Higher Mathematics. Part 3
.pdf
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∞ |
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2n |
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|||
Example 14. Examine the series ∑ |
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for convergence. |
||||||
|
n |
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||||||||
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n=1 ln |
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(n + 1) |
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|||||
Solution. We have an = |
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2n |
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||||
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, |
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lnn |
|
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|
|
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|||
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(n + 1) |
|
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|||||
lim n a |
n |
= lim |
|
|
|
2 |
= 0 |
< 1. |
|||
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|||||||||
n→∞ |
n→∞ ln(n + 1) |
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|||||||
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|
By the Cauchy’s test, the series converges.
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∞ |
1 |
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1 |
)n2 for convergence. |
|||||||
Example 15. Examine the series ∑ |
(1 |
+ |
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||||||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||||
|
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|
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n=1 |
2 |
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|
|
n |
||||||||
Solution. Here a = |
1 |
|
(1+ |
1 |
)n2 , n |
a = |
1 |
|
(1+ |
1 |
)n , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
2n |
|
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||
|
lim n a |
n |
= lim |
1 |
|
(1+ |
1 |
)n = |
1 |
e > 1. |
|||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ 2 |
|
|
n |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
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|
By the Cauchy’s test, the series diverges.
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|
∞ |
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1 |
|
|
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|||
Example 16. Examine the series ∑ |
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for convergence. |
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||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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i=1 n |
+ 1 |
|
|
|
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1 |
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|||||||
Solution. Let’s consider Integral test. In this case f(x) = |
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|
. The integral |
||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
1 |
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ |
|
|
dx = |
lim |
∫ |
|
|
|
|
dx |
= lim arctan x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
+ 1 |
b→ +∞ |
1 |
|
|
|
+ 1 |
|
b→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim (arctan b − arctan1) |
= lim |
|
|
π |
π |
− |
π |
|
π |
, |
|||||||||||||||||||||||||
arctan b − |
4 |
|
= |
4 |
= |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
b→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
→ +∞ |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
converges, and so does the series. |
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|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
Example 17. Examine the series ∑ |
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|
for convergence. |
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 n |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Solution. Since the nth term of the series is f (n) = |
|
|
|
|
|
|
we choose the |
||||||||||||||||||||||||||||
n2 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
function f (x) = |
|
x |
|
|
|
which satisfies the conditions of the theorem, and then |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
x |
|
|
|
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|
|
|
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|||
consider the improper integral |
∫ |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
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|
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||||
|
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|
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|
|
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|
|
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21 |
We have
+∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 b |
|
d (x |
2 + 1) |
|
|||||
|
∫ |
|
|
|
|
dx = |
lim |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = lim |
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 1 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
+ 1 |
b→ +∞ |
1 |
|
|
|
+ 1 |
b→+∞ 2 1 |
|
|
|
||||||||||||||
= |
1 |
|
lim ln(x2 |
+ 1) |
|
b |
= |
1 |
|
lim (ln(b2 |
+ 1) |
− ln 2) = +∞, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 b→+∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 b→ +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
which diverges, and so does the series. By the Integral test, the series diverges.
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|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Example 18. Examine the series ∑ |
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|
for convergence. |
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 (n − 2)ln |
|
(n − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
|
Solution. |
|
Since |
the n-th |
|
|
term |
|
is |
|
an |
|
= |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
, |
|
f (x) = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − 2) ln2 (n − 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
will be, where |
x ≥ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x − 2) ln2 (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
− 2) ln |
2 |
(x |
− 2) |
|
(x − 2) ln |
2 |
(x − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
b→ +∞ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
d (ln(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
= lim |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
. |
||||||||
|
ln |
2 |
(x − 2) |
|
ln(x − |
|
|
|
ln(b − 2) |
ln 2 |
ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b→ +∞ |
4 |
|
|
b→+∞ |
|
|
2) |
|
4 |
|
b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Since the integral |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
converges, so does the original series. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
(x − |
2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 (x − 2) ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Example 19. Examine for conditional convergence and absolute conver-
gence the series 1− |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+ ... + |
(−1)n−1 |
1 |
+ ... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Solution. Let’s check up conditions of the Leibniz test. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
1 > |
1 |
|
> |
1 |
> |
|
1 |
> ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
lim a |
= lim |
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Then the given alternating series converges. |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
Let’s consider the series in the form ∑ |
|
an |
|
, i.e. 1 |
+ |
+ |
+ |
+ ... + |
+ ... . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
This series diverges, because ∑ |
1 |
|
is the harmonic series. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Thus the given series is conditionally convergent.
