универ / математика

Задачі контрольної роботи № 1

Задача 1.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь трьома способами: а) методом Крамера; б) матричним способом; в) методом Гаусса.

3x

+ 2x

+ x = 5;

7x

+ 2x

+ 4x

=1;

1

2

3

1

2

3

1. 2x1 + 3x2 + x3 =1;

2.

− x1 + 3x2 + 2x3 = −2;

2x

+ x

+ 3x =11.

x

− 4x

− x = 8.

1

2

3

1

2

3

x − 2x

+ 3x = 6;

4x

− 3x

+ 2x

= 9;

1

2

3

1

2

3

3.

2x1 + 3x2 − 4x3 = 20;

4.

2x1 + 5x2 − 3x3 = 4;

− 2x2 − 5x3 = 6.

+ 6x2 − 2x3 =18.

3x1

5x1

x

+ x

− x =1;

2x

+ 3x

+ 4x

= 3;

1

2

3

1

2

3

5. 8x1 + 3x2 − 6x3 = 2;

6.

x1 + 2x2 + 3x3 = 3;

+ x2 − 3x3 = 3.

+ x2 + 2x3 = −2.

4x1

5x1

x

+ x

+ 2x

= −1;

x − 4x

− 2x

= −3;

1

2

3

1

2

3

7. 2x1 − x2 + 2x3 = −4;

8.

3x1 + x2 + x3 = 5;

+ x2 + 4x3 = −2.

− 5x2 − 6x3 = −9.

4x1

3x1

2x

+ x

− x

= 2;

3x

+ 5x

+ 7x

= 0;

1

2

3

1

2

3

9.

x1

− x2 + x3 =1;

10.

5x1 + 7x2 + x3 = 8;

+ 2x2 + 2x3 = −1.

+ x2 + 3x3 = −8.

5x1

7x1

Задача 1.2. Довести, що система лінійних рівнянь має розв’язки і знайти ці

						розв’язки.
	x	+ 2x			− x = −3;					2x		− x − x = 4;
	1		2				3				1	2	3
1.	2x1 + 3x2 + x3 = −1;								2.	3x1 + 4x2 − 2x3 =11;
		+ x2 + 2x3 = 2;
	x1									− x1 + 6x2			= 3;
	− x		− x			− 2x		= −2.		5x		+14x	− 4x =	25.
		1	2				3				1	2	3
	3x − 2x					+	4x	= −4;		2x		− x + x = −4;
		1		2			3				1	2	3
3.	2x1 + 3x2 + 4x3 = −20;								4.	3x1 + x2 − x3 = −1;
													− 3x3 = 7;
	− 4x1 + 7x2 − 4x3 = −12;									− x1 + 3x2
					+ 8x3 = −24.						+ x2 − 2x3 = 3.
	5x1 + x2									x1

11

4x

− 2x

+ 3x = −7;

3x

+ 4x

− 2x = 8;

1

2

3

1

2

3

5.

3x1 − x2 + x3 = 9;

6.

2x1 − x2 − 3x3 = −4;

15x1 − 7x2 +10x3 = −12;

−13x1 −10x2 +12x3 = −16;

− x2 + 2x3 = −16.

+ 3x2 − 5x3 = 4.

x1

5x1

x − 4x

− 2x

= −3;

x + 2x

+ 4x

= 31;

1

2

3

1

2

3

7.

3x1 + x2 + x3 = −5;

8.

5x1 + x2 + 2x3 = 20;

− 3x2 − x3 = −8;

4x1

− 4x1 + x2 + 2x3 =11;

−11x2 − 5x3 = −14.

+ 3x2 + 6x3 = 51.

6x1

6x1

x

+ 3x

− 3x

=13;

2x

− x

− x

= 0;

1

2

3

1

2

3

9.

2x1 − 3x2 + 3x3 = −10;

10.

x1

− x2 − 3x3 =13;

− 6x2 + 6x3 = −23;

− 2x2 − 4x3 =13;

x1

3x1

− 3x2 + 3x3 = −7.

− 4x2 − 2x3 = −13.

5x1

9x1

Задача 1.3. Дослідити систему рівнянь на сумісність.

	2x		− x	− x		= 0;		4x		− 2x			+ 3x		= −7;
		1	2		3				1			2	3
1.	x1	− x2 − 3x3 =13;					2.	3x1 − x2 + x3 = 9;
	3x1 − 2x2 − 4x3 = 9.							15x1 − 7x2 +10x3 = 4.
	2x		− x	+ x		= −4;		x	+ 3x			− 3x =13;
		1	2		3			1			2		3
3.	3x1 + x2 + x3 = −1;						4.	2x1 − 3x2 + 3x3 = −10;
		+ x2 − 2x3 = 5.								− 3x2 + 3x3 = 2.
	x1							5x1
	x	+ 2x		+ 4x = 31;				3x		− 2x			+ 4x		= −4;
	1		2			3			1			2	3
5.	5x1 + x2 + 2x3 = 20;						6.	2x1 + 3x2 + 4x3 = −20;
										+ x2 + 8x3 = 9.
	− 4x1 + x2 + 2x3 =11.							5x1
	x	− 4x		− 2x = −3;				2x		− x		− x =		4;
	1		2			3			1		2		3
7.	3x1 + x2 + x3 = −5;						8.	3x1 + 4x2 − 2x3 =11;
	4x		− 3x	2	− x =1.			− x			+ 6x		=12.
		1				3			1			2
	x	+ 2x		− x		= −3;		3x		+ 4x			− 2x		= 8;
	1		2		3				1			2	3
9.	3x1 + 3x2 + x3 = −1;						10.	2x1 − x2 − 3x3 = −4;
	x	+ x + 2x				= 9.		−13x −				10x +12x =				3.
	1		2		3						1		2		3

12

§2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Вектори і дії над ними

Література: [1] – с. 30-76; [2] – с. 81-103; [3] – с. 5-12; [4] – с. 25-48; [5] – с. 8-22, 139-158.

Вектором називають напрямлений відрізок. Якщо початок вектора є точка A, а кінець – точка B , то вектор позначають так: AB або a . Довжина відрізка AB називається модулем вектора і позначається | AB | або | a |.

Лінійною комбінацією n векторів a1, a2,..., an називається сума добутків цих векторів на довільні дійсні числа α1,α2,...,αn , тобто вираз виду

α1a1 + α2a2 + ... + αnan.

Вектори a1, a2,..., an називаються лінійно незалежними, якщо рівність нульовому вектору їх лінійної комбінації з числами α1,α2,...,αn можлива лише у випадку, коли всі числа α1,α2,...,αn дорівнюють нулю.

Система векторів e1, e2,..., en називається базисом простору, якщо вона лінійно незалежна і кожен вектор простору a може бути розкладено в лінійну комбінацію векторів даної системи a =α1e1 + α2e2 + ... + αnen.

Коефіцієнти цього розкладу називають координатами вектора a в базисі e1, e2,..., en і записують так: a(α1;α2;...;αn).

Два неколінеарні вектори утворюють базис на площині, три некомпланарні вектори утворюють базис в просторі.

Кажуть, що в просторі задано декартову прямокутну систему координат, якщо в ньому зафіксована точка O (початок координат) та

вибрано ортонормований базис i, j, k (вектори базису мають довжину 1 і взаємно перпендикулярні). Надалі користуватимемось саме декартовою системою координат.

Якщо точка A(x1; y1;z1) є початком вектора a , а точка B(x2; y2;z2) – його кінцем, то координати ax, ay , az вектора a = AB знаходять за формулами

ax = x2 − x1, ay = y2 − y1, az = z2 − z1, тобто AB = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1).

