РПР_1_2002_рус

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Мущанов В.Ф., Жук Н.Р., Гижко В.Т.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-проектировочной работы № 1 “Расчет плоской статически определимой рамы и многопролетной балки”

Утверждено на заседании кафедры теоретической и прикладной механики Протокол №10 от 18.09.2009 Заведующий кафедры проф. Мущанов В.Ф.

Макеевка, 2009

Методические указания к выполнению расчетно-проектировочной работы № 1 по строительной механике ”Расчет плоской статически определимой рамы и многопролетной балки” / В.Ф.Мущанов, Н.Р. Жук, В.Т. Гижко. - Макеевка, ДонНАСА, 2009. - 13 с.

Методические указания предназначены для студентов строительных специальностей, содержат методику расчета плоских статически определимых рам и многопролетных статически определимых балок. Приводятся конкретные примеры расчета.

Настоящие методические указания могут быть рекомендованы и для студентов других технических специальностей.

Рецензент к.т.н., доц. Демидов А.И.

2

ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТУ И ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К РАБОТЕ

К выполнению расчетно-проектировочной работы приступают после проработки теоретического материала [1] и решения задач из [2].

Расчетно-проектировочную работу выполняют на листах писчей бумаги формата А4 (297х210 мм).

Расчет сопровождают краткими и последовательными, без сокращения слов, объяснениями и четкими чертежами, выполненными в соответствующих масштабах. На расчетных схемах все входящие в расчет величины должны быть показаны в числах.

Для рамы с выбранными по шифру размерами и нагрузкой требуется :

1)произвести кинематический анализ;

2)определить опорные реакции;

3)построить эпюру изгибающих моментов;

4)построить эпюру поперечных сил;

5)построить эпюру продольных сил.

Для балки с выбранными по шифру размерами и нагрузкой требуется:

1)произвести кинематический анализ, построить поэтажную схему;

2)определить опорные реакции;

3)построить эпюру изгибающих моментов;

4)построить эпюру поперечных сил;

5)построить линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в заданном сечении балки и одной опорной реакции по выбору студента;

6)вычислить изгибающий момент, поперечную силу и опорную реакцию по линиям влияния;

7)выполнить сравнение величин, вычисленных аналитически и по линиям влияния.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Кинематический анализ рамной системы или многопролетной балки производится по формуле :

где : D	W = 3D – 2ШО – СОП ,
	– число жестких дисков в системе;
ШО	– число простых шарниров;
СОП	– число опорных связей;
W	- степень свободы рассматриваемой системы.

Условие W = 0, является условием статической определимости системы. Но, кроме того, необходимо выполнить еще и структурный анализ. Каждый диск системы, как и вся система в целом, должны быть геометрически неизменяемыми.

3

2.Опорные реакции определяют из уравнений статики, которых для

плоской системы можно составить три : X = 0, Y = 0, MK = 0. Если опорных реакций больше трех, то для их определения следует использовать условие равенства нулю изгибающих моментов в промежуточных шарнирах.

3.Изгибающий момент М в произвольном сечении балки или рамы численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

Эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон стержней по значениям моментов, вычисленных в характерных сечениях. Если участок стержня не загружен пролетной нагрузкой, то на этом участке эпюра М будет прямолинейной. Следовательно, в этом случае достаточно знать изгибающие моменты на концах данного участка. Если стержень загружен в пролете равномерно распределенной нагрузкой, то характерных сечений для вычисления моментов будет не менее трех: два на концах стержня и одно по середине пролета.

Следует иметь в виду, что выделенные сечениями жесткие узлы рамы должны находиться в равновесии.

4.Поперечная сила Q в сечении стержня равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось перпендикулярную оси стержня. При этом, в выражение для Q каждая сила дает положительное слагаемое, если она стремится повернуть стержень относительно сечения по ходу часовой стрелки.

Значения поперечных сил в сечениях рамы рекомендуется определять путем рассмотрения равновесия стержня под действием изгибающих моментов, неизвестных поперечных сил в концевых сечениях и пролетной нагрузки, составляя моментные уравнения равновесия относительно концевых сечений данного стержня.

