TOE_NAU_ChASTINA_I_Siry_D_T

51

I1=(U12+E1 )/R1=(-4+18)/6=2,33 A; I6=U21 /R6=4/12=0,33 A.

7.Зробимо перевірку за балансом потужностей:

åРдж = åРсп ,

åPдж = Е1І1 + Е2 І 2 +U13 J ,

U13=І4 R4+ І5 R5 = 14 B,

åPдж = Е1 І1 + Е2 І 2 + U13 J =184 Вт,

åPсп = R1 І12 + R2 І 22 + R3 I32 + R4 I 42 + R5 I52 + R6 I 62 =184 Вт.

Задача № 7

Розрахувати електричне коло постійного струму(рис. Р2.7) методом контурних струмів, якщо Е1 = 12 В, Е2 = 16 В, Е3 = 10 В, R1= 1 Ом, R2= 4 Ом, R3= 2 Ом, R4= 7 Ом, R5= 7 Ом, R6 = 7 Ом. Визначити напругу між точками a і b. Результати розрахунків перевірити методом балансу потужностей.

Uab

Рис. Р2.7

Рішення Вибираємо незалежні контури, задаємо напрями контурних струмів та

співпадаючі з ними напрями обходу контурів.

За другим законом Кірхгофа складаємо контурні рівняння для трьох незалежних контурів:

ІІ (R1+R2+R4) – IІІ R2 – IІІІ R4 = E1 – E2,

-IІ R2+ ІІI (R3+R2+R6)– IІІІ R6 = E3 + E2,

-IІ R4 – IІІ R6 + ІІII (R6+R4+R5) = 0.

Після підстановки числових значень одержимо:

12ІІ – 4IІІ – 7IІІІ = -4, -4ІІ + 13IІІ – 7IІІІ = 26,

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

52

-7ІІ – 7IІІ + 21IІІІ = 0.

Вирішимо цю систему рівнянь методом визначників:

ІІ =

1 /Δ

ІІI =

2 /

ІІII =

3 / .

Підрахуємо головний

та часткові

1,

2, 3 визначники:

=

R11 - R12 - R13

=

12 - 4

- 7

= 1323,

- R21

R22

- R23

- 4

13

- 7

- R31 - R32 R33

- 7 - 7 21

1 =

EI

- R12 - R13

=

- 4 - 4

- 7

= 2562,

EII

R22

- R23

26

13

- 7

EIII

- R32

R33

0

- 7

21

2 =

R11 EI

- R13

=

12 - 4

- 7

= 4746,

- R21

EII

- R23

- 4

26

- 7

- R31 EIII

R33

- 7

0

21

3 =

R11 - R12 EI

=

12 - 4 - 4

= 2436.

- R21

R22

EII

- 4

13

26

- R31 - R32 EIII

- 7

- 7

0

Знаходимо контурні струми:

ІІ = 2562 / 1323 = 1,94 А,

ІІI = 4746 / 1323 = 3,58 А,

ІІII = 2436/ 1323=1,84 А.

Знаходимо дійсні струми

I1 = ІІ = 1,94 А,

I2 = ІІ - III =1,94 - 3,58 = - 1,64 А, I3 = III = 3,58 А,

I4 = IIII - ІІ = 1,84 - 1,94 = - 0,1 А,

I5 = - IIII = - 1,84 А,

I6 =

ІІIІ - III = 1,84 - 3,58 = - 1,74 А.

Визначимо напругу між точками a і b.

Із контуру, утвореного Uab-b-E2-R2-a, за ІІ законом Кірхгофа маємо:

Uab –І2 R2= E2, звідки Uab = E2+І2 R2=16 – 6,56 = 9,44 В.

Перевірка за балансом потужностей

åРдж = åРсп ,

åРдж = Е1І1 – Е2І2 + Е3І3 =88 Вт,

åРсп = І1 2 R1+ І2 2 R2 + І32 R3+ І4 2 R4 + І5 2 R5 + І6 2 R6,=88 Вт.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

53

Задача № 8

Розрахувати електричне коло постійного струму(рис. Р2.8) методом вузлових потенціалів, якщо Е1 = 12 В, Е2 = 16 В, Е3 = 10 В, R1= 1 Ом, R2= 4 Ом, R3= 2 Ом, R4= 7 Ом, R5= 7 Ом, R6 = 7 Ом. Визначити напругу між

точками 2 і 4. Результати розрахунків перевірити методом балансу потужностей.

Рішення Візьмемо 3 вузол за базисний і приймемо потенціал цього вузла рівним

нулю, тобто φ3 = 0.

U24

Рис. Р2.8 Для визначення потенціалів інших вузлів складемо систему вузлових

рівнянь:

φ1(q5 + q1 + q4) – φ2q4 – φ4q1 = E1q1,

-φ1q4 + φ2(q2 + q4 + q6) – φ4q2 = E2q2,

-φ1q1 – φ2q2 + φ4(q1 + q3 + q2) = E3q3 - E1q1 - E1q1.

Тут: q1 = 1/R1 = 1См, q2 = 1/R2 = 0,25См, q3 = 1/R3 = 0,5См,

q4 = 1/R4 = 0,14См, q5 = 1/R5 = 0,14См. q6 = 1/R6 = 0,14См.

Після підстановки числових значень одержимо:

1,28φ1 – 0,14φ2 – 1φ4 = 12, -0,14φ1 + 0,53φ2 – 0,25φ4 = 4, -1φ1 – 0,25φ2 + 1,75 φ4 = -11.

Вирішимо цю систему рівнянь методом визначників:

φ1 = 1/Δ

φ2 = 2/

φ4 = 4/ .

Головний та часткові визначники відповідно дорівнюють:

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

54

1,28

- 0,14

-1

12

- 0,14

-1

=

- 0,14

0,53

- 0,25 = 0,476,

1 =

4

0,53

- 0,25

= 5,645,

-1

- 0,25

1,75

-11

- 0,25

1,75

1,28

12

-1

1,28

- 0,14

12

2 =

- 0,14

4

- 0,25

= 6,145,

4 =

- 0,14

0,53

4

= 1,38.

-1

-11

1,75

-1

- 0,25

-11

Потенціали вузлів дорівнюють:

φ1 = 6,145 / 0,476 = 12,91 В

φ2 = 5,84 / 0,476 = 12,27 В

φ4 = 1,38 / 0,476 = 2,9 В

Знаходимо струми в гілках за законом Ома:

I1 = (φ4 - φ1 + E1)\ R1 = 2А, I2 = (φ2 – φ4 - E2)\ R2 = - 1,66А,

I3 = (φ3 - φ4 + E3)\ R3 = 3,55А, I4 = (φ2 – φ1)\ R4 = - 0,1 А,

I5 = (φ3 - φ1)\ R5 = - 1,84 А,

I6 = (φ3 - φ2)\ R6 = - 1,75 А.

Напруга між вузлами 2 і 4:

U24 = φ2 - φ4 = 12,27 - 2,9= 9,37 В

Перевірка за рівнянням балансу потужностей

åРдж = åРсп ,

åРдж = Е1І1 – Е2І2 + Е3І3 =88 Вт,

2 R5 + І6

2 R6,=88 Вт.

åРсп = І1

2 R1+ І2

2 R2 + І32 R3+ І4

2 R4 + І5

Задача № 9

Розв’язати методом вузлових потенціалів електричне коло, схема якого

зображена на рис. Р2.8. Параметри елементів кола: Е2=10 В; Е3 =24В; J1=3 A;

J6=5 A; R1=4 Oм; R3=R4=2 Ом, R5=1 Oм.

Розв’язання

1. В

колі 4 вузли, але

наявність

гілки

з

ідеальним

джерелом

ЕРС

дозволяє скоротити на одиницю число вузлових рівнянь, складених за

2

методом вузлових потенціалів.

Приймаємо

V4=0.

I16

I3

I3

Тоді

V3=E2=10B

і

для

J1

Е2

Е3

визначення

потенціалів

решти вузлів

R1

досить скласти два рівняння.

вузлових

R4

R5

R3

2. Складемо

систему

рівнянь:

1

I4

J6

I5

3

(G1+G4)V1 - G1V3 = - J1+ J6 ,

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

Рис. Р2.5

55

(G3+G5)V2 - G3V3 = - E3G3 - J6.

Підставивши відомі величини, отримаємо:

(1/4+1/2)V1= - 3+5+10/4; (1/2+1)V2 = - 24/2 -5+10/2.

3. Визначаємо потенціали вузлів:

3/4V1	= 9/2; V1 = 6 В;
3/2V2	= - 12;	V 2= - 8 B.

4. Обираємо позитивні напрямки струмів в гілках і визначаємо їх за законом Ома, а для гілки без опору – за першим законом Кірхгофа:

I1 =(V2 - V1)/R1=(10-6)/4= 1 A;		I3=(V2-V3+E3)/R3=(-8 -10+24)/2=3 A;
I4=(V1 - V4)R4=6/2=3 A;	I5 =(V4 - V2)/R5=8/1=8 A.

Для вузла 4:

I4 - I2 - I5=0.

Звідки I2=I4 - I5=3 – 8 = - 5 A

Дійсний напрямок струму I2 протилежний вказаному на схемі. 5. Перевіримо розрахунок за балансом потужностей:

ΣPдж = ΣPсп. ΣPдж=(V3-V1)J1+E2I2+E3I3+(V1-V2)J6=104 Вт.

åPсп = R1 І12 + R3 І32 + R4 I 42 + R5 I52 =104 Вт

Баланс	потужностей	виконується, отже	розрахунок	виконаний
правильно.

Задача № 10

Визначити струм гілки з опоромR6 (рис. Р2.10,а), якщо Е1=150 В,

Е6=40 В, R1=R2=R3=30 Ом, R4=10 Ом, R5=20 Ом, а R6 приймає значення 3; 18

та 28 Ом.

Для розрахунку

R1

E1

R2

R3

R5

Е6

R4

І6

R6

Рис. Р2.10,a

Рішення

струму шостої гілки скористаємося мето еквівалентного генератора, відповідно якому

	I =	U x	.
		RВ + R6
1.	Накреслимо		розрахункову		схему
холостого	ходу (рис.		Р2.10,б) і	визначимо
напругу	холостого ходуUx. Схему			холостого

ходу одержуємо з початкової схеми шляхом виключення резистора R6 , струм в якому треба розрахувати.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

56

Напруга Ux визначається з рівняння, яке складається за другим законом Кірхгофа для контуру, в який входить розірвана гілка, наприклад, контур з елементами R2, R5 та Е6. Для цього обираємо напрямок обходу контуру, позитивний напрямок напруги Ux (в напрямку І6) і складаємо рівняння:

	R2 I 2 x +U x - R5 I5 x = E6 ,
звідки	U x = E6 - R2 I	2 x + R5 I5 x .

В схемі холостого ходу треба визначити струмиІ2х та, І5х , що можна зробити в даному випадку на підставі закону Ома:

R23 = R2 + R3 = 30 + 30 = 60Ом;

R

= R + R =10 + 20 = 30Ом;

R

=

R23 × R45

=

60 ×30

= 20Ом;

45

4

5

2345

R23 + R45

60 + 30

R = R + R

= 30 + 20 = 50Ом;

I

1x

=

E1

=

150

= 3 А;

e

1

2345

Re

50

I1x × R45

3×30

I2 x

=

=

= 1 А;

I5 x = I1x - I2 x = 3 -1 = 2 A.

R23 + R45

60 + 30

Отже

U x = E6 - R2 I2 x + R5 I5 x

= 40 - 30 ×1 + 20 × 2 = 50 B.

