5 Сорокова

129

риации) с последующей их модификацией и использованием их отдельных звеньев в дальнейших упражнениях с дидактическими материалами и в реальной жизни.

Так, например, существует множество способов завязывания бантов, в результате применения которых бант может по-разному располагаться, а узел его может выглядеть различным образом. Монтессори-педагог, зная разные способы, поначалу показывает каждому ребенку один и тот же, с тем чтобы детям было проще освоить его, а также чтобы другие дети могли показать учащемуся ребенку тот же способ. При этом он демонстрирует последователь­ные шаги, из которых состоит подобная деятельность. Свою роль играет также материал — рамки, а не какие-либо предметы одеж­ды. С их помощью процессы развязывания—завязывания, рассте­гивания—застегивания и т.д. приобретают более отвлеченный ха­рактер: это уже, если так можно выразиться, «завязывание вооб­ще» или «застегивание вообще», а не завязывание конкретного банта или застегивание данной пуговицы на данном платье или пальто.

Добавим, что уже на упражнениях в практической жизни про­исходит опосредованная подготовка к арифметическим операци­ям. Если ребенок насыпает крупу в несколько чашек, переклады­вая поочередно по одной ложке в каждую чашку, затем еще по одной и т.д., он, по сути, осуществляет процесс деления. То же можно сказать о разливании воды в несколько сосудов одинако­вого объема. Когда крупу или воду из разных сосудов снова поме­щают в один сосуд, то совершаемые при этом действия можно интерпретировать как сложение или же, учитывая равенство ко­личеств крупы или объемов жидкости, как умножение.

4.9. Характеристика содержания математического раздела в детском саду и школе монтессори

Математические материалы Монтессори предназначены для детей в возрасте от 4 до 12 лет. Изучение математики начинается со знакомства при помощи конкретного материала со счетом до 10, с цифрами 0—9 и числом 10. Особое внимание уделяется про­яснению смысла нуля как символа, обозначающего отсутствие чего-либо, «ничего», «пустое место». Ребенок делает также ряд упражнений, опосредованно подготавливающих его к последую­щему усвоению понятий «четное» и «нечетное число» и выполне­нию операций сложения и вычитания, однако сами операции на этом этапе не вводятся.

Особый интерес, по нашему мнению, представляет собой даль­нейший ход мысли автора. Именно он отражает одну из важнейших особенностей подхода Монтессори к обучению детей математике.

С первых шагов в обучении математике Монтессори стремится донести до ребенка ключевую концепцию десятичной системы счис­ления, «которая основана на переходе от одного десятка к друго­му, от девяти к десяти. После десяти мост рушится; начинается новый десяток» [97, S. 39]. Знания и умения, приобретенные ре­бенком в процессе работы с материалами первой группы, состав­ляют необходимый инструментарий для дальнейшего исследова­ния десятичной системы. Как полагает Монтессори, «последова­тельный счет интересен только тому, кто понял ведущий прин­цип групп десятичных разрядов» [97, S. 41].

Уже на материалах второй группы ребенок знакомится с коли­чествами, представляющими единицы разных разрядов чисел: с отдельными золотыми бусинами-единицами; стержнями-десятка­ми, на которых нанизано по 10 бусин-единиц; квадратами-сотня­ми, состоящими из 10 стержней-десятков; кубами-тысячами, об­разованными 10 квадратами-сотнями. Соответствующие им сим­волы — сначала 1, 10, 100 и 1000, а затем и 20, 30, 90; 200, 300, 900 и 2000, 3000, 9000 (числа 2, 3, 9 ребенку уже известны) вводятся посредством набора карт. С их помощью осу­ществляется построение десятичной системы счисления, так что ста­новится действительно очевидно, что каждый разряд содержит не более 9 единиц.

При последующем построении многозначных чисел преследует­ся цель продемонстрировать ребенку их общую структуру, посред­ством материала из золотых бусин показать, из единиц каких раз­рядов состоит число. При этом начинают непосредственно с четы­рехзначных чисел. Важно отметить, что на данной стадии ребенку не обязательно сразу же запоминать правильные названия чисел (обычно это происходит немного позднее в процессе работы с материалами третьей группы). Ему нужно прежде всего ясно по­нимать, сколько единиц каждого разряда содержит число, и уметь называть их. Так, например, число 5678 он может прочесть следу­ющим образом: «Пять тысяч, шесть сотен, семь десятков, восемь единиц». Вот как комментирует данный материал Мария Монтес­сори: «Второе упражнение состоит в построении больших чисел. С этой целью предложено представить материал в такой форме, которая отражает идею десятичной системы, а не ассоциацию чисел с соответствующими предметами...» [97, S. 34].

Непосредственно после введения многозначных чисел перехо­дят к четырем арифметическим действиям с ними: сложению, вы­читанию, умножению и делению. Здесь снова ставится цель — по­казать общий алгоритм, раскрыть смысл этих операций, а поэто­му, вообще говоря, не играет существенной роли, на примере каких чисел это происходит. Золотой материал позволяет пред­ставлять с помощью бусин числа, состоящие не более чем из че­тырех цифр, поэтому арифметические операции демонстрируют с использованием трех- или четырехзначных чисел, читать кото­рые можно, как и прежде, называя разряды. Основное значение придается процессу, ходу действия, а не его результату.

