Higher Mathematics. Part 3
.pdf
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2 |
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2 |
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cos nπ |
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2 |
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sin nx |
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π |
1 |
π |
|
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|
|
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|||||||||||
= |
|
|
−π |
|
|
|
+ |
|
x |
|
|
− |
|
∫ sin nxdx |
= |
|
|
|
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|||||||||||
|
π |
|
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n |
|
n |
|
n |
|
0 |
n |
0 |
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2 |
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π2 |
|
n+1 |
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2 |
|
π |
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2π |
(−1) |
n+1 |
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4 |
(−1) |
n |
||
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||||||||||||||
= |
|
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n (−1) |
|
|
+ |
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|
cos nx |
|
= |
|
|
|
+ |
|
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||||
π |
|
|
n3 |
|
n |
|
πn3 |
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|||||||||||||
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0 |
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Therefore |
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∞ |
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|
∞ |
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||
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2π |
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4 |
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|||||
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f (x) = ∑ |
(−1)n+1 sin nx + ∑ |
|
(−1)n −1 sin nx |
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|||||||||||||||
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n=1 |
|
n |
|
|
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n=1 |
πn3 |
|
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− 1 .
.
If п is even number then (−1)n −1 = 0 .
Therefore
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sin x |
|
sin 2x |
|
sin 3x |
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|
8 sin x |
|
sin 3x |
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sin 5x |
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|||||||||||||
f (x) = 2π |
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− |
|
|
|
|
+ |
|
|
− ... − |
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|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... . |
|||
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1 |
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2 |
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3 |
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3 |
|
3 |
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|
|
3 |
|||||||||||||
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π |
1 |
|
|
3 |
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5 |
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|||||||
This equality is fulfilled for |
x [0; |
π] , |
except point |
x = π, |
in which the |
|||||||||||||||||||||||
sum of series equals 0, but |
f (π) = π2 . |
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||||||||||
Example 5. Expand function |
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||||||||||
f (x) = |
−1, if |
x (−1; 0], |
( f (x + 2) |
= f (x) |
|
(Fig. 3.6)) in Fourier series. |
||||||||||||||||||||||
|
x (0; 1), |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2x, if |
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|||||||
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y |
π2 |
|
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|
|
у |
|
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|
|
|
|
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|||
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|
|
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|
|
||
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|
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|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
–2π |
–π |
О |
|
π |
|
2π |
|
x |
|
|
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–1 |
О |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
– π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
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|
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|
|
|
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||||
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|
Fig. 3.5 |
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Fig. 3.6 |
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Solution. Function f (x) is piecewise monotone and periodic with period
2l = 2 . Therefore we can expand it in Fourier series. We find Fourier coefficients by formulas (3.13):
0 |
1 |
0 |
1 |
a0 = ∫ (−1)dx + ∫ 2xdx = − x |
+ x2 |
= −1+ 1 = 0; |
|
−1 |
0 |
−1 |
0 |
81
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|
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|
0 |
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|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
sin nπx |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
an |
|
= ∫ (−1) cos nπxdx + ∫ 2x cos nπxdx = − |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
−1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
−1 |
||||||||
|
|
|
|
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|
sin nπx |
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∫ sin nπxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
cos nπx |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
0 |
|
nπ |
n |
2 |
π |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
((−1) |
|
− 1) |
|
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|
0, |
|
|
|
|
if |
n = 2k, |
|||||||||||||
= |
|
|
(cos nπ − 1) = |
|
|
|
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, if n = 2k |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
n2 |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
(2k − 1) |
2 |
π |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
cos nπx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
bn |
= ∫ (−1) sin nπxdx + ∫ 2x sin nπxdx = |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
−1 |
||||||
|
|
− cos nπx |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
− cos nπx dx = |
|
1 |
(1− (−1)n )− |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+2x |
|
|
|
− |
∫ 2 |
|
|
cos nπ + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
, |
|
|
|
if |
|
n = 2k, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin nπx |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
k |
π |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(1 |
− |
3(−1) |
|
) = |
|
|
|
|
4 |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|||||||
|
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|
n2π2 |
|
|
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|
nπ |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
0 |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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(2k −1)π , if n = 2k − 1. |
||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
Therefore Fourier series looks like
∞ |
|
−4 |
|
|
∞ |
1 |
|
f (x) = ∑ |
|
|
|
cos(2k −1)πx −∑ |
sin 2kπx + |
||
( |
) |
2 |
|
|
|||
k =1 |
|
π2 |
k =1 kπ |
||||
|
2k − 1 |
|
∞4
+k∑=1 (2k − 1)π sin(2k − 1) πx.
