3.3. Системы линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены уравнений равны нулю. Такая система имеет вид

Однородная система всегда совместна. Это следует из теоремы Кронекера-Капелли. Кроме того, значения неизвестных образуют решение системы, оно называетсянулевым или тривиальным.

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Ответ на этот вопрос следует из второй теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема.

Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Следствие 1. Если в однородной системе число неизвестных больше числа уравнений, то система, помимо нулевого решения, обладает еще и ненулевыми.

Следствие 2.Для того чтобы однородная системалинейных уравнений снеизвестными обладала и ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю.

Пример 16.Решить однородную систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными

Найдем ранг матрицы системы

Если сложить первые три строки и эту сумму вычесть из четвертой строки, получим

Как, видим определитель матрицы будет равен нулю, и ранг будет меньше.

Так как есть определитель третьего порядка, отличный от нуля,

то ранг матрицы равен трем. Следовательно, система имеет и ненулевые решения.

Заданная система эквивалентна такой:

Мы взяли первые три линейно независимых уравнения с определителем, не равным 0. Так как определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных , отличен от нуля, то, перенесяв правую часть, решим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решим систему по правилу Крамера:

,

Следовательно,

.

Для контроля можно подставить это решение во все четыре заданные уравнения системы и убедиться, что система решена правильно. Для нахождения любого конкретного решения необходимо задать значение и подсчитать соответствующие значения других переменных.

4. Элементы векторной алгебры и метода координат

4.1. Векторные величины и действия над ними

Величины, для характеристики которых достаточно задать их численное значение (например, температура, объем, масса тела, плотность и т.д.), называются скалярными величинами или скалярами.

Величины, которые кроме своей абсолютной величины характеризуются еще и направлением (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называют векторными. Выбрав единицу длины, векторные величины можно изображать геометрическими векторами.

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на котором отмечено направление (рис.1). Над буквенным обозначением вектора, имеющего началом точку , а концом точку, ставится стрелка:. Вектор обозначают также и одной буквой, но напечатанной жирным шрифтом: или .

а

Рис. 1

Рис. 2

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем. Модуль вектора обозначается так: или.

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Радиус-вектором точки называется вектор, направленный из начала координат в точку(это вектор).

Два вектора (рис. 2) называютсяравными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов записывается так: . Если векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления, то они называютсявзаимнопротивоположными.

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любую точку пространства. Векторы, начало которых при параллельном переносе можно помещать в любую точку пространства, называют свободными.

Над векторами можно выполнить различные линейные действия:

а) Произведением вектора а на число называется вектор , имеющий (при) направление вектора, если, и противоположное направление, если. Длина вектораравна произведению длины вектора а на модуль числа . Следовательно, векторколлинеарен вектору. Результат умножения векторана числозаписывается равенством.

Отметим, что вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом. Для любого вектора имеет место равенство, где– единичный вектор, указывающий направление.

б) Суммой векторов называется новый вектор , который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого из последующих векторов суммы совмещается с концом предыдущего. Замыкающий векторнаправлен из начала первого вектора суммы к концу последнего (рис. 3).

Рис. 3

Для суммы векторов принята запись .

Правило параллелограмма для сложения двух векторов: сумма двух векторов и, приведенных к общему началуО (рис. 4), есть вектор-диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах.

Рис. 4

Рис. 5

Правило параллелепипеда для сложения трех векторов: сумма трех некомпланарных векторов ,,, приведенных к общему началу О (рис. 5), есть вектор-диагональпараллелепипеда, построенного на данных векторах:

в) Разностью двух векторов иназывается такой вектор, который при сложении с векторомдает вектор, т.е., если. Вектор разности будет являться второй диагональю параллелограмма, направленной из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Чтобы построить разность , приведем векторыик общему началуО (рис. 6), тогда разность представляет собой вектор, соединяющий их концы и направленный от “вычитаемого” к “уменьшаемому”.

Заметим, что линейные операции над векторами установлены в соответствии с физическими законами, приводящими к сложению векторных величин или умножению их на число.

Рис. 6

Рис. 7

г) Проекцией вектора на осьназывается длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис. 7).

Проекция вектора на осьравна произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлением оси и вектором.

Обозначают проекции так:

.

Выразим проекции вектора на оси координат

направляющие косинусы вектора

где – это углы вектора с осями координат.

д) Скалярным произведением двух векторов называетсячисло, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами

Из формул для проекций получаем другое выражение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора.

Скалярное произведение векторов обладает такими свойствами:

1. –скалярное произведение коммутативно.

2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату модуля:.

3. –скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения.

4. –скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или хотя бы один из них равен нулю.

5. –скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

е) Разложение вектора по базису – это представление одного вектора через другие, называемые базисными.

Под базисом на плоскости подразумевается два неколлинеарных вектора плоскости, взятых в определенном порядке. Под базисом в пространстве понимается три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Если на плоскости выбраны два базисных вектора и, то любой вектор плоскости может быть представлен в виде:

.

Аналогично в пространстве: если базисными будут векторы , то любой вектор пространства выражается так:. Если на плоскости или в пространстве выбрана прямоугольная декартовая система координат, в которой базисные векторы попарно перпендикулярны, то любой вектор можно записать так:или, где– единичные векторы соответствующих осей координат.