Суть операции сложения состоит в образовании из нескольких «маленьких» множеств (множеств с меньшим количеством элемен­тов) одного «большого» (множества с ббльшим количеством эле­ментов). Действие вычитания выступает как процесс «отнятия» от «большого» множества «меньшего», т. е. разделения исходного мно­жества на две, вообще говоря, неравные части. Операция умноже­ния предстает как повторение, сложение нескольких равных мно­жеств, а операция деления — как разделения исходного множе­ства на несколько равных частей. «Операции состоят в том, чтобы сложить вместе равные или неравные количества, или от целого отнять некоторую его часть, или разделить его на равные части. Это операции. То что происходит внутри чисел, относится к деся­тичной системе, а не к операциям. А что же происходит тогда в десятичной системе? Это очень просто: собрание более десяти граж­дан запрещено. Если приходит десятый, возникает новая личность. Это переход от девяти к десяти» [97, S. 53—54].

Итак, ключевая концепция десятичной системы и общий алго­ритм четырех арифметических действий с многозначными числа­ми являются базисом для дальнейшего путешествия ребенка в пол­ном удивительных загадок и неожиданных открытий мире мате­матики. Они образуют «ствол древа» математических знаний, и если ребенок познакомился с ними, можно перейти к дифферен­циации. «Четыре операции с большими числами, — пишет Мон­тессори, — ясное понимание десятичной системы и решение прак­тических проблем, возникающих в повседневной жизни, застав­ляют думать, по выражению одного ребенка, который убежденно сказал: "Я знаю все". Прогресс происходит теперь только в дета­лях посредством анализа того, что уже имеется и может пробудить интерес. Значение теперь придается детали, так как она дает воз­можность прорыва в рассмотренное извне целое... и тогда движут­ся от целого к деталям, от большого к малому, от сложного к про­стому» [97, S. 72].

Каким же образом происходит дифференциация? В каком на­правлении растут «ветви», берущие начало на «стволе»? Мы ука­жем лишь самые «толстые» из них, несущие на себе всю «крону».

Один из основных путей дальнейшего движения — последова­тельный счет и запоминание общепринятых названий чисел сна­чала до 20, затем до 100 и до 1000. Это осуществляется при помо­щи досок Сегена и набора цепочек из цветных или золотых бу­син, составляющих единый цикл. Продолжение этого пути — си­стематическое решение многочисленных примеров с помощью целой серии материалов и постепенное запоминание таблиц сло­жения, вычитания умножения и деления.

Другой основной путь — достаточно длинный и требующий терпения, но приводящий к ясному пониманию смысла обще­принятого способа вычислений на бумаге — путь дальнейшего исследования каждой из четырех арифметических операций. Пе­речислим лишь некоторые из используемых с этой целью матери­алов: игры с марками, «большие» и «малые счеты», «шахматная доска» для умножения многозначных чисел на многозначные, материал для большого деления, т.е. деления многозначных чи­сел на многозначные. Исследование завершается переходом к вы­полнению всех действий в абстрактной форме, т. е. на бумаге, на письме, без помощи материала.

Освоив операции с целыми числами и познакомившись с по­нятиями наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, можно переходить к действиям с обыкновенными дро­бями, а затем и с десятичными.

Еще одно направление движения — введение новых операций, а именно, операций возведения в степень и извлечения корня. Осо­бенно подробно в системе Монтессори рассматриваются операции возведения чисел в квадрат и в куб и обратные им операции извле­чения квадратных и кубических корней. Посредством таких мате­риалов, как биномиальный куб, триномиальный и арифметико-триномиальный кубы, здесь снова выясняется суть алгоритма извле­чения квадратного и кубического корня из многозначных чисел.

Наконец, последняя «толстая ветвь», берущая начало от «ство­ла», — геометрия. Ребенок знакомится с понятиями конгруэнтно­сти, подобия и равновеликое™, узнает основные свойства плос­ких геометрических фигур и пространственных тел, учится изме­рять площади и объемы. Этой цели служит ряд материалов, в част­ности серия металлических фигур-вкладышей.

По нашему мнению, наряду с указанными достоинствами со­держание математического раздела имеет также ряд недостатков. Во-первых, много времени посвящается вычислительным опера­циям, но очень мало внимания уделяется задачам, тогда как именно решение задач способствует развитию логического мышления. Во-вторых, материалы иллюстрируют достаточно большой, но все же ограниченный круг понятий. Область их применения можно расширить [55], но не очень далеко. Например, их нельзя приме­нить для решения квадратных уравнений. В-третьих, опыт пока­зывает, что дети школьного возраста, быстро поняв смысл опе­раций, к материалам больше не возвращаются. Они предпочитают выполнять задания в рабочих тетрадях, которых в системе Мон­тессори не предполагается. Тем не менее мы считаем, что матема­тические Монтессори-материалы благодаря их конкретности и наглядности могут быть применены в «традиционных» отечествен­ных детских садах и начальных школах. Их можно использовать как дидактический раздаточный материал.

В соответствии с содержанием материалы принято подразде­лять на семь групп. Материалы первой, третьей и четвертой групп, а также материалы второй группы, предшествующие малым сче­там, предназначены для Монтессори-детского сада, остальные — для школы. Отметим, однако, что это указание не является жест­ким ограничением, особенно если речь идет об использовании в детских садах и школах лишь некоторых элементов системы Мон­тессори. Так, например, если некоторая программа предусматри­вает знакомство с операциями сложения и вычитания многознач­ных чисел «в столбик» во II или в III классе, то золотой материал может быть с успехом применен именно в этот период.