Sum of Fourier series S(x) is
f (x), if x (−1+ 2k; 2k) (2k; 1 |
+ 2k), |
|
|
− 0,5, if x = 2k, |
k Z. |
S(x) = |
||
|
0,5, if x = −1+ 2k, |
|
|
|
− 1;
0 +
Example 6. Expand function (Fig. 3.7, а) in Fourier series on segment [1; 4] . Solution. Let’s write the given function analytically:
|
1, if |
x [1;3), |
f (x) = |
4 − x, if |
x [3;4]. |
|
Let’s extend this function periodically with a period T = 2l = 3 . For calculation of Fourier coefficients we’ll use formulas (3.14). To simplify a calculation let’s consider a new function f1 (x) :
82
f1 |
|
1, if |
x [0;3), |
(Fig.3.7, b). |
(x) = |
4 − x, if |
x [3;4] |
||
|
|
|
|
|
On the segment [1; 4] |
|
the function |
|
|
f1 (x) |
|
coincides with the function |
|
f (x) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Let’s extend |
f1 (x) |
on the interval [−4; 0) in an odd way (Fig. 3.7, c). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y = f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = f1(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
О 1 |
|
|
3 4 |
|
|
x |
|
|
|
|
О 1 |
|
|
|
|
3 4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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Fig. 3.7 |
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||||||||
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On the segment [−4; 4] |
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this new function is odd and its Fourier series does |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
not contain cosines: a0 |
= an |
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∞ |
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= 0 . That is f (x) = ∑ bn sin πnx , l = 4 . |
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Let’s find bn : |
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n=1 |
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4 |
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2 4 |
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πnx |
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1 |
3 |
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πnx |
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4 |
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πnx |
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bn |
= |
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∫ |
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f1 (x) sin |
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dx = |
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∫ |
sin |
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dx + |
∫ |
(4 − x) sin |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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4 0 |
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4 |
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4 |
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4 |
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dx = |
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2 0 |
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3 |
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|||||||||||||||||||
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4 cos |
πnx |
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−4 cos |
πnx |
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||||||||||||||||
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1 |
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4 |
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3 |
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4 |
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4 |
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4 |
4 |
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|
πnx |
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
= |
|
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− |
|
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+ (4 − x) |
|
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|
− |
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∫3 |
|
cos |
|
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|
|
dx |
= |
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
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4 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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|
3 |
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||||||||||||||||
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||||
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||
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1 |
|
|
4 |
cos |
3πn |
− 1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
|
16 |
|
sin πnx |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
|
− |
+ |
|
cos |
|
− |
|
|
|
|
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|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
π |
n |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
3πn |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
− |
|
|
cos |
|
|
|
− 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
. |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
4 |
|
|
πn |
|
|
4 |
|
|
π |
2 |
n |
2 |
4 |
|
2 |
πn |
|
|
π |
2 |
n |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Therefore Fourier series is |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
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f (x) = ∑ |
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+ |
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|
sin |
|
|
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|
sin |
|