2. Для визначення Rв використовуємо розрахункову схему в вигляді пасивного двополюсника, підключеного до клем видаленого резистора. Для

R1	І1X	E1		R1
					R7	R8
R2	І2X	R3	R2	R3		R9
		Е6			R5	R4
				R4
R5		R5
		R4
І5X		UX
Рис. Р2.6,б			Рис. Р2.6,в		Рис. Р2.6,г

цього виключимо зі схеми холостого ходу джерела ЕРС, замкнувши їх клеми накоротко (рис. Р2.10,в). Rв визначаємо відносно клем видаленої гілки.

Для визначення Rв перетворимо „трикутник” R1, R2, R3 (рис. Р2.10,в) в еквівалентну „зірку” (рис. Р2.10,г):

R7

=

R1 × R2

=

30 ×30

=10

Ом;

R8

= R9

= R7 =10Ом;

R1

30 + 30 +

30

+ R2 + R3

R57 = R5 + R7 = 20 +10 = 30Ом;

R48 = R4 + R8 =10 +10 = 20Ом;

R

=

R57 × R48

=

30 × 20

= 12Ом;

R = R + R =10 +12 = 22Ом.

5748

R57 + R48

30 + 20

в

9

5748

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

57

3. Визначаємо струм в резисторі R6 :

	при	R6=3 Ом:	I6	=	U x			=	50		= 2 A,
					Rв	+ R6			22	+ 3
	при	R6=18 Ом:	I6	=		50		= 1,25 A,
					22 +18
	при	R6=18 Ом:	I6	=		50		=1 A.
					22 + 28

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

58

Розділ ІІ. Лінійні електричні кола однофазного синусоїдного струму в усталених режимах

Тема 3. Теорія та розрахунок лінійний електричних кіл однофазного синусоїдного струму

3.1.Основні визначення

		Змінним струмом і (ЕРС – е, напругою –				u) називається струм (ЕРС,
напруга), який змінюється за часом.
		Таким чином		і, е, u =ƒ(t).
		Змінний	струм	може	змінювати не тільки величину, але і		напрямок
(рис. 3.1).					Значення	електричного	струму
	i		i1 = ¦1(t)		довільний момент часу називається миттєвим
					струмом.
			i2 = ¦2(t)		i = ƒ1 (t) – миттєвий струм,
					u = ƒ2 (t) – миттєва напруга,
			i3 = ¦3(t)	t	e = ƒ3 (t) – миттєва ЕРС.
0					Електричний	струм, миттєве	значення

	Рис. 3.1	якого повторюється	через рівні проміжки
		часу, називається періодичним
		i = ƒ(t) = ƒ(t + kT),	Т – період.

Періодом електричного струму називається найменший інтервал часу, по скінченні якого миттєві значення періодичного електричного струму

повторюється (рис. 3.2).
	Величина, обернена			періоду	електричного			струму, називається,
				частотою електричного струму ƒ =					1	[Н, Гц]
i									T
				В	техніці		найбільшого			використання
				набув синусоїдний			періодичний		електричний
				струм.
	T			Періодичний електричний струм, який є
0			t	синусоїдною		функцією		часу, називається
				синусоїдним струмом.
				Промислова			частота			синусоїдного
	Рис. 3.2			струму – 50Гц, в			авіації	використовується
				синусоїдний			струм		змінної		ча
				400…900Гц та стабільної частоти 400Гц.

3.2. Одержання синусоїдної ЕРС

Нехай в однорідному магнітному полі постійного магніту з постійною кутовою швидкістю ω в напрямку проти годинникової стрілки обертається незамкнутий виток АС (рис. 3.3).

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

				59
		ω		АС –	початкове		положення
		a		витка (рамки).
	A1	A		При		обертанні			вит
				магнітний	потік Ф=BS			,	що
		С2
N	A2		S	пронизує	площу			витка, буде
		С1		змінюватись за законом косинуса:
	В	С		- положення		АС:	t=0,		α=0,
				ф=Фm;
		Рис. 3.3		- положення А1С1: t=t1, α=ωt,
				ф=Фm cos α <Фm;

-положення А2С2: t=t2, α=90о, ф=0;

-положення СА: t=t3, α=180о, ф = - Фm;

де α=ωt – кут між напрямком вектора магнітної індукціїВ площиною витка S.