Довжину |

| вектора

= (ax; ay; az ) визначають за формулою

a

a

|

|= a2

+ a2

+ a2 .

(1)

a

x

y

z

Якщо точка C(x; y; z) належить прямій AB і ділить відрізок AB у

відношенні λ =

|

AC

|

, то координати

x, y, z точки C визначають

за

| CB |

формулами

x =

x1 + λx2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

1+ λ

1+ λ

1+ λ

13

Зокрема, якщо C – середина відрізка

AB, то в цих формулах слід

покласти λ =1:

x =

x1 + x2

, y =

y1 + y2

, z =

z1 + z2

.

(2)

2

2

2

Скалярним добутком векторів

і

b

називається число, яке дорівнює

a

добутку модулів цих векторів на косинус кута ϕ = (

, b) між ними:

a

=|

| |

| cosϕ.

b

b

a

a

Скалярний добуток позначають також <

,

> і

b

a

ab .

Якщо вектори

задано своїми

координатами

= (ax; ay; az )

і

a

= (bx; by; bz ), то скалярний добуток

b

ab = axbx + ayby + azbz ,

а кут між векторами знаходять за формулою

axbx

+ ayby + azbz

b

cosϕ =

a

=

.

(3)

|

| |b |

2

2

2

2

2

2

a

ax

+ ay + az

bx

+ by + bz

Умова ортогональності (перпендикулярності) векторів:

= 0.

b

a

Векторним

добутком

векторів

і

називається вектор, який

b

a

позначається

×

і задовольняє таким трьом умовам:

b

a

1) довжина вектора

×

чисельно дорівнює

b

a

c

=

a

×b

площі

паралелограма,

побудованого

на

цих векторах

×

| = |

| |

| sinϕ,

де ϕ = (

|

b

b

,

b

);

a

a

a

b

2) вектор

× b

перпендикулярний кожному

a

ϕ

з векторів a і b (рис. 1);

a

3) вектор

×

b

має такий напрям, що при

a

спостереженні з його кінця найближчий

Рис. 1

поворот від

вектора

до вектора

b

a

виконується проти годинникової стрілки.

Векторний добуток позначають також [

,b] або [

a

ab].

Умова паралельності векторів:

×

=

.

b

0

a

Якщо вектори задано їх координатами

(ax;ay;az ) , b(bx;by;bz ) , то

a

i

j

k

=

×

=

− (axbz − azbx )

+ (axby − aybx )k

,

(4)

b

ax

ay

az

= (aybz − azby )i

j

c

a

bx by bz

отже

= (aybz − azby; azbx − axbz; axby − aybx ).

c

14

Мішаним добутком

векторів

,

b і

abc впорядкованої трійки

a

c

називається число, яке дорівнює векторному добутку

×

, помноженому

b

a

скалярно на вектор

:

c

= (

× b)

.

ab

c

a

c

задано своїми координатами:

= (ax ; ay ; az ),

Якщо вектори

, b і

a

a

c

= (bx; by; bz ) і

= (cx; cy; cz ),

то їх

мішаний добуток визначають

за

b

c

ax ay az

формулою

=

bx by bz

.

(5)

ab

c

cx cy cz

Модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда,

: Vпар-да =|

побудованого на векторах

, b і

а об’єм відповідної

a

c

abc |,

піраміди Vпіраміди = 1 |

abc |.

6

Вектори

, b і

компланарні тоді і лише тоді, коли їхній мішаний

a

c

добуток рівний нулю.

Приклад 1.

(Задача 2.1.)

Дано

координати вершин

піраміди

A1(−1; 0;1) , A2(4; 3; 2),

A3(1; 2; 4) , A4(0; 4; −1) і точки M (2;1; 2). Знайти:

1)довжину ребра A1A2 ;

2)кут між ребрами A1A2 і A1A3;

3)площу грані A1A2 A3 ;

4)об’єм піраміди A1A2 A3A4;

5)довести, що вектори A1A2 , A1A3 і A1A4 утворюють базис і знайти координати вектора A1M у цьому базисі.

