Математичне моделювання електрохімічних систем та використання еом в технології

Вступ

1. Математичне моделювання

1.1. Загальні положення

1.2. Властивості математичних моделей

1.3. Типи математичних моделей

2. математична модель в системі управління

2.1. Головні поняття технічної кібернетики

2.2. Інформація та інформаційні процеси

2.3. Оптимізація

3. Масообмінні процеси в електрохімічних

апаратах

3.1 Електрохімічні апарати ідеального змішування

3.2. Електрохімічні апарати ідеального витиснення

3.3. Масообмінні процеси в системах промивання в гальнотехніці

4. Нестаціонарний масообмін в

приелектродному шарі

5. Електричні поля в електрохімічних

системах

5.1 Двовимірне електричне поле.

5.2. Плоскопаралельне поле в електролізері (ХДС).

5.3. Щілинна електрохімічна ячейка з паралельними електродами. Рівняння Пуассона

5.4. Приклади дії електричних полів в системах технічної електрохімії і способи управління полями.

5.5. Моделювання розсіюючої здатності електролітів

6. Моделювання процесів в пористих системах

6.1.Об’єкти вивчення

6.2. Електричне поле в рідинному ПЕ

6.3.Стаціонарний процес в ріднному пористому електроді. Концентраційні поля.

6.4. Транспортні процеси в пористих сепараторах

7.Витоки струму в високовольтних електрохімічних пристроях

1. Математичне моделювання

1.1. Загальні положення

Терміном «модель» називають новий об'єкт, який частково відображує найбільш важливі для користувача властивості дійсного фізичного об'єкта-прототипа.

Моделі можуть бути фізичними, наприклад, дитячі іграшки, моделі автомобілів, літаків та кораблів, лабораторні моделі електролізерів, тощо. Ступінь точності відображення властивостей об'єкта-прототипа залежить від призначення моделі. Наприклад, для іграшкового кораблика досить, щоб він мав приблизну схожість форми, краще – якщо він ще зможе триматись на поверхні води , а ще краще – якщо ще і буде рухатись та змінювати напрям руху, підкоряючись командам радіоуправляючого пристрою. Інша справа – фізичні моделі кораблів або літаків в технологіях проектування. Їх виготовляють точно в геометричному масштабі і випробовують в спеціальних басейнах або аеродинамічних трубах, вимірюючи аеро- або гідродинамічний опір, здатність утримувати положення в просторі при різних зовнішніх збуреннях, здатність до управління, механічну стійкість тощо. Зрозуміло, що надійність і безпечна експлуатація об'єкта-прототипа буде повністю залежить від точності відображення його характеристик характеристиками моделі. .

Графічними моделями можна назвати креслення, рисунки, ескізи, фотографії. Вони відображують лише геометричні характеристики обєкта-прототипа.

Математична модель являє собою систему різних математичних співвідношень (рівнянь, нерівностей, умов, формул, алгоритмів вирішення), якими визначаються зв'язки між всіма параметрами об'єкта-прототипа.

Математична модель також є однією з форм моделей, і вона відображує кількісні співвідношення між параметрами моделюємої системи.

Параметрами об'єкта-прототипа є фактори, які кількісно характеризують об'єкт і можуть бути виміряні за допомогою різних приладів. В електрохімічних системах можна відокремити конструктивні і технологічні параметри. Принципова різниця між ними з точки зору математичного моделювання полягає в тому, що значення конструктивних параметрів в технологічних розрахунках є константами, а значення технологічних параметрів – змінними, які в задачах шукають або задають. (Виняток складають задачі проектування обладнання, де габарити пристроїв є метою визначення).

технологічні параметри характеризують сам процес - це концентрації речовин в розчинах і газових потоках, масові потоки компонентів процесу, потенціали електродів, напруга електролізу або ХДС, ЕРС, струм і густина струму, швидкості об'ємних потоків розчинів, густини розчинів, температура, тощо.

З конструктивних параметрів в розрахунках мають значення головним чином геометричні розміри і форми робочого простору апаратів, об'єми, площі окремих елементів конструкції, в теплових розрахунках – теплофізичні параметри матеріалів (теплопровідність, теплоємність)

математичну модель в найбільш загальному вигляді можна записати як форму функціонального зв'язку між параметрами об'єкта-прототипа:

(1.1)

Якщо розглядати математичну модель, яка описує деякий процес, то між нею та об'єктом-прототипом існує повна функціональна аналогія (тобто схожість у виконуваних функціях). На об'єктові-прототипі можна виконати фізичний дослід (виконати процес). При цьому встановлюючи (регулюючи) значення групи деяких параметрів х₁…х_N , можна виміряти невідомі значення параметрів Y₁, Y₂,Y₃…Y_N. Цієї ж мети можна досягнути на математичній моделі, довільно задаючи спочатку аналогічний блок параметрів х₁…х_{М ,} і підраховуючи потім за допомогою відповідних співвідношень моделі невідомі числові значення параметрів Y₁, Y₂,Y₃…Y_N.