По полученным значениям поперечных сил строится эпюра Q с простановкой на эпюре знаков.

Правильность построения эпюры Q проверяется дифференциальной

зависимостью dMdx = Q .

5. Продольная сила в произвольном сечении стержня рамы равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось, совпадающую с осью стержня. Продольная сила, вызывающая растяжение стержня, считается положительной.

Рекомендуется продольные силы в стержнях рамы определять с помощью эпюры поперечных сил, рассматривая равновесие узлов рамы, находящихся под действием поперечных, продольных сил и узловых сосредоточенных сил (если таковые имеются). Рассматривать можно узел в котором сходится не более двух стержней с неизвестными продольными усилиями. Ординаты эпюры N откладывают симметрично относительно осей стержней. На эпюре N обязательно ставят знаки.

4

ПРИМЕР РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ

1. Кинематический анализ

Расчетная схема рамы показана на рис. 2,а.

W = 3D – 2ШО – СОП = 3 1 – 2 0 – 3 = 0.

Необходимое условие геометрической неизменяемости рамы выполняется.

Структурный анализ показывает, что заданная однодисковая система прикреплена к основанию тремя опорными связями, оси которых не пересекаются в одной точке. Следовательно, система геометрически неизменяемая.

2.Определение опорных реакций

1)Y = VA + P2 – q 6 = 0 , VA = –P2 + q 6 = –8 + 2 6 = 4 кН .

2)МС = VA 9 + М – q 6 3 – HB 6 = 0,

HB = 1/6 (VA 9 + М – q 6 3) = 1/6 (4 9 + 6 – 2 6 3) = 1 кН .

3)МВ = VA 3 + M – P1 6 – P2 6 + q 6 3 + HC 6 = 0,

HC = 1/6 (–VA 3 – M + P1 6 + P2 6 – q 6 3) = 1/6 (–4 3 – 6 + 8 6 + 8 6 – 2 6 3) = 7

кН.

Проверка правильности определения опорных реакций:

X = P1 – HB – HC = 8 – 1 - 7 = 0.

3.Построение эпюр изгибающих моментов М, поперечных сил Q

ипродольных сил N

При определении изгибающих моментов M(x), поперечных Q(x) и продольных сил N(x) удобно пользоваться правилом знаков в местной системе осей координат, см. рис.1.

Рис.1. Местные системы осей координат для участков рамы : а – горизонтальных; б – вертикальных

5

При этом, если каждый участок рамы рассматривать так, чтобы начало координат (рис.1, а, б) было слева, то в любом сечении на расстоянии х от

начала отсчета :	М(х) = Млев = – Мправ
- изгибающий момент		;
- поперечная сила	Q(х) = Yлев = – Yправ	;
- продольная сила	N(х) = - Xлев = Xправ .

Все эпюры M, Q, N строят отдельно на осях элементов рамы, как показано на рис.2, б, в, г.

Ординаты эпюры М строят со стороны растянутых волокон стержней без указания знаков ординат.

Ординаты эпюр Q и N можно откладывать с любой стороны стержней рамы, но на этих эпюрах обязательно должны быть проставлены знаки усилий. Сжимающей продольной силе N присвоен отрицательный знак.

Границами участков являются жесткие узлы рамы, точки приложения сосредоточенных сил, начало и конец приложения распределенной нагрузки.

Итак, рассмотрим раму по участкам, рис. 2, а, б, в, г.

