Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / Практичні заняття до НЕ 2
.1.doc
Приклад 11. Побудувати многочлен четвертого степеня зі старшим коефіцієнтом 1, який має:
а) корені 1, 7, -3, -4;
б) трикратний корінь –1 та простий корінь і;
в) дійсні коефіцієнти та корені 2-і та 1+2і.
Розв.
а) ‑ шуканий многочлен, у якого ‑ корені.
Тоді
‑ згідно з наслідком з основної т-ми алгебри. Отже:
‑ шуканий многочлен.
б) ‑ шуканий многочлен.
в)
Оскільки шуканий многочлен має дійсні коефіцієнти, то він має ще два корені, спряжені до та :
Отже, ‑ шуканий многочлен.
Приклад12. Знайти многочлен найменшого степеня за таблицею його значень:
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
6 |
5 |
0 |
3 |
2 |
Розв. Скористаємося формулою Лагранжа:
де
Отже маємо:
Тому
Отже, ‑ шуканий многочлен.
Приклад 13. Знайти раціональні корені многочлена:
а)
Розв. Шукаємо спочатку цілі корені цього многочлена. Вони, якщо є, то є дільниками вільного члена . Тобто
Зменшимо степінь многочлена поділивши його на
-
0
Отже,
Знайдемо тепер корені многочлена
Отже,
В-дь: Раціональні корені многочлена
б)
Цілі корені даного многочлена, якщо існують, є дільниками вільного члена
|
2 |
-1 |
-14 |
19 |
-6 |
1 |
2 |
1 |
-13 |
6 |
0 |
Отже,
‑ шукаємо його корені
та ‑ одночасно цілі
та
Можливі корені: 2; -3; ‑ Перев. за схемою Горнера.
|
2 |
1 |
-13 |
6 |
|
2 |
2 |
5 |
-3 |
0 |
|
-3 |
2 |
-1 |
0 |
|
|
‑ корінь
‑ корінь
Отже,
Звідси має 4 корені:
в)
‑ дільники вільного члена
‑ корінь
та ‑ одночасно цілі
та ‑ одночасно цілі
Можливі корені: 2; -2; 3; -3; ‑ Перевіряємо за схемою Горнера.
|
3 |
17 |
27 |
7 |
-6 |
2 |
3 |
23 |
73 |
153 |
3000 |
-2 |
3 |
11 |
5 |
-3 |
0 |
3 |
3 |
26 |
105 |
322 |
9600 |
-3 |
3 |
8 |
3 |
-2 |
0 |
Дробові корені мн-на знах. серед всіх нескоротних дробів вигляду , де ‑ дільники
‑ дільники (), .
‑ можливі корені.
та ‑ одночасно цілі.
та
Можливі корені:
Скористаємося схемою Горнера:
|
3 |
17 |
27 |
7 |
-6 |
3 |
|||||
3 |
|||||
3 |
18 |
33 |
18 |
0 |
‑ корінь .
Оскільки ‑ многочлен 4-го степеня, то в нього не більше 4-х дійсних коренів. Отже,
‑ шукані корені .
Приклад 14. Використовуючи теорему Штурма, відокремити дійсні корені многочлена:
а)
Розв.
Отже, система многочленів Штурма для даного така:
Будуємо таблицю для знаходження к-ті знакозмін у системі Штурма:
|
|||||
- |
+ |
- |
+ |
3 |
|
0 |
+ |
- |
- |
+ |
2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
а) на інтерв. має 1 корінь;
б) на інтерв. має 2 корені.
Оскільки ‑ многочлен 3-го степеня, із якого 1 від’ємний та 2 додатні корені, то це означає, що всі його корені дійсні. Відокремимо тепер кожен з них.
|
|||||
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
1 |
2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
-1 |
+ |
‑ |
‑ |
+ |
2 |
-2 |
+ |
‑ |
‑ |
+ |
2 |
-3 |
+ |
+ |
‑ |
+ |
2 |
-4 |
+ |
+ |
‑ |
+ |
2 |
-5 |
‑ |
+ |
‑ |
+ |
3 |
на (0;1) – 1 корінь
Отже, многочлен має три дійсні корені
б)
Розв.
Отже, система множників Штурма має вигляд:
|
|||||
‑ |
+ |
‑ |
+ |
3 |
|
0 |
‑ |
‑ |
+ |
+ |
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
|
1 |
‑ |
0 |
+ |
+ |
1 |
2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
-1 |
+ |
0 |
‑ |
+ |
2 |
-2 |
‑ |
+ |
‑ |
+ |
3 |
На інтервалі є корені;
На інтервалі є корінь.
Отже, має 3 дійсні корені: