универ / математика

Задача 3.4. Обчислити наближено за допомогою диференціалу.
1.	y = arcsin0,08.										y = 3					.
										2.			27,34
		3
				3
3.	y =		x		+ 7x,				x =1,012.	4.	y =			4x −1,							x = 2,56 .
	y = (0,998)21.
5.										6.	y = 5 (1,03)2 .
													1
7.	y =		(1,97)2 + 5 .							8.	y =							,			x =1,58.
														2x +1
	y = 3
							,		x = 0,01.		y = 3 x3 + 2x + 5,
9.			3x + cos x							10.											x = 0,97 .

Задача 3.5. Знайти найбільше та найменше значення функції y = f (x) на відрізку

							[a; b].
1.	f (x) = x2 +								16	−16, a =1, b = 4.				2.	f (x) = 3 − x −								4			,a = −1, b = 2 .
																						(x +		2)2
									x
								x + cos x , a = 0, b = π .
				3
3.	f (x) =													4.	f (x) = 2				x −1		− x + 2, a =1, b = 5.
		2
											2
5.	f (x) = x − sin x, a = −π , b = π .																10x
														6.	f (x) = 1+ x2 ,										a = 0, b = 3.
7.	f (x) =				3			x − sin x,			a = 0, b = π .			8.	f (x) =	4		− 8x −15 ,a = −2, b = −									1	.
		2									2					x2									2
9.	f (x) = x − ln(1+ x),										a = −	1	, b =1.	10.	f (x) = 81x − x4 ,										a = −1, b = 4 .
											2

Задача 3.6. Дослідити методами диференційного числення функцію y = f (x)

				та побудувати її графік.
	1.	y =	x3 + 4		.					2.	y =	x2 − x +1				.
				x2								x −1
		2										4x2
	3.	y =				.				4.	y =		.
			x2 + 2x
												3 + x2
	5.	y =	x3 − 27x + 54						.	6.	y =	x2 − 6x + 9					.
				x3								(x −1)2
		4									y =	4x
	7.	y =						.		8.					.
												(x +1)2
			x2 + 2x − 3
				8x								4
		y = −										3x +1
	9.						.			10. y =				.
				x2 + 4
												x3

41

§4. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Невизначений інтеграл

Література: [6] – с. 240-270, [7] – с. 321-361, [5] – с. 575-716, [8] – с. 208-242.

Первісна

функції.

Функція

F(x) називається

первісною

функції

y = f (x)

на

проміжку (a; b) ,

якщо

F(x)

диференційована

на

(a; b)

і

F'(x) = f (x), x (a; b).

Якщо F(x) – первісна функції

y = f (x)

на

проміжку (a; b) і C –

довільна

стала,

то вираз

F(x) + C

називається

невизначеним

інтегралом

функції

y = f (x) на цьому проміжку і позначають символом ∫ f (x)dx,

f (x)

називають підінтегральною функцією,

f (x)dx

– підінтегральний вираз,

x

–

змінна інтегрування.

∫ f (x)dx = F(x) + C , якщо

F'(x) = f (x),

x (a; b).

Властивості невизначеного інтеграла:

1.

(∫ f (x)dx)'= (F(x) + C)'= F'(x) = f (x).

2.

∫dF(x) = ∫F'(x)dx = ∫ f (x)dx = F(x) + C .

3.

d(∫ f (x)dx)= (∫ f (x)dx)'dx = f (x)dx .

4.

∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx.

5.

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .

6.

Якщо

∫ f (x)dx = F(x) + C

і

u =ϕ(x)

–

довільна

функція,

що

має

неперервну похідну, то ∫ f (u)du = F(u) + C .

Таблиця інтегралів.

∫uα du =

uα +1

8.

∫ctg udu = ln

sinu

+ C.

1.

+ C, α ≠ −1.

α +1

9.

∫

du

= tg u + C.

2.

∫

du

= ln

u

+ C.

cos2 u

u

10. ∫

du

= −ctg u + C.

au

3.

∫audu =

+ C.

sin2 u

lna

11. ∫

du

= ln

tg

u

+ C.

∫eudu = eu + C.

4.

sinu

2

u

5.

