- •Пределы функций. Дифференциальное исчисление
- •Донецк 2006
- •Ббк 22.161я73
- •Содержание
- •Введение
- •I. Теория пределов Основные понятия
- •Предел функции
- •1.2.1. Основные понятия
- •1.2.2. Основные свойства о пределах функции
- •1.2.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.3. Непрерывность функции
- •2.1. Производная функции
- •2.2. Таблица производных
- •2.3. Основные правила дифференцирования
- •2.4. Дифференциал функции
- •2.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2.6. Исследование функций и построение графиков
- •2.6.1. Промежутки монотонности функции
- •2.6.2. Экстремум функции
- •2.6.3. Наименьшее и наибольшее значение функции
- •2.6.4. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •2.6.5. Асимптоты графика функции
- •2.6.6. Исследование функции и построение графика
- •3. Дифференциальное исчисление Функции нескольких переменных
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Частные производные
- •3.3. Полный дифференциал
- •3.4. Экстремум функции нескольких переменных
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Литература
Вариант 2
Найти промежутки монотонности функции .
-
Ответы:
а)
–возрастает; – убывает;
б)
–убывает; – возрастает;
в)
–возрастает; – убывает;
г)
–возрастает; – убывает.
Найти экстремум функции .
-
Ответы:
а) экстремума нет;
б) ;
в) ;
г) ; .
Резервуар, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда (открытого) с квадратным основанием, нужно выложить внутри плиткой. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы при данном объеме в 108 л, расход плитки был наименьшим?
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Найти промежуток выпуклости и вогнутости, и точки перегиба графика функции .
-
Ответы:
а) – выпукла;
б) – вогнута; – точка перегиба;
в) – вогнута;
г) – выпукла.
Найти асимптоты кривой .
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) асимптот нет.
Исследовать функцию и построить график .
Вариант 3
Найти промежутки монотонности функции .
-
Ответы:
а)
–возрастает;
б)
–возрастает; – убывает;
в)
–убывает; – возрастает;
г)
г) – убывает.
Найти экстремум функции .
-
Ответы:
а)
экстремума нет;
б)
;
в)
; ;
г)
.
Бак, имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 32 л воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей?
-
Ответы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Найти промежутки выпуклости и вогнутости, и точки перегиба графика функции .
-
Ответы:
а)
–выпукла; – вогнута;
и – точки перегиба;
б)
–вогнута; – выпукла;
–точки перегиба;
в)
–выпукла;
г)
–вогнута.
Найти асимптоты кривой .
-
Ответы:
а)
; ;
б)
;
в)
;
г)
.
Исследовать функцию и построить график .
Вариант 4
Найти промежутки монотонности функции .
-
Ответы:
а)
–возрастает; – убывает;
б)
–убывает; – возрастает;
в)
–возрастает;
г)
–убывает.
Найти экстремум функции .
-
Ответы:
а)
;
б)
экстремума нет;
в)
;
г)
; .
Проволокой длинной 20 м требуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Какой следует взять радиус круга, что площадь клумбы была наибольшей?
-
Ответы:
а) 5 м;
б) 4 м;
в) 6 м;
г) 3 м.
Найти промежутки выпуклости и вогнутости, и точки перегиба графика функции .
-
Ответы:
а)
–выпукла, – вогнута; точек перегиба нет;
б)
–вогнута; – выпукла;
–точка перегиба;
в)
–вогнута;
г)
–выпукла.
Найти асимптоты кривой .
-
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Исследовать функцию и построить график .