- •Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних. Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни
- •1.Виведення рівняння теплопровідності.
- •В результаті одержимо наступне рівняння
- •2.Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами до задачі з однорідними граничними умовами.
- •2.Перетворення неоднорідних граничних умов, які залежать від змінної t, в однорідні.
- •3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).
- •3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.
- •3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.
- •3.3.Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.
- •3.4. Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.
- •Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати
- •4. Поширення тепла у стержні.
- •Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням
- •Враховуючи, що
- •5. Виведення рівняння поперечних коливань струни. Будемо розглядати рівняння
- •6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.
- •7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа).
- •Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу.
- •9. Метод граничних елементів.
- •Враховуючи отримані формули, маємо
5. Виведення рівняння поперечних коливань струни. Будемо розглядати рівняння
, (5.1)
де - невідома функція, яка залежить від, просторових координат і часу ;
- коефіцієнти, які визначаються властивостями середовища, де відбувається коливальний процес;
- вільний доданок, висловлює інтенсивність зовнішнього збурення.
Рівняння (5.1) відповідно з визначенням операторів div і grad:
можна записати
. (5.2)
Розберемо виведення рівняння (5.1) на прикладі малих поперечних коливань струни. Струною називається натягнута нитка, яка не чинить опір згину.
Нехай в площині струна виконує коливання біля свого положення рівноваги, яка співпадає з віссю. Величину відхилення струни від положення рівноваги в точціу часпозначимо через, так що- є рівняння струни у час. Обмежуючись розглядом лише малих коливань струни, будемо нехтувати величинами порядку мализни в порівнянні з
.
Оскільки струна не чинить опору згину, то її натяг в точціу часнаправлений по дотичній до струни у точці(мал.5.1).
0
Мал. 5.1.
Будь яка ділянка струни після відхилення від положення рівноваги у рамках даного приближення не змінює своєї довжини, тобто
Таким чином, відповідно закону Гука, величина натягу буде залишатися постійною, яка не залежить віді,. Позначимо черезщільність зовнішніх сил, які діють на струну у точці, а в часнаправлені перпендикулярно вісіу площині. Нехайпозначає лінійну щільність струни в точці, так що приблизно- маса елемента струни.
Складемо рівняння руху струни. На її елемент діє сила натягу, і зовнішня сила, сума яких, згідно законам Ньютона, повинна дорівнювати добутку маси цього елемента на його прискорення. Проектуючи цю векторну рівність на вісі, на основі вище сказаного, будемо мати
(5.3)
Але в рамках нашого наближення
,
тому з (5.3) маємо
,
відкіля при виходить рівність
. (5.4)
Це й є рівняння поперечних коливань струни. При коливання струни називаються вимушеними, а при- вільними.
Якщо щільність стала,, то рівняння коливань струни приймає вигляд
, (5.5)
де - сталі.
Рівняння (5.5) будемо також називати одномірним хвильовим рівнянням.
6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.
Задача.Знайти закон повздовжнього коливання тонкого пружного стержня, лівий кінець якого закріплений, а правий - вільний. Початковий розподіл переміщень вздовж стержня показано на малюнку 6.1.
0
Мал. 6.1
Функція задана формулами
. (6.1)
Початкова швидкість точок стержня дорівнює нулю:
. (6.2)
Повздовжні коливання стержня описуються рівнянням
, (6.3)
причому у відповідності з заданими граничними умовами
. (6.4)
Таким чином задача зводиться до рішення диференціального рівняння (6.3) при граничних (6.4) і початкових (6.1) – (6.2) умовах.
Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:
. (6.5)
Якщо в умові задана початкова швидкість, то перехід до безрозмірного переміщення здійснюється за формулою
.
Враховуючи що
. (6.6)
Рівняння (6.3) і умови (6.1), (6.2), (6.4) перепишемо у вигляді
, (6.7)
(6.8)
. (6.9)
Розв’язок рівняння (6.7)
. (6.10)
Підставляючи (6.10) у (6.7), одержимо
, (6.11)
.
Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і, тобто вони – постійні. Позначимо цю сталу через. Тоді з рівності (6.11) одержимо два звичайних диференціальних рівняння:
(6.12)
(6.13)
Розв’язав ці рівняння, і підставив висліди в (6.10), одержимо
, (6.14)
де - довільні сталі.
Одержали загальний розв’язок рівняння (6.7).
Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.
Застосовуючи першу граничну умову з здачі Штурма-Ліувіля, одержимо
(6.15)
Для застосування другої граничної умови знайдемо частинну похідну
Отже, власними функціями будуть
Підставляючи одержані результати в (6.10), знаходимо частинні розв’язки рівняння (6.7), які задовольняють крайовим умовам (6.9).
При цьому кожному значенню буде відповідати розв’язок
. (6.16)
Сума розв’язків (6.16) також буде розв’язком рівняння (6.7), тому що (6.7) лінійне й однорідне:
, (6.17)
Нехай , а, тоді формула (6.17) буде
, (6.18)
Для визначення констант івикористаємо початкові умови (6.8).
Для застосування другої початкової умови знайдемо частинну похідну:
,
(6.19)
.
Одержали ; тоді
. (6.20)
Для знаходження використаємо останню початкову умову, з якої виходить
.
Остання формула показує, що постійні – це коефіцієнти розкладання функціїу ряд Фур’є за синусами у проміжку . Таким чином,
.
Підставляючи вираз (6.8) для функції під інтеграл, одержуємо
Зробивши необхідні обчислення, маємо
(6.21)
Підставляючи (6.21) у (6.20), запишемо остаточно розв’язок задачі
(6.22)
Зауваження. Якщо початкова швидкістьвідмінна від нуля, то у формулі (6.19) необхідно ввести позначення
(6.23)
Далі вираховуємо коефіцієнт ряду Фур’є
де - початкова швидкість.
Для того, щоб підставити у формулу (6.18), треба скористатися співвідношенням
Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а- від 0 до 1 з кроком 0.25.
Мал.6.2