22
Micromodule 1
CLASS AND HOME ASSIGMENTS
Write down the nth term of the series below: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a) |
1+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ... |
e) |
|
2 |
+ |
|
6 |
+ |
|
|
24 |
|
+ |
120 |
... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
7 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b) |
|
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ... |
f) |
2 |
|
+ |
4 |
+ |
|
6 |
|
+ |
|
8 |
|
+ ... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
6 |
|
|
5 |
|
8 |
11 |
14 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
c) |
|
1 |
+ |
8 |
|
|
+ |
27 |
+ ... |
g) 1+ |
1 3 |
+ |
1 3 5 |
+ |
1 3 5 7 |
|
+ ... |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
1 4 7 |
|
1 4 7 10 |
|
||||||||||||||||||||||
d) |
1+ |
|
2 |
+ |
|
3 |
+ |
|
4 |
+ ... |
h) 1+ |
1 |
+ 3 + |
1 |
+ 5 + |
1 |
+ ... |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
8 |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Find the sum Sn of the first n terms of the following series and prove its convergence using the definition of the convergence of a series.
∞ |
1 |
∞ |
2n + 3n |
∞ |
1 |
∞ |
|
|
1 |
|||
1. ∑ |
|
. 2. ∑ |
|
|
. 3. ∑ |
|
. 4. ∑ln 1 |
− |
|
|
. |
|
(2n − 1)(2n + 1) |
6 |
n |
|
n |
2 |
|||||||
n 1 |
n 1 |
|
n 1 n!(n + 2) |
n 1 |
|
|
|
|
||||
= |
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
Examine the following series for divergence using the sufficient condition of the divergence.
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
|
|
n + 2 |
|
∞ |
n − 2 |
n |
|
|||||
5. |
∑ |
(n + 1)sin |
|
|
|
. |
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
7. ∑ |
|
|
|
. |
|
||
n |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
+ 1 |
|
n 1 |
n |
+ 2n + 5 |
|
n 1 |
n + 3 |
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
πn |
|
||
8. |
∑ |
|
. |
|
|
|
9. |
∑cos |
|
. |
|
10. ∑sin |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6n + 5 |
||||||||||||||
|
n=2 ln n |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
n=1 |
|
Use the comparison test to examine the following series for convergence.
|
∞ |
2n + 1 |
|
|
|
∞ |
n2 + n + 1 |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
3n |
2 |
− 1 |
4n |
5 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 n2 + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|||||
14. |
∑ |
|
|
. |
|
|
15. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
16. ∑ tg |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + |
2 |
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
3n + 2 |
|
|
|
n=1 ln(n + 4) |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
3n + 4n |
|
|
|
|
|
|
||||||
17. |
∑ ( n + 1 − n). |
18. |
∑ |
1 |
− cos |
|
|
|
. |
19. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
4 |
n |
+ 5 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 4 n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
e |
n − 1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
20. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
21. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
22. ∑ n ln 1+ |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|||||||||||||||
|
n=1 |
3 n5 + 1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
Using the D’Alembert’s test, examine the series for convergence.
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
4n |
|
|
∞ |
1 3 5 …(2n − 1) |
|
||||
23. |
∑ |
n arctg |
|
. |
|
24. ∑ |
|
|
. |
25. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||
2n |
|
(n + 2)! |
2 5 8 …(3n − 1) |
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|||||||
|
∞ |
(2n + 1)! |
|
|
|
∞ |
n! |
|
∞ |
|
4n + 1 |
|
∞ |
(n!) |
2 |
|
|
|
26. |
∑ |
. |
|
27. ∑ |
. |
28. ∑ 2n sin |
. |
29. ∑ |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 1 n3 7n+1 |
|
|
n 1 |
n2 |
n 1 |
|
3n |
n 1 |
(2n)! |
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
3 |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Using the Cauchy’s test, examine the series for convergence.
|
∞ |
2n + 1 |
n |
|
|
|
|||
30. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
5n + 3 |
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
n |
|
||
33. |
∑ arccos |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
2n + 1 |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n + 1 2n+3 |
|
∞ |
|
1 n |
n + 2 |
n2 |
|||||||||||||
31. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. 32. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
3n |
2 |
|
n 1 |
9 |
|
n |
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
n2 + 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
34. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
35. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
n |
|
|
|
2n |
2 |
+ |
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
1 |
|
|
|
Using the Integral test, examine the series for convergence.