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|
. |
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
πn |
|
π |
2 |
n |
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
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|
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|
|
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|
n 1 |
|
|
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|
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|
= |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
This equality is fulfilled for all |
x [−4; 0) (0; 4] . |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
Micromodule 3
CLASS AND HOME ASSIGNMENTS
|
Expand the given |
|
2π -periodic functions defined on interval |
|
(−π; π) in |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fourier series. |
|
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|
3, if |
|
x (−π;0), |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1. f (x) = x. |
|
|
|
|
|
2. f (x) = 1+ |
x |
. |
|
|
|
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|
|
|
3. f (x) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
x [0; |
|
π). |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. |
|
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|
|
−1, if |
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
Expand |
the |
given 2π -periodic |
|
function |
|
in |
Fourier |
series |
|
f (x) = x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (0; 2 π], |
f (x + 2π) = f (x) . |
|
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|
||||||||||||||||||||
|
Expand the given functions defined on interval (0; π) in cosine series: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. f (x) = x |
2 |
. |
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
1, if |
|
x (0;π / 2), |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6. f (x) = |
|
|
|
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|
0, if x [π / 2; π). |
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7. Expand the function |
|
f (x) = π |
− |
x |
|
defined on interval (0; π) in sine series. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
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2 |
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||
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Expand the functions in Fourier series. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8. |
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|
1, if |
x [−1; 0), |
|
|
|
|
|
|
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|
9. f (x) = |
0, if |
x [−3;1), |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
|
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|
|
x [0; 1). |
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x [1;3]. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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−1, if |
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x, if |
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||||||||||||||||||||||
|
10. Expand the function |
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|
f (x) = 2x defined on interval (0; 2) |
|
in cosine |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
series. |
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||||
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Answers |
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|||||||||||||||
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|
|
∞ |
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|
|
sin kx |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
sin 2x |
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∞ |
|
sin(2k − 1)x |
|
||||||||||||||||||||
|
1. 2∑(−1)k |
+1 |
. |
2.1 + sin x − |
+ |
|
− |
|
+ …. |
3. |
|
1 − |
∑ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
k =1 |
2k − 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
sin kx |
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
coskx |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
cos(2k − 1)x |
|
|
∞ |
|
sin 2kx |
|
|
||||||||||||||||||||
4. π − 2∑ |
|
|
|
. |
5. |
|
|
+ 4∑(−1)k |
|
|
|
|
|
|
. |
|
6. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
∑(−1)k +1 |
|
|
|
|
|
|
. 7. |
∑ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
3 |
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2k − 1 |
|
|
2k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∞ |
sin(2k − 1)π x |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
n |
|
|
πn |
|
|
πnx |
|
|
1 ∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
− |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
9. |
|
|
+ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
− cos |
|
|
cos |
|
|
+ |
∑× |
||||||||||||
|
|
|
|
2k − 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
πn |
3 |
π |
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
πn |
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
∞ |
cos |
π(2k − 1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
× |
|
|
|
3(−1) |
|
+ cos |
|
+ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
. 10. |
|
4 − |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
π |
2 |
n |
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
(2k − 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
Micromodule 3 |
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|
SELF-TEST ASSIGNMENTS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.1. Expand 2π -periodic function f (x) defined on interval (−π; π) |
|
in Fourier |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