Розв’язання.

1)Знайдемо координати вектора A1A2 .

Маємо: A1A2 = (4 − (−1); 3 − 0; 2 −1) = (5; 3;1), Оскільки | A1A2 |=| A1A2 |, то за

																		52 + 32 +12 =
формулою (1)									|	A A						|=																				35.
											1			2
	2) Знайдемо координати вектора A1A3																																								:			A1A3					= (1− (−1);2 − 0;4 −1) = (2; 2; 3).
																								=				22 + 22								+ 32						=
Довжина вектора A A :
																				A A																											17	. Косинус кута між векторами
														1		3			1			3
	A1A2 і A1A3 знайдемо за формулою (3):
																																														5 2					2		+ 1 3
																					) =		< A1A								2, A1A3 >												=							+ 3					=			19	.
					cos(A A									,		A A
									1		2					1		3					| A1A2 | | A1A3																		|									35		17				595
																								19							≈ 0,6778.														Величина								кута			між векторами
Тоді (A A ,									A A					) = arccos
1					2				1		3													595

15

A1A2 і A1A3 дорівнює величині кута між ребрами A1A2 і A1A3.

3) Площа грані A1A2 A3 дорівнює площі трикутника

A1A2 A3 , тобто

половині площі паралелограма, побудованого

на

векторах

A1A2 (5;3;1) і

=

1

|

×

|.

A A (2;2;3) . З означення векторного добутку

S

A A A

A A

A A

1 3

2

1 2 1 3

1

2

3

Тоді за формулою (4)

i j k

=

5 3 1

= (7; −13; 4).

A1A2

×

A1A3

2 2 3

=

1

72 + (−13)2 + 42 = 3

(кв. од.).

Тому

S

A A A

26

1

2

3

2

4) Об’єм піраміди дорівнює 1 6 модуля мішаного добутку векторів

A1A2 ,

A1A3

і

A1A4 = (0 − (−1);4 − 0;−1− 1) = (1;4;−2). Мішаний добуток

знайдемо за формулою (5)

1

5 3

=

2 2

3

= −53.

A1A2

A1A3

A1A4

1 4

− 2

Отже

V =

1

| −53|= 8

5

(куб. од.).

66

5)Для того, щоб вектори A1A2 , A1A3 і A1A4 утворювали базис

достатньо, щоб визначник , складений з координат цих векторів, не дорівнював нулю( три некомпланарні вектори в просторі утворюють базис). З

попереднього пункту маємо, що

= −53 ≠ 0. Знайдемо координати вектора

= (2 − (−1);1− 0;2 −1) = (3;1;1) як

A1M в цьому базисі. Для цього подамо

A1M

лінійну комбінацію базисних векторів

x

+ y

+ z

=

.

A1A2

A1A3

A1A4

A1M

Отримаємо систему рівнянь

5x + 2y +

z

= 3,

+ 2y + 4z

= 1,

3x

+ 3y − 2z

= 1.

1x

Розв’язавши дану систему будь-яким з методів знайдемо

x =

35

, y = −

2

, z = −

12

.

53

53

53

Отже

=

35

−

2

−

12

.

A M

A A

A A

A A

1

53

1

2

53

1

3

53

1

4

16

Пряма на площині.

Література: [1] – с. 140-144; [2] – с. 8-13, 37-48; [4] – с. 58-65; [5] – с. 23-51.

1. Пряма,

що проходить через точку M0(x0; y0) перпендикулярно

до

вектора

= (A; B) ,

який називається нормальним

вектором

прямої

n

(рис. 2), має рівняння виду:

A(x − x0) + B(y − y0) = 0.

Позначимо C = −Ax0 − By0 , тоді отримаємо загальне рівняння прямої:

Ax + By + C = 0.

2. Пряма,

що

проходить

через точку

(A; B)

M0 (x0; y0 )

паралельно

до

вектора

n

(a1; a2 ) ,

який

називається

M0 (x0; y0 )

a

напрямним вектором прямої (рис. 2),

M

1(x1; y1)

має рівняння виду:

x − x0

=

y − y0

.

(6)

a(a1; a2 )

a

a

2

l

1

Рис. 2

Рівняння (6)

називають

канонічним

рівнянням прямої.

3. Пряма, що проходить через дві

точки

M0 (x0; y0 )

і M1(x1; y1) ,

має

рівняння виду:

x − x0

=

y − y0

.

(7)

x1 − x0

y1 − y0

Відстань від точки M0(x0; y0) до прямої Ax + By + C = 0 знаходять за

формулою

d =

| Ax0

+ By0 +

C |

.

(8)

A2 + B2

Приклад 2 . (Задача 2.2.) Дано вершини трикутника ABC : A(1; 2), B(2; − 2) , C(6;1) . Знайти:

1)рівняння сторін AB, AC і BC ;

2)рівняння медіани AM і висоти BH ;

3)рівняння прямої, що проходить через точку C паралельно прямій AB, і обчислити відстань між цими прямими.

Розв’язання.

1)Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки (7)

x − xA	=	y − yA		x −1	=	y − 2		x −1	=	y − 2	.
xB − xA yB − yA 2 −1						− 2 − 2	1			− 4

Отримали канонічне рівняння прямої (6), з якого встановимо, що a(1; − 4) – напрямний вектор прямої AB. Помножимо обидві частини рівняння на – 4 і перенесемо всі доданки в одну сторону.

17

− 4(x −1) = y − 2, (AB) : 4x + y − 6 = 0.

Маємо загальне рівняння прямої, з якого nAB = (4;1) – нормальний вектор

прямої AB.

Аналогічно отримаємо рівняння інших сторін

(BC) : 3x − 4y −14 = 0, (AC) : x + 5y −11 = 0.

y

2) Висота BH AC

(рис. 3),

l

тому

нормальний

вектор

2

A

H

nAC (1;5) || BH

є

напрямним для

висоти.

Скориставшись

1

C

канонічним рівнянням прямої (6),

записуємо рівняння BH , що

проходить через точку B(2; − 2)

0

1

2

6

x

M

x − 2

=

y − (−2)

5(x − 2) = y + 2.

1

5

-2

B

(BH):5x − y −12 = 0.

Рис. 3

Медіана

AM ділить точкою

M

навпіл

сторону

BC .

Координати середини відрізка, тобто точки M , обчислимо за допомогою

формул (2)

x

M

=

xB + xC

=

2 + 6

= 4, y

M

=

yB + yC

=

1+ (−2)

= −

1

.

2

2

2

2

2

Складемо рівняння прямої, що проходить через дві точки A(1;2) і M (4;−1 2):

x −1

=

y − 2

5

(x −1) = 3(y +1 2).

−1 2 −

2

4 −1

2

(AM ):5x − 6y − 8 = 0.

3)Пряма l , що проходить через точку C паралельно AB буде мати такий самий напрямний вектор як і AB, тобто a(1; − 4) . Запишемо канонічне

рівняння прямої l :

x − 6 = y −1.
1	− 4

l : 4x + y − 25 = 0.

Оскільки прямі l і AB паралельні, то відстань між цими прямими можна визначити як відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої. Відстань від точки C прямої l до прямої AB знайдемо за формулою (8):

d = | Ax0 + By0 + C | = | 4 6 +1 1− 6| = 19 .

A2 + B2 42 +12 17

18

Площина в просторі.

Література: [1] – с. 140-144, [2] – с. 129-148, [4] – с. 66-78, [5] – с. 159-188.

