = − |
∫ |
xdx |
∫ |
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|
|
|
|
− |
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|||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
− x + y) |
2 |
(1 |
+ 2y) |
2 |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
0 |
−2(1+ 2y + z) |
|
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|
0 |
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0 |
(2 |
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|||||||||||||
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141 |
|
1 |
1 |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||
= − |
|
∫ x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
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dx = − |
|
∫ x |
|
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|
− |
|
|
|
− |
|
dx = |
|||||||
2 |
|
2 − x + y |
2(1+ |
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|
2 |
2(2x − 3) |
|
x − 2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2y) |
0 |
|
|
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|
|
|
|
|
0 |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
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|||||||||||||
|
= − |
|
∫ |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
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|
− 1− |
|
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|
− |
|
|
dx |
= − |
|
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|
|
− |
|
|
x |
+ |
|
|
|
ln |
2x − 3 |
− |
|||||||||||
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
4 |
|
|
|
2x − 3 |
|
|
|
|
|
x |
− 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2ln |
|
x − |
2 |
|
− |
x2 |
|
1 |
= |
1 |
− ln 2 + |
3 |
ln 3. |
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||||||||||||||||||||
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4 |
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2 |
16 |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
0 |
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|||||||
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|||||||||
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|
|
|
|
z |
|
|
|
|
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|
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|
1 C |
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|
|
у |
|
|
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|
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|
|
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|
|||
|
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|
1 |
|
В |
|
x + y = 1 |
|
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|||||||||
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
ОB
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 у |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
A |
|
|
|
|
О |
1 х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
х |
1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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Fig. 6.6 Fig. 6.7
Example 3. Calculate the triple integral ∫∫∫(x2 + y2 ) dxdydz over the domain
G
G = {(x, y) z = 3, x2 + y2 = 3z }.
Solution. The domain of an integration G (Fig. 6.8.) is bounded by the paraboloid x2 + y2 = 3z and the plane z = 3.
z
3
G
– 3 |
3 |
y |
3
x
Fig. 6.8
142
Besides, |
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x2 + y2 + z2 = ρ, |
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|||||||||
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J = r2 sin θ. |
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||||
Applying the formula (6.25), we obtain |
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||||||||
|
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|
|
|
2π |
|
π |
2cos θ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz = ∫ dϕ∫ dθ ∫ |
ρ ρ2 sin θdρ = |
||||||||||||||||
Ω |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
π |
2cos θ |
|
2π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
ρ4 |
|
2cos θ |
dθ = |
|||||||
= ∫ dϕ∫sin θdθ ∫ |
ρ dρ = ∫ |
dϕ∫sin θ |
4 |
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2π |
π |
|
|
|
|
|
|
2π |
π |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫ |
dϕ∫ 4cos4θ sin θdθ = −4 |
∫ dϕ∫cos4 θd(cos θ) = |
|||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2π |
π |
4 |
|
2π |
|
4 |
|
|
|
|
8π |
|
||
|
|
2 dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= − |
∫ cos5 θ |
|
|
|
∫ dϕ = |
|
2π = |
. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
0 |
|
0 |
5 |
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Example 5. Find the volume of the body bounded by the surfaces |
y = x, |
|
x + y − 4 = 0, + z − 2 = 0, = 0, z = 0. |
|
|
Solution. Let’s construct the |
body (Fig. 6.10). The plane y = x |
passes |
through z-axis and intersects plane |
Оху along a straight line y = x . |
|
The plane x + y − 4 = 0 is parallel to the axis Oz and intersects a plane Оху along a straight line x + y − 4 = 0 . The plane x + z − 2 = 0 is parallel to the axis
Oу and intersects with the plane Oхz along a straight line x + z − 2 = 0 . The projection of the given body on the ху-plane is the triangle OMK. Using the formula (6.27) we have
|
2 |
4− x |
|
2− x |
|
2 |
4− x |
2− x |
|
|
|
2 |
4− x |
||||||
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dx ∫ |
dy ∫ dz = ∫ dx ∫ z |
dy = ∫(2 − x)dx ∫ dy = |
|||||||||||||||||
G |
0 |
x |
|
0 |
|
0 |
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
x |
|||
2 |
|
4− x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(4 − 4x + x2 )dx = |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫(2 − x) y |
|
= dx∫ |
(2 − x)(4 − 2x)dx = 2∫ |
||||||||||||||||
0 |
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
4x − 2x |
2 |
+ |
x3 |
|
|
2 |
= |
16 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Example 6. Find the volume of the body bounded by the surfaces x2 + y2 = 4, z = y2 , z = 0.