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
∞ |
ln n |
|||
36. |
∑ |
|
|
|
|
. |
37. |
∑ |
|
|
|
|
. |
38. ∑ |
|
|
. |
|
|
2 |
+ 4 |
|
+ ln |
2 |
|
n |
2 |
||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
n=2 n(1 |
|
n) |
n=1 |
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
39. |
∑ |
|
|
|
|
|
. 40. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2n + 1) ln(2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=2 |
|
|
n=2 n ln n ln ln n |
|
|
|
|
Examine for conditional convergence and absolute convergence the series.
∞ cos πn
41. ∑ .
n=1 n + 1
∞ |
n |
+ n |
|
44. ∑(−1)n+1 |
3 |
. |
|
n |
+ 1 |
||
n=1 |
4 |
|
∞ |
|
n |
|
42. ∑ (−1)n+1 |
|
|
. |
n2 |
|
||
n=1 |
+ n + 1 |
∞(−1)n
45.∑ n ln n .n=2
|
∞ |
|
n 2n + 3 |
n |
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|||||||
47. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
. 48. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|||
|
n 1 |
|
|
3n + 2 |
|
|
n |
= |
2 |
n |
ln |
3 |
n |
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
sin 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
50. |
∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2n + 9 |
|
|||
43. |
∑ |
(−1)n+1 |
. |
|||||
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
11n − 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
(−1) |
n |
||||
46. |
∑ |
2n tg |
|
. |
|
|||
5n |
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
∞(−3)n
49.∑ n! .n=1
Calculate approximately sum of series with accuracy ε . Indicate least sufficient of the members of a series.
∞ |
(−1)n+1 |
∞ |
|
|
|
2 n+1 |
|||||
51. ∑ |
|
|
|
, ε = 0,001. |
52. ∑ |
|
− |
|
|
|
, ε = 0,001. |
n |
3 |
|
13 |
||||||||
n 1 |
|
n! |
n 1 |
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
24
Answers
1. Sn = |
1 |
− |
|
1 |
|
, S = |
|
1 |
. 2. Sn |
= |
3 |
− |
1 |
|
− |
1 |
, S = |
3 |
. |
|
3. |
||||||||
2 |
4n + 2 |
2 |
2 |
2n |
2 3n |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
Hint. un = |
|
|
1 |
|
= |
|
n + 1 |
|
= |
1 |
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
. 4. |
Sn = ln |
n + 1 |
, |
S |
|||||
n!(n + 2) |
(n + 2)! |
(n + |
1)! |
|
(n + |
2)! |
2n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = 1 − |
1 |
|
, |
S = 1. |
|
(n + |
2)! |
||||
|
|
|
= − ln 2. 11. Diverges.
12. Converges. 13. Diverges. 14. Converges. 15. Diverges.16. Diverges. 17. Diverges. 18.Converges. 19. Converges. 20. Converges. 21. Converges. 22. Diverges. 23. Converges. 24. Converges. 25. Converges. 26. Diverges. 27. Converges. 28. Converges. 29. Converges. 30. Converges. 31. Converges. 32. Converges. 33. Diverges. 34. Converges. 35.Converges.36. Converges. 37. Converges. 38. Converges. 39. Diverges. 40. Diverges. 41.Conditionally converges. 42. Conditionally converges. 43. Diverges. 44. Absolutely converges. 45. Conditionally converges. 46. Absolutely converges. 47. Absolutely converges. 48. Absolutely converges. 49. Absolutely converges. 50. Absolutely converges. 51. S ≈ 0,944, n = 3 . 52. S ≈ 0,134, n = 3 .
Micromodule 1
SELF-TEST ASSIGNMENTS
1.1. Find the sum Sn of the first n terms of the following series and prove its convergence using the definition of the convergence of a series.
∞ |
3n + 4n |
|
|
|
|
1.1.1. ∑ |
|
. |
|
|
|
12n |
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
||
∞ |
1 |
|
|
||
1.1.3. ∑ |
|
|
|
. |
|
(2n + 1)(2n + 3) |
|||||
n=1 |
|
||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
1.1.5. ∑ |
|
|
. |
|
|
(n + 2)(n + 4) |
|
||||
n=1 |
|
|
|||
∞ |
4n − 3n |
|
|
|
|
1.1.7. ∑ |
|
. |
|
|
|
12n |
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
∞1
1.1.9.n∑=1 (n + 7)(n + 6) .
∞1
1.1.11.n∑=1 (n + 4)(n + 6) .
∞2n + 7n
1.1.13.∑ .n
n=1 14
∞1
1.1.15.n∑=1 (3n + 1)(3n + 4) .
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
2) |
|
|
|
|||||||
n=1 n(n + |
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
5n − 3n |
|
|
|
|
|
||||||
1.1.4. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
15n |
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
5n − 2n |
|
|
|
|
|
||||||
1.1.6. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
10n |
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1.1.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + |
5)(2n + 7) |
|||||||||||
n=1 |
|
|||||||||||
∞ |
|
3n + 7n |
|
|
|
|
|
|||||
1.1.10. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
21n |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
5n − 3n |
|
|
|
|
|
|||||
1.1.12. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
15n |
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1.1.14. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
(n + |
3)(n + 5) |
|
||||||||||
n=1 |
|
|
||||||||||
∞ |
|
7n − 2n |
|
|
|
|
|
|||||
1.1.16. ∑ |
|
|
. |
|
|
|||||||
14 |
n |
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.1.17. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(n + 4)(n + 6) |
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
6n − 5n |
|
|
|
||||||
1.1.19. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
30n |
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
1.1.21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + 3)(2n + |
5) |
||||||||
n=1 |
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
1.1.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + 3)(2n + |
5) |
||||||||
n=1 |
|
|||||||||
∞ |
2 |
n |
+ 9 |
n |
|
|
|
|||
1.1.25. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
18n |
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.1.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(n + 3)(n + 5) |
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
1.1.29. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3n + 5)(3n + |
2) |
||||||||
n=1 |
|
∞ |
4n + 5n |
|
|||||||||
1.1.18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
20n |
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
1.1.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n − |
1)(2n + 1) |
||||||||||
n=1 |
|
||||||||||
∞ |
n |
+ 8 |
n |
|
|||||||
1.1.22. ∑ |
3 |
|
. |
|
|||||||
24n |
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
7n − 4n |
|
|||||||||
1.1.24. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||
28n |
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
1.1.26. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3n − |
1)(3n + 2) |
||||||||||
n=1 |
|
||||||||||
∞ |
10 |
n |
|
|
n |
|
|||||
1.1.28. ∑ |
|
− 3 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
30n |
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
9n − 2n |
|
|||||||||
1.1.30. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||
18n |
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Examine the following series for divergence.
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
1.2.1. ∑ cos |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
n − 1 n |
|
|||||||||||
1.2.3. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
n |
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
|||||||||
1.2.5. ∑ |
|
|
. |
||||||||||
|
|
+ 2 ln n |
|||||||||||
n=1 3 |
|
||||||||||||
∞ |
|
2n − 1 n |
|||||||||||
1.2.7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
2n |
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||
1.2.9. ∑ cos |
. |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
∞
1.2.11. ∑ ( n2 + n + 1 − n) .
n=1
∞ln n
1.2.13.n∑=1 1+ 2 ln n .
∞7n − 1
1.2.2.n∑=1 1000n + 1 .
∞n2 + 1
1.2.4.n∑=1 5n2 − 3n + 1 .
∞n + 1 n2
1.2.6.∑ .
nn=1
∞3n + 5
1.2.8.n∑=1 5n + 1000 .
∞2n2 + 1
1.2.10.n∑=1 n(3n + 1) .
∞n!
1.2.12.n∑=1 n!+ 10 .
∞3 + n!
1.2.14.n∑=1 100 + n! .
26
∞ |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
1.2.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
(n + 3)! |
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.17. ∑ cos πn . |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
n + 3 |
|
n2 |
|||||||||
1.2.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
+ 2 |
|||||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
1.2.21. ∑ ctg |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
2n − 5 |
|
|
||||||||
1.2.23. ∑ |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
n=1 |
100n + 3 |
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
||||
1.2.25. ∑ arctg |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
6n + 1 |
∞n + 5 n
1.2.27.n∑=1 n + 4 .
∞n − 3 2n
1.2.29.n∑=1 n .
∞ |
|
3n − 5 n |
|
1.2.16. ∑ |
|
|
. |
|
|||
n=1 |
|
3n |
∞4n + 7
1.2.18.n∑=1 7n − 4 .
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1.2.20. ∑ ( |
n2 + 4n + 5 − n) . |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
|
||
1.2.22. ∑ |
|
|
. |
||||
2 |
+ ln n |
||||||
n=1 |
|
|
|||||
∞ |
|
|
n − |
1 |
|
||
1.2.24. ∑ cos |
. |
||||||
2 |
|
||||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1.2.26. ∑ ( |
n2 + 2n − n) . |
n=1
∞(n + 2)n
1.2.28.n∑=1 (n + 3)(n + 1) .