Участок А 1				(0 х 0) – слева :
М(х) = М = 6 кНм =const. Q(х) = 0 = const. N(х) = –VA = –4 кН = const.
Участок 1 2			(0 х 2) – слева :
М(х) = 6 – P1x .	М(0) = 6 кН ;					М(2) = –10 кН .
Q(х) = – P1 = –8 кН = const. N(х) = –VA = –4 кН = const.
Участок 2 3			(0 х 3) – слева :
M(x) = – 10 + VA x. M(0) = – 10 кНм; M(3) = 2 кНм.
Q(x) = VA = 4 кН = const.					N(x) = – P1 = – 8 кН = const.
Участок B 2				(0 х 4) – справа :
M(ч) = НВх = 1х. М(0) = 0 кНм; М(4) = 4 кНм.
Q(x) = – HB = –1 кН= const.
Участок 3 4			(0 х 6) – слева :
M(x) 2 4 VAx	qx2			2 4x x2;		M(0) = – 2 кНм; M = M(x) = M(2) = 2 кНм;
M(6) = – 14 кНм.	2
					Q(0) = 4 кН; Q(6) = – 8 кН.
Q(x) = VA – qx = 4 – 2x.
Q(x) = 4 – 2x = 0,		x = 2 м.
N(x) = – P1 + HB = – 8 + 1 = – 7 кН = const.
Участок C 4				(0 х 2) – слева :
M(x) = Hcx = 7x.	M(0) = 0 кНм; M(2) = 14 кНм.

Q(x) = Hc = 7 кН = const. N(x) = – P2 = –8 кН= const.

6

Рис. 2

4.Проверка правильности построения эпюр М, Q, N.

Вправильно построенной эпюре М все жесткие узлы рамы должны быть уравновешены в моментном отношении. Направления изгибающих моментов на узел легко определить по растянутым волокнам, расположенным со стороны ординат эпюры М (положения растянутых волокон элементов рамы возле узлов указаны пунктиром, рис.3).

7

Узел 2

Узел 3

Узел 4

М2 = 0;

М3 = 0;

М4 = 0.

Рис.3

По поперечным Q и продольным N силам любая часть рамы под их воздействием и внешней нагрузкой, относящейся к этой части рамы, должна находиться в равновесии, см. рис. 4.

Рис.4

Из рис.4 следует:

x = Q12 – Q3B – QC4 = 8 – 1 – 7 = 8 – 8 = 0.

y =N12 + N3B – q 6 + NC4 = 4 + 0 – 2 6 +8 = 12 – 12 = 0.

Следовательно, эпюры M, Q, N построены верно.

8

ПРИМЕР РАСЧЕТА МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОКОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ

1. Кинематический анализ балки

W = 3D – 2 ШО –СОП = 3 4 – 2 3 – 6 = 0.

Заданную балку заменяем этажной схемой. Каждый элемент этажной схемы является статически определимым и геометрически неизменяемым.

2. Определение опорных реакций и построение эпюр внутренних усилий

Расчет многопролетной балки удобно вести по составляющим балкам этажной схемы, начиная от верхних и последовательно переходя к нижележащим.

а. Балка 4 – 6: V4 = V6 = 5 кН; M4 = M6 = 0; M54 = V4 2 = 10 кНм.

б. Балка 6 – 11: V11 M7 = 0; V7 6 + V6 9 – q 6 3 = 0; V11 = 6,5 кН V7 M11 = 0; V7 6 – V6 9– q 6 3 = 0; V7 = 16,5 кН.

Проверка: y = 0; V7 + V8 – V6 – q 6 = 0; 23 – 23 = 0; M6-7 = 0; M7-6 = – V6 3 = – 5 3 = –15 кНм; М11-7 = 0; М7-11 = V11 6 – q 6 3 = –15 кНм;

Q6-7 = – V6 = – 5 кН; Q7-6 = – 5 кН; Q11-7 = – V11 = – 6,5 кН; Q7-11 = – V11 + q 6 = 11,5.

Положение нулевой ординаты Q. Q(x0) = – V11 + qx0 = 0, x0 = 2,217м.

Экстремальное значение М

				2,17		2
M	x0	2,27	V	2,17 q			7,04кНм.
			11	2

в. Аналогично рассчитываем балки 1 – 4 и 11 – 15.

г. Окончательные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил строятся путем объединения соответствующих эпюр, построенных для каждой составляющей балки, см. рис.5.

9

Рис. 5

10