Найпростішою формою математичної моделі фізичного явища є будь-яка формула Y=F(x), де є одне задане значення «х» і одна невідома величина «Y» . В складних технічних і технологічних об'єктах параметрів багато, як вхідних так і вихідних. Тому і в математичних моделях таких об'єктів не одно рівняння, а система співвідношень.

Вхідні і вихідні параметри. Як видно з наведеного прикладу, з точки зору математичного моделювання всі параметри об'єкта-прототипа (і математичної моделі) розподіляються на дві принципово різні групи: вхідні і вихідні.

Вхідними для об'єкта-прототипа є ті параметри х₁…х_М , які можна вільно (безпосередньо) регулювати, тобто встановлювати їх кількісні рівні. В математичній моделі вільному регулюванні відповідає вільний вибір числових значень, які задають при вирішенні задачі. Кількість вільно регульованих параметрів має важливе значення, її в теорії управління технологічними процесами називають кількістю ступенів свободи процесу.

Вихідними параметрами є ті, які неможливо визначити інакше, ніж виконавши експеримент і вимірявши відповідні числові значення. На математичній моделі це параметри, які визначаються тільки після вирішення задачі.

Рис.1.1. Загальна структура математичної моделі

Слід зауважити, що поділ параметрів на вхідні (регульовані безпосередньо) та вихідні не є однозначним. Наприклад, для звичайного лабораторного реостата, математична модель якого має форму закону Ома U=IR, можна уявити чотири форми досліду (процесу), де регулювання здійснюється різними способами, і відповідно чотири варіанти поділу параметрів на вхідні (під знаком функції F) та вихідні (ліва частина формули). 1- в гальваностатичній схемі регулюється струм, а вимірюється падіння напруги U=R*F(I) ; 2- в потенціостатичній схемі регулюється напруга і вимірюється струм I = (1/R)*F(U) ; 3,4- в гальваностатичній або потенціостатичній схемі повзунком реостата можна регулювати значення опору, який тут і буде вхідним параметром, і математичну модель можна записувати відповідно U= I *F(R) або I = U *F(1/R).

Таким чином, розподіл параметрів на вхідні і вихідні визначається не лише структурою об'єкта-прототипа, але головним чином умовами його функціонування або, що те ж саме, особливостями формулювання задачі про роботу об'єкта-прототипа.

В складних математичних моделях реальних технічних систем розрізняють дві окремі частини - математичне описання об'єкта-прототипа та алгоритм вирішення.

Алгоритм – це чітко визначені і сформульовані характер і послідовність розрахункових операцій при вирішенні математичної моделі. В простих математичних виразах (формулах) та рівняннях поняття алгоритму звичайно не використовують, бо найчастіше алгоритм єдиний, загальновідомий і дає єдиний точно визначений результат. Але в складних математичних моделях технічних систем, які вирішуються числовими алгоритмами прикладної (дискретної) математики на ЕОМ, ситуація має інший вигляд. Існують багато числових методів вирішення систем алгебраїчних та диференційних рівнянь, які мають різну точність, складність, сфери використання тощо. Результат математичного моделювання і його точність та прогностична цінність може суттєво залежати від того, які алгоритми використані для вирішення. Тому для складних математичних моделей типи використаних алгоритмів є одночасно і важливою характеристикою якості і надійності математичної моделі в цілому.

Математичне моделювання - процедура формулювання (складання) математичної моделі та її «випробування».

Математичне моделювання використовують двома способами.

Перший спосіб – моделювання технічних систем для прогнозування їх невідомих характеристик Y₁, Y₂,Y₃…Y_N в деяких нових умовах х₁…х_М. Метою математичного моделювання є прогнозування поведінки об'єкта-прототипа в заданих умовах без виконання фізичного досліду. В цьому випадку метою моделювання є саме визначення невідомих числових значень параметрів системи. Цей спосіб застосовують тоді, коли виконання необхідного досліду неможливе чи недоцільне – або занадто складне чи небезпечне, або вимагає великих затрат, або потребує дотримання незвичайних чи складних умов.

Другий спосіб - використання математичних моделей як інструмента наукових досліджень. У цьому випадку сам фізичний дослід виконується просто, і залежність між параметрами системи так же просто встановлюється в дослідах. Але причини і механізми таких залежностей заховані у внутрішніх невідомих явищах об'єкта. Дослідник має можливість включати в математичну модель різні теоретичні гіпотези про можливі механізми внутрішніх явищ і їх математичну форму, і порівнюючи результати моделювання з даними фізичних експериментів, робити висновки про внутрішні процеси і явища в системі, яка досліджується. Або ж визначати невідомі «вхідні» характеристики з групи х₁…х_N , які входять до моделі як теоретичні параметри, але які безпосередньо виміряти неможливо фізичними методами.

Фактично за другою схемою виконуються більшість дослідницьких робіт. Наприклад, густину струму обміну виміряти безпосередньо практично неможливо (за окремими винятками). Але її можна легко визначити для будь-якого електрохімічного процесу, використовуючи математичну модель теорії сповільненого розряду, якщо експериментальну стаціонарну поляризаційну криву перерахувати в напівлогарифмічних координатах і вирішити це рівняння при =0.