series. Sketch the graph of Fourier series sum. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
if x (−π; 0), |
|||||
3.1.1. f (x) = |
|
|
|
|
x [0; π). |
|||
|
x −1, if |
|||||||
|
0, |
|
if |
x (−π; 0), |
||||
3.1.3. f (x) = |
|
|
|
|
|
x [0; π). |
||
|
x + 2, if |
|
||||||
3.1.5. |
0, |
|
if |
x (−π; 0), |
||||
f (x) = |
|
|
|
|
x [0; π). |
|||
|
x / 2, if |
|||||||
3.1.7. |
3 − x, if |
x (−π; 0), |
||||||
f (x) = |
|
1, |
|
if |
|
x [0;π). |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0, |
if |
|
x (−π; 0), |
||
3.1.9. f (x) = |
|
|
|
|
|
x [0;π). |
||
|
4x − 3, if |
|||||||
3.1.11. |
f (x) = |
|
|
1, |
if |
x (−π; 0), |
||
|
|
|
|
|
|
x [0;π). |
||
|
|
2x − 5, if |
||||||
3.1.13. |
f (x) = |
|
|
1, |
if |
x (−π; 0), |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π − 2x, if x [0; π). |
||||||
3.1.15. |
f (x) = |
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
x [0;π). |
||
|
|
1− 2x, if |
||||||
3.1.17. |
f (x) = |
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
x [0;π). |
||
|
|
4 − 2x, if |
||||||
3.1.19. |
f (x) = |
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
x [0;π). |
||
|
|
6x − 5, if |
||||||
|
|
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
3.1.21. |
f (x) = |
|
π |
|
|
|
|
|
|
− x, if |
x [0; π). |
||||||
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.23. |
f (x) = |
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
x [0; π). |
||
|
|
2x − 3, if |
||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
if |
x (−π; 0), |
3.1.25. |
f (x) = |
|
π |
|
|
|
|
|
|
+ 2x, if x [0; π). |
|||||||
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.2. |
2x, if |
|
x (−π; 0), |
|||||||
f (x) = |
|
if |
|
x [0;π). |
||||||
|
1, |
|
||||||||
3.1.4. |
1− x, if |
x (−π; 0), |
||||||||
f (x) = |
|
|
|
if |
x [0; π). |
|||||
|
−1, |
|
||||||||
|
|
|
0, |
|
if |
x (−π; 0), |
||||
3.1.6. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
x [0;π). |
|||
|
2x + 3, if |
|||||||||
3.1.8. |
|
0, |
|
if |
x (−π; 0), |
|||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
x [0; π). |
||||
|
x − 2, if |
|||||||||
3.1.10. |
f (x) = |
4 − x, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
− 1, |
|
if |
x [0; π). |
||||||
|
|
|
|
|||||||
3.1.12. |
f (x) = |
3 − 2x, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
3.1.14. |
f (x) = |
5x + 1, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
3.1.16. |
f (x) = |
3x + 2, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
3.1.18. |
f (x) = |
x + π, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
3.1.20. |
f (x) = |
π − 2x, if x (−π; 0), |
||||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
3.1.22. |
f (x) = |
π + x, if |
x (−π; 0), |
|||||||
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
π |
− 2x, if |
x (−π; 0), |
||||||
3.1.24. |
f (x) = |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0, |
|
|
if |
x [0;π). |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x (−π; 0), |
||
3.1.26. |
f (x) = |
1 |
− |
|
|
, if |
||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0, |
|
if |
x [0;π). |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
|
1+ 2x, if |
x (−π; 0), |
||
3.1.27. |
|
|
|
|
|
3.1.28. |
|
|
|
|
f (x) = x |
− 1, if |
x [0;π). |
f (x) = |
0, |
if |
x [0;π). |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.29. |
|
|
0, |
if |
x (−π; 0), |
3.1.30. |
1− 3x, if |
x (−π; 0), |
||
f (x) = |
|
|
|
|
f (x) = |
0, |
if |
x [0;π). |
||
|
3x − 5, if x [0; π). |
|
|
3.2.Expand the function f (x) defined on segment [0;l] : а) in sine series;
b)in cosine series.
|
x |
for x [0;1), |
|||
3.2.1. f (x) = |
|
for x [1;2]. |
|||
|
2 |
||||
|
x − 1 for x [0;2), |
||||
3.2.3. f (x) = |
1 |
for x [2;4]. |
|||
|
|
||||
3.2.5. |
1− x |
for x [0;1), |
|||
f (x) = |
−1 |
for x [1;2]. |
|||
|
x |
||||
3.2.7. |
2 − x |
for x [0;2), |
|||
f (x) = |
0 |
|
for x [2;3]. |
||
|
|
|
|||
3.2.9. |
x − 1 |
for x [0;1), |
|||
f (x) = |
0 |
|
for x [1;4]. |
||
|
|
|
|||
|
|
x |
for x [0;1), |
||
3.2.11. |
f (x) = |
|
|
for x [1;2], |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
for x (2;3]. |
|
|
|
2 |
|||
3.2.13. f (x) = |
2 − x |
for x [0; 4]. |
|||
|
|
|
x |
|
for x [0;1), |
3.2.15. |
f (x) = |
|
1 |
|
for x [1;2], |
|
|
||||
|
|
3 − x |
for x (2;3]. |
||
|
|
|
|
|
|
3.2.17. |
f (x) = |
2 − x for x [0;1), |
|||
|
1 |
|
for x [1;4]. |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
for x [0;1), |
3.2.19. |
f (x) = |
|
|
|
|
x − 2 for x [1;2], |
|||||
|
|
3 − x |
for x (2;3]. |
||
|
|
|
|
|
|
86
|
|
1 |
|
for x [0;2), |
||
3.2.2. f (x) = |
|
|
|
for x [2;3]. |
||
|
3 − x |
|||||
3.2.4. |
−1 |
|
for x [0;1), |
|||
f (x) = |
− x |
for x [1;3]. |
||||
|
2 |
|||||
3.2.6. |
2 |
|
for x [0;2), |
|||
f (x) = |
|
|
for x [2;5]. |
|||
|
−1 |
|||||
3.2.8. |
|
x |
|
for x [0;1), |
||
f (x) = |
− x |
for x [1;2]. |
||||
|
2 |
|||||
3.2.10. |
f (x) = |
0 |
|
for x [0;2), |
||
|
|
− x |
for x [2;4]. |
|||
|
|
2 |
||||
|
|
− x |
for x [0;1), |
|||
3.2.12. |
f (x) = |
|
1 |
for x [1; 2], |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 for x (2;3]. |
||||
3.2.14. |
f (x) = x |
|
for x [0;6]. |
|||
|
|
1 |
− x |
for x [0;1), |
||
3.2.16. |
f (x) = |
|
|
0 |
|
for x [1; 2], |
|
|
|
||||
|
|
|
|
− 2 |
for x (2;3]. |
|
|
|
x |
||||
3.2.18. |
f (x) = |
− x |
for x [0;1), |
|||
|
|
− 2 |
for x [1;2]. |
|||
|
|
x |
||||
|
|
|
|
1 |
for x [0;1), |
|
3.2.20. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
2 − x for x [1; 2], |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
for x (2;3]. |
|
|
|
|
|
3.2.21. f (x)
3.2.23. f (x)
3.2.25. f (x)
3.2.27. f (x)
3.2.29. f (x)
−1 for x [0;1),
=x − 2 for x [1;2].