Пример 17. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . Выразить через них векторы если длина.

Решение: Рассмотрим рис. 8 и найдем векторы:
	Рис. 8

Пример 18. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ; M и N – середины сторонВС и АС. Выразить векторы ичерези- единичные векторы(рис. 9).

Рис. 9

Решение.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Пример 19. Три вектора расположены в одной плоскости.Известно, что векторыисоставляют с векторомуглы в 60⁰. Определить угол между векторами ии длину вектора.

Решение.Векторы имогут находиться по одну сторону от, (тогда угол между ними равен) и по разные стороны (тогда между ними угол в):

Рис.10

Рис. 11

Соответственно длина вектора для каждого случая будет своя:

а)

, .

б)

, .

4.2. Векторы в координатной форме

Координатами вектора называются проекции его на координатные оси. Если обозначить проекции вектора черезто вектор через его координаты записывают так

или .

Всякий вектор можно представить в виде его разложения по координатным осям:, где- единичные векторы осей,- координаты вектора.

Если для вектора известны координаты его началаи координаты его конца, то координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора, т.е.,,.

Над векторами, представленными в координатной форме, можно выполнять различные линейные действия.

а) Если вектор , имеющий координатыумножить на число, то на это число следует умножить каждую координату вектора

.

б) Координаты алгебраической суммы векторов равны алгебраической сумме соответствующих координат составляющих векторов. Если векторы изаданы своими координатами, то их сумму и разность определяют так:.

в) Модуль вектора, заданного своими координатами, равен корню квадратному из суммы квадратов его проекций. Пусть задан вектор , т.е.. Используем свойство скалярного произведения:. Подставим значение векторов и перемножим. В результате получим.

Если вектор задан координатами начала и конца, то

.

Эта формула выражает длину вектора или расстояние между двумя точками.

г) Рассмотрим деление отрезка в данном отношении (рис. 12). Пусть даны точки и. Точкаделит отрезокв отношении, т.е..

z

Найдем координаты векторов и:

M1

M M2

х

y

Рис. 12

Запишем равенство через координаты:

– формулы для определения координат точки

Если , получаем частный случай формул:

.

д) Рассмотрим скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть и, т.е.,

.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

е) Найдем углы вектора с координатными осями (направляющие косинусы).

, ,

,

– свойство направляющих косинусов

ж) Определим углы между векторами. Исходя из скалярного произведения и его выражения в координатной форме, получим соответствующую формулу.

,

,

.

Векторы будут перпендикулярны, если , т.е. сумма произведений их одноименных координат равна нулю.

Чтобы вектор был параллелен вектору, необходимо и достаточно выполнения равенства:или, или. Для параллельности векторов необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Если знаменатель равен 0, то это соотношение не рассматривается.

Пример 20. Даны векторы ,. Найти,,.

Решение.

,

.

Ответ: ;;;.

Пример 21. Заданы две точки: ,. Найти проекции векторана оси и его направляющие косинусы?

Решение.

,

.

Пример 22. Заданы два вектора ,. Найти скалярное произведение и угол между векторами.

Решение.

,

, ,

.

Пример 23. Даны 4 точки: ,,,. Найти угол между векторамии.

Решение. Найдем векторы и.

,

, ,

.

Пример 24. Даны векторы: . Показать, что векторымогут быть базисом и выразить векторв этом базисе.

Решение.

а) Чтобы векторы могли служить базисом, они должны быть линейно-независимыми, т.е. ранг матрицы, составленной из координат вектора, должен равняться 3. Найдем определитель матрицы.

.

Поскольку , то ранг равен 3, и векторы могут служить базисом.

б) Выразим вектор в базисе:. В координатной форме получим систему и решим ее:

;

.

Получим выражение вектора в базисе:.

4.3. Прямая линия на плоскости

а) Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 13).

Тангенс угла наклона прямой к оси называетсяугловым коэффициентом этой прямой.

0

Рис. 13

Пусть дана прямая, пересекающая ось под углом - текущая (произвольная) точка прямой, ее координаты

.

Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом. Его особенности: - это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси , - отрезок, отсекаемый прямой на оси .

Следствие 1. Угол наклона прямой к оси (рис. 14).

0

Рис. 14.

Предположим, что даны две точки: , . Из

Следствие 2. Угол между двумя прямыми (рис. 15).

II

I

0

Рис. 15.

Рассмотрим две прямые, их угловые коэффициенты и соответственно. Угол – угол, на который нужно повернуть первую прямую против часовой стрелки, чтобы она совпала со второй прямой.

,

,

,

Из полученного равенства выразим:

• условие параллельности прямых:

Угловые коэффициенты совпадают

• условие перпендикулярности прямых:

, ,

.

Угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

б) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (пучок прямых) (рис. 16).

0

Рис. 16.

Пусть задана точка и угол наклона прямой к оси , тогда . Возьмем произвольную точку .

Из или

– уравнение пучка прямых

в) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (рис. 17).

Представим, что известны две точки: , .

0

Рис. 17

Используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку

Примем во внимание, что - угловой коэффициент прямой , он равен

,

подставим это значение в уравнение пучка прямых, получим:

или - искомое уравнение

г) Общее уравнение прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение І степени определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой