8.2.4. Общее решение задачи о свободных колебаниях.

Общее решение строится как сумма главных колебаний с произвольными фазами, умноженных на произвольные постоянные :

,

или .

В общем решении произвольных постоянных, которые можем найти изначальных условий:

Обозначим и перепишем систему в виде

.

Определитель каждой из подсистем не равен нулю, поскольку его столбцы – линейно независимые формы колебаний. Постоянные выражаются через:

.

Пример:

К концу вертикального стержня длиной

и массой на тросе длинойподвешен

груз массой . Устойчивость вертикального

положения равновесия обеспечивается

спиральной пружиной жесткостью .

Потенциальная энергия .

Раскладывая ее в ряд до второй степени включительно, получим

.

Обобщенные силы

Кинетическая энергия, как уже отмечалось, записывается в момент прохождения системой положения равновесия:

, где

.

Уравнения Лагранжа

имеют вид

(1)

Решение системы (1) будем искать в виде

,

(2)

Приравнивая определитель нулю, получим частотное уравнение

Пусть .Тогда

.

Частотное уравнение примет вид

.

Отношение амплитуд найдем из первого, например, уравнения системы (2):

. Для первой собственной частоты и главное колебание

, для второй и.

Общее решение имеет вид

.