∞ |
|
1.2.30. ∑ ( 4n2 + 3n + 7 |
− 2n) . |
n=1 |
|
1.3. Using the D’Alembert’s test, examine the series for convergence.
∞ |
|
n |
(n + 2)! |
|
|
∞ |
|
|
|
7n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.3.1. ∑ |
3 |
|
|
. |
1.3.2. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
n |
2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 5 6 (n+3) |
|
|
|||||||||||||||||
1.3.4. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
1.3.5. ∑ |
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 n 3n−1 |
|
|
n=1 5 7 9 (2n+3) |
||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
nn+1 |
|
|
∞ 1 7 13 (6n−5) |
|||||||||||||||||||||||||
1.3.7. n∑=1 |
|
|
|
. |
|
|
|
1.3.8. n∑=1 |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4 (n+1) |
|||||||||||||||||||||
(n + 1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
(n + 2)! |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||
1.3.10. ∑ |
. |
1.3.11. ∑(2n +1) tg |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
nn |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
5n |
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
10 |
n |
|
|
∞ |
|
|
1 6 11 (5n − 4) |
|
|||||||||||||||||||
1.3.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1.3.14. ∑ |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(n + |
3)! |
||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
3 7 11 (4n −1) |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
2π |
|
∞ |
|
(n |
2 |
+ 1) 2 |
n |
||||||||||||||||||
1.3.16. ∑ n3 tg |
. |
1.3.17. ∑ |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
(n + 3)! . n! 2n
n sin 2π . 3n
3n(n + 1) .
5n
(n +1)n2 . n!
∞nn
1.3.15.n∑=1 (n + 3)! .
∞ln n
1.3.18.n∑=1 (2n + 3)! .
27
∞ |
2n (2n −1) |
|
|||||||
1.3.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
5n |
||||||||
n=1 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1.3.22. ∑ n!sin |
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
2n |
|
|||
∞ |
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1.3.25. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
4n! |
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
(2n −1)3 |
|
|||||||
1.3.28. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
(2n)! |
|
∞ |
3 5 8 (3n −1) |
|
∞ |
(n +1)n |
|
||||||||||
1.3.20. ∑ |
|
|
|
. |
1.3.21. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||
3 7 11 (4n −1) |
|||||||||||||||
n! |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 5 9 (4n − 3) |
|
∞ |
(n!)2 |
|
|
|
||||||||
1.3.23. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
1.3.24. ∑ |
|
|
. |
|
||||
1 4 7 (3n − 2) |
(2n)! |
|
|||||||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||
∞ 1 3 5 (2n −1) |
|
∞ |
n |
|
|
|
|||||||||
1.3.26. n∑=1 |
|
|
. |
1.3.27. n∑=1 |
|
n |
. |
||||||||
2 7 12 (5n − 3) |
|||||||||||||||
|
(n + 1)! |
||||||||||||||
∞ |
|
π |
|
|
|
|
∞ |
2n +1 |
|
|
|
||||
1.3.29. ∑ |
(3n − 1) sin |
|
. |
|
|
|
1.3.30. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||
n=1 |
|
4n |
|
|
|
|
n=1 n 2n |
|
|
|
1.4. Using the Cauchy’s test, examine the series for convergence.
∞ |
|
n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
n |
|
||||||||
1.4.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
1.4.3. ∑ |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||
1.4.5. ∑ |
arcsin |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
n |
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n+ 1. |
||||||
1.4.7. ∑ arctg n 2 |
5 |
||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.4.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
n |
(n + 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
n =1 ln |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
πn |
|
|
|
||||||||||
1.4.11. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ 5 |
||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
3n |
1.4.13. ∞ 2n − 1 n2 .
∑ n =1 2n
1.4.15. ∞ n + 1 n+1.
∑ n =1 4n
∞ |
|
1 |
n |
|
1.4.17. ∑ |
e2n |
− 1 |
(n |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n
.
2 n .
+ 1)n .
|
∞ |
|
|
5n − 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.4.2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
||||||
1.4.4. ∑ |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
∞ |
|
n2 + 5n + 8 |
|||||||||||||||||||||
1.4.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
n |
|
|
||||||
1.4.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.4.10. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
n |
||||||||||
1.4.12. ∑ tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
6n + |
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2n |
|
|
|
|
||||||||||
1.4.14. ∑ |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.4.16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n =1 ((n + 1) n)n2 |
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
3n − 1 n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.4.18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.
28
∞ |
|
|
|
|
5n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.4.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(n + |
3) |
|
|
|
|
|||||||||
n =1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
3n2 |
− 1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
1.4.21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
7n |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n |
|
πn |
|
|
|
2n |
|||||||
1.4.23. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
4n + |
3 |
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
((n + 1) |
|
n)n2 |
|
|
|
|||||||||||
1.4.25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
n − |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.4.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4.29. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1))n |
|
||||||||
n =1 (ln(n + |
|
|
|
1.4.20. ∞ n + 1 n2 .
∑ n=1 2n
1.4.22. ∞ n n .
∑ n =1 3n + 1
∞ |
n + 1 |
5n |
|
||||||
1.4.24. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
2n |
|
|
||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
(3n + 1)n . |
1.4.26. ∑ |
e 4n |
− 1 |
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n |
|
|
|
1.4.28. ∑ arctgn |
|
. |
|
||
|
|
||||
n =1 |
n + 2 |
||||
|
|
|
|
||
∞ |
|
n + 2 |
|
||
1.4.30. ∑ arcsin n |
. |
||||
|
|||||
n =1 |
|
2n |
|||
|
|
|
|
1.5. Use the comparison test to examine the following series for convergence.
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.5.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
n3 + 2 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|||||||
∞ |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|||
1.5.3. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
5n |
2 |
+ |
2 |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.5.5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
n2 + n |
|||||||||
n=1 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1.5.7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
3 2n4 + 1 |
||||||||
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1.5.9. ∑ tg |
|
|
|
|
|
. |
|||
4n − 1 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞3n − 1
1.5.11.n∑=1 n2 + 1 .
∞2n − 1
1.5.13.n∑=1 3n2 + 5 .
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
1.5.2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
3 n5 + n − 1 |
|||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1.5.4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
n3 + 3n |
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1.5.6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
||||
n=1 ln(n + |
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5.8. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
3n − 1 |
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
n + 3 |
|
|
|
|||||||
1.5.10. ∑ |
. |
|||||||||||
|
||||||||||||
n=1 n(n + 1) |
|
|
||||||||||
∞ |
|
cos2 n |
|
|
|
|
||||||
1.5.12. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
n |
3 |
+ |
1 |
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞1
1.5.14.n∑=1 3n2 − n + 1 .
29
∞ |
|
π |
|
|
|
1.5.15. ∑ n sin |
|
|
|
. |
|
n2 |
|
|
|||
n=1 |
|
+ 1 |
|||
∞ |
|
2π |
|
|
|
1.5.17. ∑ sin |
|
. |
|
||
3n + |
2 |
|
|||
n=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞3n − 1
1.5.19.n∑=1 2n2 − 1 .
∞n + 2
1.5.21.n∑=1 n 3 n + 1 .
∞n2
1.5.23.n∑=1 n3 + 2 .
∞n 2n + 1
1.5.25.∑ .
+1n=1 n3
∞1
1.5.27.n∑=1 ln(n + 4) .
∞n
1.5.29.n∑=1 5n2 + 3 .
∞n + 2
1.5.16.n∑=1 n(n + 4) .
∞5n + 1
1.5.18.n∑=1 n3 + n + 1 .
∞n + 4
1.5.20.∑ .
n=1 n(n − 4)
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|||||
1.5.22. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
2n − 1 |
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
1.5.24. ∑ sin |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
4n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1.5.26. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
2 n |
|
|
|
|
||||||
n=1 n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
2n + 1 |
|
|
|
|
||||||
1.5.28. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
3 |
n |
2 |
+ 2 |
|
|
|
||||
1.5.30. ∑ |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
n(n + 1) |
|
1.6. Use the comparison test in limited form to examine the following series for convergence.
|
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
1.6.1. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6.2. ∑ ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
1.6.3. ∑ |
1 |
− cos |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
n + 2 |
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n2 + 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.6.4. |
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
. |
|
|
1.6.5. |
|
|
|
|
en |
|
− 1 . |
|
|
|
1.6.6. |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
∑ n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
e |
n4 |
|
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||
1.6.7. ∑ arcsin |
|
|
|
|
|
. |
1.6.8. ∑ sin |
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
. |
1.6.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
n4 |
+ 1 |
n |
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.6.10. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
+ 3 |
|||||||||||||||
∑ |
− cos |
|
1 |
|
|
|
1.6.11. |
∑ |
arctg |
|
|
|
|
. |
1.6.12. |
∑ |
ln |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 2 |
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2n |
2 |
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