∫sinudu = −cosu + C.

12. ∫

du

π

= ln

tg

+

+ C.

cosu

4

6.

∫cosudu = sinu + C.

2

13. ∫

du

= arcsinu + C.

7.

∫tg udu = −ln

cosu

+ C.

1− u2

42

14.∫

15.∫

16.∫

17.∫

18.∫

du

= arcsin

u

+ C.

a2 − u2

a

du

= ln

u + u2 ± A

+ C.

u2 ± A

du

= arctg u + C.

1+ u2

du

=

1

arctg

u

+ C.

a2 + u2

a

a

du

=

1

u − a

+ C.

ln

u2 − a2

u + a

2a

19.∫sh udu = ch u + C.

20.∫ch udu = sh u + C.

21. ∫	du			= th u + C.
	ch	2
			u
22. ∫	du			= −cth u + C.
	sh	2
			u

Метод безпосереднього інтегрування. Обчислення інтегралів за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів називають безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1. (Задача 4.1(а)) Знайти невизначений інтеграл

∫

(x +

arcsin x)dx

.

1− x2

Розв’язання:

∫

(x +

arcsin x)dx

= ∫

x

dx + ∫

arcsin x

dx = −

1

∫

− 2x

dx + ∫arcsin x

dx

=

1− x2

1− x2

1− x2

1− x2

1− x2

2

1

1

−

2)

2

1

1 (1

− x

2

(arcsin x)

= −

∫(1− x2)

2 d(1− x2) + ∫arcsin xd(arcsin x) = −

+

+ C =

2

2

1

2

2

arcsin2 x

=

−

1− x2 + C.

2

Заміна змінної. Суть даного методу полягає у введенні нової змінної

інтегрування. Він ґрунтується на такій теоремі:

Нехай

F(x)

– первісна

функції

f (x) на

проміжку

(a; b) , тобто

∫ f (x)dx = F(x) + C,

x (a; b), і

нехай

функція

x =ϕ(t)

визначена

і

диференційовна на проміжку (α; β ), причому

a =ϕ(α), b =ϕ(β ). Тоді

справедливою є формула:

∫ f (ϕ(t)) ϕ'(t)dt = F(ϕ(t)) + C .

Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл ∫

dx

.

2x +1 +

5

43

Розв’язання:

1

2x +1= t2,

x =

t2 −1

,

tdt

(t + 5) − 5

5

∫

dx =

2

= ∫

= ∫

dt = ∫ 1−

dt =

2x +1 + 5

t + 5

t + 5

t +

5

dx = tdt, t =

2x +1

= ∫dt − 5∫

dt

= t − 5∫

d(t + 5)

= t − ln

t + 5

+ C =

+ 5

+ C.

2x +1

− 5ln

2x +1

t + 5

t + 5

Інтегрування частинами. Справедлива формула ∫udv = uv − ∫vdu , u(x) і

v(x) диференційовні на деякому проміжку функції. Дана формула дає змогу звести обчислення інтеграла ∫udv до обчислення інтеграла ∫vdu . Для цього необхідно провести розбиття підінтегрального виразу udv на u і dv так, щоб отриманий ∫vdu був простіший вихідного. Вкажемо для деяких типів інтегралів зручне розбиття підінтегрального виразу.

∫P(x)sin kxdx

sin kxdx

І. ∫P(x)coskxdx

u

= P(x), dv =

– многочлен, k – дійсне

coskxdx , P(x)

ekxdx

∫P(x)e

kx

dx

число.

∫P(x)ln xdx

ln x

∫P(x)arcsin xdx

arcsin x

P(x) – многочлен.

ІІ. ∫P(x)arccosxdx u = arccosx, dv = P(x)dx, ,

∫P(x)arctg xdx

arctg x

arcctg x

∫P(x)arcctg xdx

Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл ∫(x +1)exdx.

Розв’язання:

∫(x +1)exdx =

u = x +1, du = dx,

= ex

(x +1) − ∫exdx =ex (x +1) − ex + C =

dv = exdx,

v = ex

= xex + C.

44

Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл ∫x3 ln xdx .

Розв’язання:

u = ln x,

du =

1

dx,

x4

x4

1

x4

1

∫x3 ln xdx =

x

=

ln x − ∫

dx =

ln x −

∫x3dx =

4

4 x

dv = x3dx, v =

x

4

4

4

4

= x4 ln x − 1 x4 + C.

416

Інтегрування найпростіших дробів. Раціональним дробом називається

вираз P(x) , де P(x) і Q(x) – многочлени. Раціональний дріб називається

Q(x)

правильним, якщо степінь многочлена P(x) менший степеня многочлена Q(x) . У противному випадку дріб називається неправильним.

Найпростіші (елементарні) дроби:

1)

A

;

x − a

2)

A

, де m Z, m >1;

(x − a)m

3)

Ax + B

, де

p2

− q < 0, тобто квадратний тричлен x2 + px + q не має

x2 + px + q

4

дійсних коренів;

4)

Ax + B

, де n Z, n >1, x2 + px + q не має дійсних коренів.

(x2 + px + q)n

Інтеграли від елементарних дробів 1-2 типу:

1)

∫

A

dx = Aln

x − a

+ C ;

x

− a

1

A

2)

∫

A

dx = −

+ C ;

m −1 (x − a)m−1

(x − a)m

3)

Щоб обчислити інтеграл 3-го типу необхідно:

а) виділити в чисельнику похідну знаменника;

б) розбити інтеграл на два;

в) у другому інтегралі виділити у знаменнику повний квадрат.

4)

Інтегрування дробів 4-го типу див. [7] стор. 353, 341-342.

45

Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл ∫

2x + 3

dx .

x

2 + 4x +10

Розв’язання:

∫

2x + 3

dx =

(x2 + 4x + 9)'= 2x + 4

= ∫

2x + 4 −1

dx = ∫

2x + 4

dx −

x

2 + 4x + 9

d(x2 + 4x + 9)

x2 + 4x + 9

x

2 + 4x + 9

− ∫

1

dx = ∫

− ∫

dx

= ln

x2 + 4x + 9

−

x2 + 4x + 9

x2 + 4x + 9

(x + 2)2

+ 5

− ∫

d(x + 2)

1

arctg

x +

2

+ C.

= ln

x2 + 4x + 9

−

(x + 2)2 + (

5)2

5

5

Інтегрування раціональних дробів за допомогою розкладу на елементарні дроби.

Перед інтегруванням раціонального дробу P(x) необхідно зробити такі

Q(x)

алгебраїчні перетворення та обчислення:

1)якщо задано неправильний дріб, то виділити з нього цілу частину, тобто подати його у вигляді

P(x)	= M (x) +	P1(x)	, де M (x) – многочлен,	P1(x)	– правильний
Q(x)
		Q(x)		Q(x)

раціональний дріб; 2) розкласти знаменник дробу на множники

Q(x) = (x − a)m…(x2 + px + q)n…,

де x2 + px + q має комплексні спряжені корені;

3) правильний раціональний дріб розкласти на суму елементарних дробів:

P1(x)

=

A1

+

A2

+…+

Am

+…

(x − a)m

(x − a)m−1

Q(x)

(x − a)

…+

B1x + C1

+

B2x + C2

+…

Bnx + Cn

+…;

(x2 + px + q)n

(x2 + px + q)n−1

(x2 + px + q)

4) знайти невизначені коефіцієнти

A1, A2,…, Am,…, B1, B2,…, Bn,…, C1, C2,…, Cn,…,

для чого звести останню рівність до спільного знаменника, прирівняти коефіцієнти при однакових степенях x в лівій і правій частинах отриманої тотожності і розв’язати систему лінійних рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів. Можна визначити коефіцієнти іншим способом, надаючи в отриманій тотожності змінній x довільні числові значення. Часто корисно комбінувати обидва способи обчислення коефіцієнтів.

46

Приклад 6. (Задача 4.2(б)) Знайти ∫

dx

.

x

5 − x2

Розв’язання:

Розкладемо на множники знаменник:

x5 − x2 = x2(x3 −1) = x2(x −1)(x2 + x +1) .

Тоді

1

=

1

=

A1

+

A2

+

A3

+

Bx+ C

=

x5 − x2

x2

x2(x −1)(x2 + x +1)

x x −1

x

2 + x +1

При

(x −1)(x2 + x +1)

2 + x +1) + A x2(x2

+ (Bx+ C)x2

A

+ A x(x −1)(x

+ x +1)

(x −1)

=

1

2

3

.

x2(x −1)(x2 + x +1)

рівняємо чисельники дробів:

1= A (x −1)(x2

+ x +1) + A x(x −1)(x2 + x +1) + A x2(x2

+ x +1) + (Bx+C)x2(x −1).

1

2

3

При

x = 0

будемо мати

1= −A1 A1 = −1.

При

x =1 будемо мати

1= 3A A =

1

. Запишемо попередню рівність у вигляді

3

3

3

1= A1(x3 −1) + A2(x4 − x) + A3(x4 + x3 + x2) + Bx4 + Cx3 − Bx3 − Cx2. Прирівняємо коефіцієнти при x4, x3, x2 :

x4 : A2 + A3 + B = 0, x3 : A1 + A3 + C − B = 0,

x2 : A3 − C = 0.

Отримали систему лінійних рівнянь, із якої знайдемо невідомі

C = A C =

1

,

A

+ A + B = 0,

3

3

2

3

1

1

A1 + A3 + C − B = 0,

B = A1 + A3 + C = −1+

+

3

3

A − C = 0.

3

= −B − A

= −

1

+

1

= 0.

A

2

3

3

3

Тоді

1

= −

1

+

1

−

x −1

, а отже

x5 − x2

x2

3(x −1) 3(x2 + x +1)

∫

1

dx = −∫

1

dx +

1

∫

1

dx −

1

∫

x −1

dx =

x5 − x2

x2

3

x −1

3

x

2 + x +1

=

1

+

1

ln

x −1

−

1

∫

2x +1− 3

dx =

1

+

1

ln

x −1

−

1

∫

(2x +1)

dx +

x 3

6

x2 + x +1

x 3

6

x2 + x +1

A2, B, C .

=− 1, 3

47

+

1

∫

dx

=

1

+

1

ln

x −1

−

1

ln

x2 + x +1

+

1

2

arctg

2x

+

1

+ C =

1

3

2

(x +

)

2

+

x

3

6

2

3

3

2

4

=

1

+

1

x −1

−

1

+

1

arctg

2x

+

1

+ C.

ln

ln

x2 + x +1

x

3

6

3

3

Інтегрування ірраціональних функцій .

n1

n2

n3

n4

ni, si

І. Інтеграли виду

∫R x s1 , x s2 , x s3

, x s4 ,… dx,

де

(i =1,2,…)

– цілі

числа,

обчислюються

за

допомогою

підстановки

x = tk ,

де

k = HCK(s1, s2, s3,…) – найменше спільне кратне чисел s1, s2, s3,….

n1

n2

ax

+ b s

ax

+ b s

ІІ. Інтеграли виду

∫ R x,

1

,

2

,… dx, де

ni, si (i =1,2,…)

cx

+ d

cx + d

– цілі числа,

a

≠

b

, обчислюються за допомогою підстановки

ax + b

= tk , де

c

d

cx + d

k = HCK(s1, s2,…) .

c = 0, d =1,

Якщо

в

інтегралі

типу

(ІІ)

то

він

набуває

виду

n1

n2

∫R x,(ax + b)s1

, (ax + b)s2 ,… dx .

Даний інтеграл обчислюється за допомогою

підстановки ax + b = tk , де k = HCK(s , s

2

,…).

1

ІІІ. Інтеграли, які містять ірраціональний вираз

ax2 + bx + c .

а) ∫

dx

. Щоб обчислити даний інтеграл необхідно:

ax2 + bx + c

1) винести за знак інтеграла

1

;

| a |

2) виділити повний квадрат у підкореневому виразі.

Тоді даний інтеграл зведеться до табличного

dx

dx

= arcsin

u

+ C , якщо

∫

= ln

u +

u2 ± A

+ C , якщо a > 0, або ∫

2 ± A

A2 − u2

u

A

a < 0, b2 − 4ac > 0.