1. Рівняння

площини, що

проходить

N

(A; B; C)

через

точку

M0(x0, y0, z0)

перпендикулярно

до

вектора

= Ai

N

+ Bj

+ Ck ,

який

називають

M2

M0

нормальним вектором

площини

M

(рис. 4), має вигляд

0

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. (9)

α

Рис. 4

Позначимо D = −Ax0

− By0 − Cz0 .

Отримаємо загальне рівняння площини

Ax + By + Cz + D = 0.

2. Рівняння площини, що проходить через три задані точки M0 (x0; y0; z0),

M1(x1; y1; z1) і M2 (x2; y2; z2 ) має вигляд

x − x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0

z1 − z0

= 0.

(10)

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

Кут між двома площинами,

що мають

нормальні вектори

N1 = (A1; B1; C1) та N2 = (A2; B2; C2) , визначається як кут між N1 і

N

2 :

cosϕ = <

N1,N2 >.

(11)

| N1 | | N2 |

Ax + By + Cz + D = 0

Відстань від точки M0(x0; y0; z0) до площини

визначається за формулою:

d =

| Ax0

+ By0 + Cz0 +

D |

.

(12)

A2 + B2 + C2

Пряма в просторі.

1. Пряма, що проходить через точку M0(x0; y0; z0) паралельно до вектора a(a1; a2) , який називається напрямним вектором прямої, має рівняння виду:

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(13)
a1		a2		a3

Рівняння (13) називають канонічним рівнянням прямої.

2.Пряма, що проходить через дві точки M0(x0; y0; z0) і M1(x1; y1; z1) має рівняння виду:

x − x0 = y − y0 = z − z0 . x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

19

Нехай a = (a1; a2; a3) – напрямний вектор прямої l , а b = (b1; b2; b3) – напрямний вектор прямої m, тоді косинус кута між цими прямими визначається за формулою:

		< a,b						>.
	cos(l , m) =
		|			| | b |
			a

Приклад 3. (Задача 2.3.) В умовах прикладу 1 знайти:

1)рівняння прямої A1A2 ;

2)рівняння площини A1A2 A3 ;

3)кут між гранями A1 A2 A3 і A1A2 A4;

4)відстань від точки M до площини A1A2 A3 .

Розв’язання.

1) Скористаємося канонічним рівнянням прямої (13). За напрямний вектор даної прямої можна прийняти вектор A1A2 = (5; 3;1). Враховуючи, що пряма проходить через точку A1(−1; 0;1), дістанемо рівняння прямої A1A2 у

вигляді
(A A ) :		x +1	=	y	=	z −1	.
1	2	5	3		1
2) Запишемо рівняння площини (10), що проходить через три задані
точки A1(−1; 0;1), A2 (4; 3; 2) і	A3 (1; 2; 4):
x +1 y z −1
5 3 1 = 0 7(x +1) −13y + 4(z −1) = 0.

2 2 3

(A1A2 A3 ) : 7x −13y + 4z + 3 = 0.

3) Рівняння площини A1A2 A4 знаходимо аналогічно завданню 2):

(A1A2 A4 ) : −10x +11y +17z − 27 = 0.

Нормальні

вектори

площин A1A2 A3 і

A1A2 A4 мають

координати

відповідно

1 = (7; −13; 4) ,

2 = (−10;11;17) .

N

N

Скориставшись формулою (11), знаходимо кут між цими площинами

cosϕ =

7 (−10) + (−13) 11+ 4 17

=

−145

=

−145

=

72 + (−13)2 + 42

(−10)2 +112 +172

234

510

119340

145

29

29

= −

= −

. ϕ = arccos

−

≈ 2,00456.

345

69

69

3) Площина α , паралельна

до

площини

A1A2 A3,

одночасно

перпендикулярна до вектора

A1A2

×

A1A3

= (7; −13; 4). Оскільки вона також

проходить через точку M (2;1; 2), то за формулою (9) маємо

7(x − 2) −13(y −1) + 4(z − 2) = 0,

20