144
Solution. Let’s construct our body (Fig. 6.11). The surface x2 + y2 = 4 is the infinite circular cylinder which intersects xy-plane along the circle x2 + y2 = 4 with the centre in origin and with the radius R = 2. The surface z = y2 is the
infinite parabolic cylinder which intersects yz-plane along the parabola z = y2 . The plane z = 0 is xy-plane.
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + z = 2 |
|
z = y2 |
|
|
|
|
K |
G |
|
||
|
O |
|
|
||
|
2 |
4 |
y |
|
|
4 |
М |
D |
D |
2 |
y |
x + y = 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
x |
x = y |
|
x |
||
|
||
Fig. 6.10 |
Fig. 6.11 |
The obtained body projects on xy-plane in a circle D. Therefore we shall conduct calculations in the cylindrical coordinates (6.20)
|
|
|
|
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, |
z = z. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
The equation of parabolic cylinder transforms to |
z = ρ2 sin2 ϕ, and the |
||||||||||||||||||||
equation of circle |
x2 + y2 = 4 transforms to the form ρ = 2. Let’s define limits |
||||||||||||||||||||
of an integration: |
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|
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Hence |
|
0 ≤ ϕ ≤ 2π, |
0 ≤ ρ ≤ 2, |
|
0 ≤ z ≤ ρ2 sin2 ϕ. |
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
ρ2 sin2 ϕ |
|
|
|
2π |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
ϕ ρdρ = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ρdρdϕ |
∫ |
|
dz = ∫ dϕ∫ z |
ρ |
sin |
|
|||||||||||||||
G |
|
|
|
D |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
2π |
|
2 |
|
2 3 |
2π |
2 |
ϕ |
ρ4 |
|
2 |
|
|
|
2π |
|
|
2 |
ϕdϕ = |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= ∫ sin |
|
ϕdϕ∫ρ dρ = ∫ sin |
|
|
4 |
|
|
dϕ = 4 ∫ sin |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
= 22π |
1− cos 2ϕ dϕ = |
2 |
ϕ − |
sin 2ϕ |
|
|
2π |
= 4π. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
( |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Example 7. Find the volume of a body bounded by the spheres x2 + y2 + z2 = a2 , |
|||||||||||||||||||||
x2 + y2 + z2 = b2 |
(a < b) and a cone x2 + y2 |
= z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
145 |
Solution. Let’s construct such body (Fig. 6.12). Clearly that for a solution of a problem it is necessary to enter spherical coordinates (6.23)
x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ .
z
|
θ = π4 |
a |
|
|
|
||
a |
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
b
x
Fig. 6.12
Let’s find limits of integration. As the equation of our spheres x2 + y2 + z2 = a2 ,
x2 + y2 + z2 |
= b2 in the spherical coordinates is |
ρ = a |
and |
ρ = b |
correspon- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
dently, then |
a ≤ ρ ≤ b. |
The projection of the body on the xy-plane is the whole |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
circle, then |
0 ≤ ϕ ≤ 2π. Now we find the limits for angle θ. |
|
We substitute the |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
spherical coordinates into the equation of the given cone. Then |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ2 sin2 θ cos2 ϕ + ρ2 sin2 θ sin2 ϕ = ρ2 cos2 θ, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ2 sin2 θ = ρ2 cos2 θ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
or |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
tan2 θ = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Hence θ = π . It is clear that, 0 ≤ θ ≤ |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Using the formula (6.29) we find the volume of the given body |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
π |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
V = ∫∫∫ρ2 sin θdρdθdϕ = ∫ dϕ∫ dθ∫ρ2 sin θdρ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ω* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2π |
|
|
π |
|
3 |
|
b |
|
|
b |
3 |
− a |
3 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= ∫ |
dϕ∫sin θ |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ (− cos θ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dθ = |
|
|
|
|
|
|
|
04 dϕ = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b3 |
− a3 |
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
b3 |
− a3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
π |
|
|||||||
= |
|
|
|
− |
|
|
+ 1 dϕ = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ 1 |
ϕ |
|
|
= (b |
|
− a |
|
)(1 |
− 2) |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Example 8. Find the coordinates of the center of mass of a uniform hemisphere of radius R.
Solution. Suppose that the centre of the sphere lies at the origin of coordinates, and that the hemisphere lies below the xy-plane. Then by symmetry we have
xc = 0, yc = 0.
The volume of the hemisphere is
V = 23 πR3.
Now we find the static moment relative to the xy-plane
|
|
|
2π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Kxy = ∫∫∫ zdxdydz = ∫ |
dϕ∫sin θ cos θdθ∫ρ3dρ = |
||||||||||||||
Ω |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
= 2π |
sin2 θ |
|
π ρ4 |
|
|
R |
= |
π |
R |
4 |
. |
||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
0 4 |
|
|
0 |
4 |
|
|
||||
Therefore |
|
Kxy |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zc = |
= |
|
πR4 / 4 |
= |
3 |
|
R. |
|
|||||||
V |
|
2πR3 |
/ 3 |
8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Micromodule 6
CLASS AND HOME ASSIGMENTS
Establish limits of an integration in a triple integral ∫∫∫ f (x, y, z)dV over a
domain G, if |
|
|
|
|
G |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
x = 0 , y = 0 , z = 0 , 3x + 6y + 4z − 24 = 0 . |
|
|
|
|
|||||
2. |
x = 0 , y = 0 , x = 2 , y = 3 , z = 0 , z = 3 + y. |
|
|
|
|
|||||
3. |
x2 + y2 = 4 , z = −1 , z = 4. |
|
|
|
|
|
|
|||
Calculate the integral. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1− x |
1− x− y |
dz |
|
|
4. ∫ dx∫ dy∫ |
(x + 2y + 4z)dz . |
5. ∫ dx ∫ |
dy ∫ |
|
. |
|||||
(3x + 2y + z − 4) |
4 |
|||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2− y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6. |
∫ dy ∫ |
dx∫(x2 + y)zdz. |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
y2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Calculate the triple integral in Rectangular coordinate system.
7. ∫∫∫ x2 yzdxdydz , if the domain G is bounded by planes x = 0 , y = 0 ,
G
z = 0 and x + y + z = 2 .
147
8. ∫∫∫ (x + y + z)dxdydz, if the domain G is bounded by planes x = 0 , y = 0 ,
G
z = 0 , x = 1, y = 1, z = 1.
9. ∫∫∫ x2 dxdydz , if the domain G is bounded by the surfaces x2 + y2 = 1 and
G
z = 0, z = 3.
Evaluate the followіng integrals using cylindrical coordinates.
10. |
∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )dxdydz, if the domain G is bounded by the surfaces |
|||
|
G |
|
|
|
x2 + y2 |
= 4 and z = 0 , z = 1. |
|
|
|
11. |
∫∫∫ zdxdydz , if the domain G is bounded by the surfaces z2 = x2 + y2 |
|||
|
G |
|
|
|
and z = 2 . |
|
|
|
|
12. |
∫∫∫ (x + y2 + z2 )3 dxdydz , if the domain G is bounded by the surfaces |
|||
|
G |
|
|
|
x = y2 + z2 |
and x = 1. |
|
|
|
Evaluate the followіng integrals using spherical coordinates. |
||||
13. |
∫∫∫ |
x2 + y2 + z2 dxdydz , if the domain |
G is bounded by the sphere |
|
|
G |
|
|
|
x2 + y2 + z2 = y. |
|
|
||
14. |
∫∫∫ (x2 + y2 )dxdydz , if the domain G ={(x, y), z ≥ 0 , |
x2 + y2 + z2 ≤ 1.}. |
||
|
G |
|
|
|
15. |
∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )2 dxdydz , if G is sphere |
x2 + y2 + z2 |
≤ R2 . |
|
|
G |
|
|
|
Calculate the volume of the followіng body.
16. |
z = 4 − x2 , |
z = x2 + 2, |
y = −1, |
y = 2. |
|
17. |
z = x2 + y2 , |
z = 1. |
|
|
|
18. |
z = 2 − x2 − y2 , |
z = |
x2 + y2 |
(cone). |
|
19. |
x2 + y2 + z2 |
= 4, |
x2 + y2 + z2 = 9, z2 = x2 + y2 , z ≥ 0. |
Calculate the mass of the followіng body with the density γ(x, y, z) .
20.z = x2 + y2 , z = 4, γ(x, y, z) = (x2 + y2 + z)2 .
21.x2 + y2 + z2 = R2 , γ(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )3 .
148
Answers
|
|
|
|
4− |
x |
24−3x−6 y |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 3+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4− x2 |
|
|||||||||||||||
|
|
8 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1. ∫dx ∫ |
|
|
dy |
|
∫ |
|
f (x, y, z)dz. |
|
2. ∫dx∫dy ∫ f (x, y, z)dz. |
|
|
3. ∫ dx ∫ dy × |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
− |
|
4− x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
27 |
16 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
28π |
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||||
× ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f (x, y, z)dz. |
4. 11. 5. |
|
|
. 6. |
|
. 7. |
|
. |
8. |
|
|
. 9. |
|
π. 10. |
|
|
|
. |
11. |
4π . 12. |
2 . |
||||||||||||||||||||
144 |
42 |
315 |
2 |
4 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πR7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πR9 |
|
|||||||
|
π |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
5π |
|
|
19(2 − |
|
2)π |
|
|
|
448π |
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
|
. 14. |
|
|
|
π. 15. |
|
|
|
|
. 16. 8. 17. |
|
. 18. |
|
. |
19. |
|
|
|
|
|
. 20. |
|
|
|
|
. 21. |
|
|
|
. |
||||||||||
10 |
15 |
|
|
7 |
|
2 |
6 |
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Micromodule 6 |
|
|
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|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
CLASS AND HOME ASSIGMENTS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6.1. Calculate the triple integral |
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz. The function f(x, у, z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
and surfaces bounding the volume V are given in Table 6.1. |
|
|
|
|
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|
|
Table 6.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
№ |
|
|
|
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f(x, у, z) |
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Domain V |
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1 |
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5y – 4 |
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x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z – 6 = 0. |
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2 |
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6y + 2z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + z – 9 = 0. |
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3 |
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5 + y +2х |
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x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y + z – 2 = 0. |
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4 |
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4x–y |
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x = 0, y = 0, z = 0, 4x + y + 2z – 1 = 0. |
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5 |
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3 + 4z |
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x = 0, y = 0, z = 0, x + 4y + z – 4 = 0. |
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6 |
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7y – 2z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + 3z – 6 = 0. |
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7 |
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xy + 1 |
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x = 0, y = 0, z = 0, 6x + 2y +z – 8 = 0. |
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8 |
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3y –2 z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 7x + y + z – 3 = 0. |
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9 |
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2x + z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 4x + 2y + 4z – 1 = 0. |
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10 |
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3 + 4z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 8x + 2y + 2z – 3 = 0. |
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11 |
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4y + 5 |
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x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + z – 6 = 0. |
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12 |
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3x + 2 |
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x = 0, y = 0, z = 0, 7x + y + 7z – 14 = 0. |
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13 |
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3xy |
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x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 4y + z – 8 = 0. |
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14 |
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8y – 2z |
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x = 0, y = 0, z = 0,5x + y + 10z – 10 = 0. |
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15 |
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5x + z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 2y + 6z – 6 = 0. |
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16 |
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7 – 4z |
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x = 0, y = 0, z = 0, 4x + y + 2z – 8 = 0. |
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17 |
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3x + 2y |
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x = 0, y = 0, z = 0, 6x + 3y + z – 18 = 0. |
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