2 for x [0;1),
=1 for x [1;2],0 for x (2;3].
− 1 |
for x [0;1), |
|
|
x |
for x [1;2], |
= |
||
|
2 |
for x (2;3]. |
|
||
= x − 3 |
for x [0;6]. |
|
= − 2 |
for x [0; 2), |
|
3 |
for x [2; 3]. |
3.2.22. |
− 2 for x [0; 2), |
||
f (x) = |
1 |
for x [2;4]. |
|
|
|
||
|
−1 |
for x [0;1), |
|
3.2.24. |
|
0 |
for x [1;3], |
f (x) = |
|||
|
|
2 |
for x (3; 4]. |
|
|
||
|
− x |
for x [0;1), |
|
3.2.26. |
|
0 |
for x [1;3], |
f (x) = |
|||
|
|
|
for x (3;4]. |
|
x |
||
3.2.28. |
f (x) = − x |
for x [0;4]. |
|
3.2.30. |
f (x) = − 3 |
for x [0; 3), |
|
|
1 |
for x [3; 5]. |
Micromodule 4
BASIC THEORETICAL INFORMATION. FOURIER INTEGRAL
Fourier integral. Fourier integral for odd and even functions. Complex form of Fourier integral. Fourier transformation.
Key words: amplitude spectrum — амплітудний спектр, phase spectrum —
фазовий спектр, Fourier cosine-transform — косинус-перетворення Фур’є, Fourier sine-transform — синус-перетворення Фур’є, wave numbers — хви-
льові числа, spectrum density — спектральна щільність.
Literature: [9, chapter 9, §4], [14, chapter 3, §5], [15, chapter 13, part 13.5], [16, chapter 17, §12–14], [17, chapter 6, §22].
4.1. Fourier Integral. Fourier Transformation
Any piecewise monotone function f (x) defined on interval (a; b) may be represented as a Fourier series. Fourier integral is the analog of Fourier series for functions defined on (−∞; ∞) .
Suppose a non-periodic function f (x) defined on (−∞; ∞) |
obeys all con- |
||||
ditions of Dirichlet’s theorem on any finite segment [−l; l] . Let |
f (x) be abso- |
||||
lutely integrable. That is, |
|
||||
∞ |
|
||||
∫ |
|
f (x) |
|
dx < ∞ . |
|
|
|
|
|||
−∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
87 |
Then we can expand this function in Fourier series (3.12) on a segment [−l; l] . If we substitute values of coefficients obtained in (3.13), we receive
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
∫ f (t)dt + 1 |
∑ |
∫ f (t)(cosωnt cosωn x + sin ωnt sin ωn x)dt = |
|||||||||||||||||||||||||
2l |
||||||||||||||||||||||||||||
|
−l |
|
|
|
|
|
|
l |
n=1 |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
1 |
∞ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
∫ f (t)dt + |
∑ |
∫ f (t)cosωn (t − x)dt. |
(4.1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
l |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
n=1 |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Here ω = πn ( n = 1, 2,... ) are the wave numbers of a function |
f (x) . |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Let’s denote |
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|
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ω |
− ω |
= Δω |
n |
( n = 1, 2,... ). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
n |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Then formula (4.1) will be |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
1 |
∞ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x) = |
|
|
|
∫ f (t)dt + |
∑ |
∫ f (t)cosωn (t − x)dt π , |
|
||||||||||||||||||||
|
|
2l |
|
|
||||||||||||||||||||||||
or |
|
|
|
−l |
|
|
|
|
π n=1 |
−l |
|
|
|
|
|
l |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = |
|
|
∫ |
|
f (t)dt + |
∑ |
|
∫ |
f |
(t)cosω (t − x)dt Δω . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
||||||||
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
π n=1 |
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Let’s consider a limit as l → ∞ . The first term tends to zero because |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
M |
|
|
|||||
|
|
lim |
|
∫ f (t)dt ≤ lim |
|
∫ |
|
f (t) |
|
dt < lim |
= 0. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
l→∞ |
2l |
−l |
|
|
l |
→∞ |
2l −l |
|
|
|
|
l→∞ |
2l |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Let’s denote
Then
l
ϕ(ωn ) = ∫
−l
f (
f (t)cosωn (t − x)dt.
