Динамика билеты / 38Уравнение Лагранжа II-2го рода

Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применениилагранжева формализма.

Лагранжева механика является переформулировкой классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие —интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Вид уравнений

Если голономная механическая система описывается лагранжианом  ( — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначенодифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где  — кинетическая энергия системы,  — обобщённая сила.

Вывод уравнений

Вернемся к определению обобщенных сил и получим несколько новых формул для их определения.  Придется вспомнить при этом кое-что из курса высшей математики.

Коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении, определяющем сумму работ заданных сил на возможном перемещении системы, ранее в определении были названы обобщенными силами.

Проследим далее за операциями с полученными формулами,   записав  общее уравнение динамики  в обобщенных координатах еще раз.

Такие уравнения можно составить, рассматривая изменение каждой из обобщенных координат. 

Число уравнений Лагранжа определяется числом степеней свободы системы. 

Уравнения, по сути, являются алгоритмом получения дифференциальных уравнений движения точки, тела или системы тел в тех обобщенных  координатах, которые выбраны исследователем. 

Для применения этого алгоритма необходимо: 

1)   уметь определять кинетическую энергию системы тел, как функцию обобщенных скоростей, 

2)   уметь определять виртуальную работу сил на каждом из рассматриваемых возможных перемещений 

3)   уметь выполнять стандартные, и весьма простые, математические операции  с получаемыми выражениями.

Выполним с этим выражением  те операции  дифференцирования, которые закодированы  в левой части  уравнений Лагранжа

Подставляя в уравнения Лагранжа полученные значения производных и обобщенные силы, получаем дифференциальные  уравнения плоского движения тела.

 

То есть, те же  уравнения, которые мы получили ранее с помощью общих теорем динамики

для механических систем.