48

Ax + B

б) ∫ dx . Щоб обчислити даний інтеграл необхідно: ax2 + bx + c

1)виділити похідну підкореневого виразу у чисельнику;

2)розбити інтеграл на два;

3)перший інтеграл обчислити за правилом інтегрування степеневої функції, другий як інтеграл типу а).

ІV. Інтеграли виду

∫R(x, a2 − x2 )dx, ∫R(x,

x2 − a2 )dx, ∫R(x, a2 + x2 )dx

зводяться до інтегралів від раціональних функцій відносно

sint

чи cost за

допомогою підстановок:

а) ∫R(x,

a2 − x2 )dx → x = asint (x = acost) ;

б) ∫R(x,

)dx → x =

a

(x =

a

) ;

x2 − a2

sint

cost

в)

∫R(x,

x2 + a2 )dx → x = a tg t (x = a ctg t).

Приклад 7. (Задача 4.1) Знайти невизначений інтеграл

∫

3x −

7

dx .

5x2 + 8x +1

Розв’язання:

(10x + 8)

3

−

24

− 7

3x − 7

3

(10x + 8)

∫

dx =

∫

10

10

dx =

∫

dx −

10

2

2

2

5x

+ 8x +1

5x

+ 8x +1

5x

+ 8x +1

−

94

∫

dx

=

3

∫

d(5x

2 + 8x +1)

94

∫

dx

dx −

=

10

10

5x2 + 8x +1

5x

2 + 8x +1

10 5

x

2

+

8

x +

1

5

5

3

94

dx

3

=

5x2 + 8x +1 −

∫

=

5x2 +8x +1 −

5

10

5

5

8

2

64

1

x

+

−

+

10

5

100

94

dx

3

2

47

8

2

8

1

−

∫

=

5x

+8x +1−

ln

x +

+

x

+

x +

+ C.

5

5

10

5

5

10 5

8

2

22

5

x +

−

10

50

49

Приклад 8. (Задача 4.1) Знайти невизначений інтеграл ∫x2 4 − x2dx.

Розв’язання:

∫x2 4 − x2 dx = x = 2sint, = ∫4sin2 t4 − 4sin2 t 2costdt = dx = 2costdt

= 8∫sin2 t 2

1− sin2 t

costdt =16∫sin2 tcos2 tdt =16∫(

1

2sintcost)2 dt =

2

= 4∫sin2 2tdt = 4∫

1− cos4t

dt = 2∫dt − 2∫cos4tdt = t −

1

sin 4t + C =

2

2

=

x = 2sint,

= 2arcsin

x

−

1

sin(4arcsin

x

) + C.

x

x

sint =

, t = arcsin

2 2

2

2

2

Інтегрування тригонометричних функцій .

Інтеграли виду ∫R(sin x, cos x)dx зводяться до інтегралів від раціональних

функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

x

= t,

sin x =

2t

cos x =

1− t

2

dx =

2dt

tg

,

,

.

2

1+ t2

1+ t

2

1+ t2

Проте в деяких випадках обчислення

∫R(sin x, cos x)dx

може

бути

спрощеним використанням інших підстановок:

1) Якщо

R(sin x, cos x)

непарна

відносно

sin x

( R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)),

використовується

підстановка

cos x = t,

dt = −sin xdx.

2) Якщо

R(sin x, cos x)

непарна

відносно

cos x

( R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) ),

використовується

підстановка

sin x = t, dt = cos xdx.

3) Якщо

R(sin x, cos x)

парна

відносно

і

sin x ,

і

cos x

( R(−sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)),

використовується

підстановка

tg x = t, sin x =

t

, cos x =

1

,

dx =

dt

.

1+ t2

1+ t2

1+ t2

Інтеграли

типу

∫sinn x cosm xdx,

де

n

і

m –

парні додатні

числа,

обчислюються з допомогою перетворень підінтегральної функції за формулами:

	sin2 x =	1− cos2x	, cos2 x =	1+ cos2x	.
	2		2			2 − sin x
	Приклад 9. (Задача 4.1) Знайти невизначений інтеграл ∫						dx.
						1+ cos x

50