|
1 lim |
∞ |
|
x) = |
∑ϕ(ωn )Δωn . |
(4.2) |
|
|
π l→∞ n=1 |
|
The right side of formula (4.2) is the integral sum of the function
l
ϕ(ω) = ∫ f (t)cosω(t − x)dt, ω (0; ∞).
−l
Suppose l → ∞ Δωn → 0, that is, wave numbers ωn get all possible values from 0 to +∞ . Then point spectrum is continuous. Formula (4.2) looks like
f (x) 1 ∞ ϕ( )d
= π ∫0 ω ω
88
or
|
1 |
∞ ∞ |
|
|
f (x) = |
|
∫ ∫ |
f (t) cos ω(t − x)dt dω. |
(4.3) |
|
||||
|
π 0 −∞ |
|
|
Definition. Formula (4.3) is called a Fourier formula. The right side of it is
called Fourier integral of a function f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
This formula is true for all points of continuity of a function f (x) . If |
x0 is a |
||||||||||||||||||||||||||||||
point of discontinuity then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ∞ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x + 0) + f (x − 0) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
f (t) cos ω(t − x)dt dω = |
|
|
0 |
|
0 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Let’s write Fourier integral as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
f (t) cos(ωt − ωx)dt dω = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
f (t)(cos ωt cos ωx |
+ sin ωt sin ωx)dt dω = |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
f |
(t) cos ωtdt cos ωxdω + |
|
|
|
|
|
|
f (t) sin ωtdt sin |
ωxdω. |
||||||||||||||
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Let’s denote |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(ω) = |
∫ f (t) cos ωtdt, b(ω) = |
∫ |
f (t) sin ωtdt, |
|
|
(4.4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ∫ (a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx)dω. |
|
|
(4.5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Fourier Integral for Odd and Even Functions |
|
|
|||||||||||||||||||||
Suppose f (x) |
is an even function then |
f (t) cos ωt |
is an even function too and |
||||||||||||||||||||||||||||
f (t) sin ωt |
is an odd function. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Suppose f (x) |
|
is an odd function then |
|
|
f (t) cos ωt is an odd function too |
||||||||||||||||||||||||||
and f (t) sin ωt |
is an even function. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
In these cases formulas (4.4), (4.5) look like those in Table 4.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Table 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Property of |
f (x) is an even function |
f (x) |
is an odd function |
|||||||
a function f (x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
||
Fourier integral |
f (x) = ∫ a(ω) cos ωxdω |
f (x) = ∫ b(ω) sin ωxdω |
||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
2 |
∞ |
a(ω) = 0, |
|
|
||||
Fourier |
a(ω) = |
|
f (t) cos ωtdt , |
|
|
|
∞ |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|||||
coefficients |
|
π |
∫0 |
b(ω) = |
|
∫ |
f (t) sin ωtdt |
|||
|
B(ω) = 0. |
|
π |
|||||||
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Complex Form of Fourier Integral.
Fourier Transformation
Suppose a function f (x) is presented by Fourier integral (4.5). We use formulas
cos ωx = |
|
eiωx |
+ e−iωx |
, sin ωx = |
eiωx − e−iωx |
. |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2i |
||||||||||
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
∫ |
F(ω)eiωx dω, |
|
|
|
|
(4.6) |
||||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
where |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
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∞ |
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F(ω) = ∫ |
f (t)e−iωt dt. |
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(4.7) |
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−∞ |
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It follows from formulas (4.6) and (4.7) that |
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1 |
∞ |
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∞ |
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−iωx |
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iωx |
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f (x) = |
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∫ |
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∫ |
f (t)e |
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dω. |
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(4.8) |
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2π |
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dt e |
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−∞ −∞ |
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Definition. The right side of a formula (4.8) is called a Fourier integral in complex form for the function f (x) .
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