1.3. Непрерывность функции

Функция , определенная в некоторой окрестности точкиназываетсянепрерывной в точке , если предел функции приравен значению функции в точке:

.

Если функция определена в окрестности точкии не является непрерывной в этой точке, то ее называютразрывной в точке , а точкуназываютточкой разрыва функции .

Точка разрыва функцииназываетсяточкой разрыва первого рода, если функция имеет конечные пределы справа и слева в этой точке.

Если, по крайней мере, хотя бы один из пределов справа или слева не существует, то точка называетсяточкой разрыва второго рода.

Пример 1.7. Найти точки разрыва функции .

Решение. Функция определена всюду, кроме. Следовательно, эта точка является точкой разрыва. Чтобы исследовать ее характер, найдем левый и правый пределы этой функции.

.

Следовательно, – точка разрыва 2-ого рода.

Пример 1.8. Дана функция

Найти ее точки разрыва.

Решение. Вычислим односторонние пределы функции в точке 0.

.

Поскольку односторонние пределы исследуемой функции в точке конечны, то– точка разрыва 1-ого рода. Вычислим односторонние пределы в точке.

.

Таким образом, , т.е. в точкеисследуемая функция непрерывна.

2. Дифференциальное исчисление

функций одной переменной

2.1. Производная функции

Рассмотрим функцию . Пусть– некоторое значение аргумента,– соответствующее значение функции. От значенияпереходим к другому значению аргумента. Разность(обозначим через) называетсяприращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента , равно. Разностьназываетсяприращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента, и обозначаетсяили:

(2.1.1)

Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация приращения функции

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента (т.е.) при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции в точкеобозначается символамиили. Т.о., по определению

(2.1.2)