Определение: Случайные величины независимы, если

Закон распределения одной из них не меняется в зависимости от того, какие значения принимает другая.

Замечание: В реальной ситуации экономические показатели, которые практически всегда являются случайными величинами, часто оказываются зависимыми. Более того, именно построение формул зависимостей между показателями является основной задачей обработки статистических данных.

2. Мода m0[X], m0

Определение:

для дискретной случайной величины :

мода – это то из возможных значений, которое имеет самую большую вероятность;

для непрерывной случайной величины :

мода – это точка максимума на графике плотности.

Пример : Задан ряд распределения

x i	2	5	11
p i	0,2	0,5	0,3

Самая большая вероятность равна 0,5. Наиболее вероятное значение, которое чаще всего появляется – это 5. Это и есть мода: m₀ = 5.

Если на графике плотности только один максимум, то это распределение одномодальное. Если максимума нет, то распределение называется безмодальным. Если максимумов несколько – это многомодальное (полимодальное) распределение.

3. Медиана Mе[X], mе

Применяется только для непрерывных случайных величин.

Определение: Медиана – это точка на оси Ох, для которой

Вероятность попадания случайной величины Х в область слева от медианы равна вероятности попадания в область справа от нее.

В элементарной геометрии медиана делит сторону треугольника пополам. Здесь медиана делит пополам всю вероятность, равную единице.

Н а графике плотности вероятность – это площадь. Значит, медиана лежит в точке, в которой делится пополам площадь под графиком плотности.

Пример : Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

Н айти характеристики положения ( математическое ожидание, моду, медиану)

Характеристики рассеяния.

ХI	-0,1	0	0,1
PI	0,4	0,2	0,4

ХI	-100	0	100
PI	0,4	0,2	0,4

При одних и тех же средних разброс возможных значений вокруг среднего может отличаться.

Центрированной с.в. называется разность:

(14)

Фактически это означает, что начало координат переносится в точку математического ожидания.

Дисперсией с.в. Х называется математическое ожидание квадрата центрированной с.в.

(15)

Это среднее значение квадратов отклонений возможных значений от m_X.

Теорема. Математическое ожидание центрированной с.в. равно нулю

M[]=0 (16)

, т.д.

Вспомогательная формула для подсчета дисперсии:

(17)

Доказательство.

, т.д.

Расчетные формулы:

Д_Х (дискретная с.в.) (18)

(непрерывная с.в.)

по вспомогательной формуле

М[X²] = (19)

Математическое ожидание любого варьирования, зависящего от Х, подсчитывается по общему правилу:

(20)

Например:

ХI	2	3	7
PI	0,2	0,7	0,1

по вспомогательной формуле:

M[X²]=2²*0.2+3²*0.7+7²*0.1=0.8+6.3+4.9=12

Д_Х = 12-(3,2)²=1,76

По определению:

Д_Х = (2-3,2)²*0,2+(3-3,2)²*0,7+(7-3,2)²*0,1=1,76

Свойства дисперсии:

0. Д[C]=0

1. Д[CX]=C²Д[X]

2. Д[X+Y]= Д[X]+ Д[Y] (только для независимых с.в.)

3. Д[X-Y]= Д[X] + Д[Y]