Таким чином

ф = Фm cos α = Фm cos ωt,

тут ф – миттєве значення магнітного потоку,

Фm – максимальне значення магнітного потоку.

За законом електромагнітної індукції у витку буде наводитись ЕРС самоіндукції

е = -	dф	= -	d	(Фm cos α) = Фm sin α	da	= ω Фm sin α = Em sin ωt,
	dt dt				dt

де Em = ω Фm - амплітуда ЕРС в одному витку; якщо в магнітному полі обертається не один виток, а w, то :

Em =w ω Фm.

da = ω – кутова частота (швидкість зміни кута α). dt

Так як за період Т рамка робить повний оберт в 2p радіан, то

	ω=	2p	= 2p ƒ [	рад	].
		T		сек		e =.Em sin ωt.
Отже, у витку наводиться синусоїдна ЕРC
Якщо при t = 0 виток вже був повернутий від вертикалі на кутψе, то
весь кут дорівнює	α= ωt+ψе , а ЕРС буде:

e =.Em sin(ωt+ψе) – це аналітичний вираз миттєвої ЕРC.

На такому принципі працюють генератори синусоїдного струму.

3.3. Синусоїдна напруга і струм. Часова діаграма. Зсув фаз

Якщо до обмотки(котушки) генератора (або до витку на рис. 3.3) приєднати споживач, то потече синусоїдний струм і, який на ньому створить синусоїдну напругу u:

i =.Im sin(ωt+ψi), u = Um sin(ωt+ψu),

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

		60
де:	Im, Um, Em – амплітуди	синусоїдних і, u, e – це					максимальні			їх
значення;
ωt+ψi(е,u) – фаза струму і (e, u) – це аргумент синусоїдної функції;
ψi , ψu , ψе – початкові фази – це значення фази при t = 0.
				Початкові
i,			відраховуються					від		початку
u	ψi >0, ψu<0		синусоїди		при		її		переході		від
			від’ємних до додатних значень до
		u	початку		координат.				Додатна
	i		початкова			фаза			відкладається
			вліво	від	початку			координат,
0	yu	ωt	від`ємна – вправо.
				Побудуємо			часові		діаграми
yi
			u та i (рис. 3.4).
j
				Різниця			початкових				фаз
			напруги		і	струму			називається
	Рис. 3.4		зсувом		фаз		між		напругою
			струмом:		φ = ψu - ψi.
	3.4. Векторні діаграми

Синусоїдну величину можна графічно зобразити не тільки в вигляді синусоїди, але і вектором, що обертається. Це можливо тому, що проекція

вектора, який обертається навколо початку координат,

вісь

ординат

змінюється в часі за законом синуса.

Покажемо це для ЕРС

e =.Em sin(ωt+ψе).

Зобразимо систему координат і відкладемо під кутом ψе

до осі абсцис

вектор

=Em (рис.

3.5).

Домовимося

y

OA

додатні початкові фази відкладати від осі

a

A'

ω

абсцис

проти

годинникової

стрілки, а

від`ємні – за годинниковою стрілкою.

часуt=0,

A

Далі,

починаючи

з

моменту

ωt

будемо обертати вектор OA навколо початку

координат

проти

годинникової

стрілки.

a

ψе

Частота

обертання ω

дорівнює

кутовій

0

x

частоті

синусоїдної

ЕРС.

На

момент

часуt

вектор

повернеться

на

кутωt

і

буде

OA

Рис. 3.5

розташований під кутомα=ωt+ψе

до

осі

абсцис. Його проекція на вісь ординат

Оа = ОА sinα, але OA= Em , α=ωt+ψе, тоді

Оа= e =.Em sin(ωt+ψе).– це миттєве значення синусоїдної ЕРС. Векторна діаграма – це сукупність векторів, які зображають синусоїдні

ЕРС, струми та напруги однакової частоти.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.