Динамика билеты / 5Первая задача динамики

       или         

      или                где  – проекции ускорения  на естественные оси координат;  – дуговая координата точки;  – скорость точки;  – радиус кривизны траектории;  – проекции силы  на естественные оси координат.               

Первая задача динамики свободной точки

 Первой или прямой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых координатах или в естественной форме. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.

Для решения задачи надо выполнить следующие операции:

– построить расчетную схему, на которой в соответствии с условием задачи изобразить систему осей координат, нарисовать траекторию точки и отметить на траектории то положение точки, для которого требуется найти действующую силу. Эту силу следует представить составляющими на выбранные оси координат;

– по заданному движению материальной точки определить проекции ее ускорения на принятые оси координат;

– составить дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (1.2) или (1.3) и из полученных уравнений определить проекции искомой силы, а затем ее модуль и направляющие косинусы.

Задача 1.1. Материальная точка массой 10 кг совершает движение в горизонтальной плоскости согласно уравнениям   где  – в метрах;  – в секундах. Определить силу , действующую на точку в момент .

Решение Построим расчетную схему. В соответствии с условием задачи принимаем декартовые оси координат (рис 1.1). Из заданных уравнений движения следует, что траекторией точки является эллипс (на рис 1.1 – половина эллипса). Положение точки в момент  определяется координатами:

Искомую силу представим ее составляющими . Вычислим проекции ускорения точки на оси координат:

.

Для заданного момента  имеем:

.

Из дифференциальных уравнений (1.2) находим:

.

Затем определяем модуль силы  и направляющие косинусы

.