универ / математика

Приклад 6. (Задача 5.5.) Знайти найбільше і найменше значення функції z = f (x, y) в замкненій області D , яку задано системою нерівностей. Зробити схематичний рисунок області.

z = 3x2 + 3y2 − 2x − 2y + 2; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤1.

Розв’язання.

Зробимо рисунок області D .

1)Будуємо лінії, рівняння яких дістаємо заміною знаків нерівностей на

знаки рівностей:

x = 0, y = 0, x + y =1.

2)Визначаємо частину площини, яка відповідає кожній нерівності.

а) Для x ≥ 0 беремо точку, яка не належить прямій x = 0, наприклад, (1;0). Підставляємо її координати в нерівність x ≥ 0, тобто 1≥ 0. Так як нерівність вірна, то частина площини, якій належить точка (1;0), і є

розв’язком нерівності. Заштрихуємо цю частину площини.
б) Для	y ≥ 0	беремо	точку (1;2). Підставляємо її	координати у
нерівність,	тобто	2 ≥ 0.	Нерівність вірна, значить	заштриховуємо
півплощину над віссю Ox .
в) Для	x + y ≤1 беремо точку (0;0). Підставляємо її координати у

нерівність, одержуємо 0 + 0 ≤1. Нерівність вірна, значить заштриховуємо півплощину під прямою x + y =1.

3)Визначаємо частину площини, де одночасно перетинаються всі заштриховані півплощини, це й буде шукана область D (рис. 1).

4)Знайдемо стаціонарні точки функції z, які містяться всередині заданої

області.

z′x = 6x − 2, z′y = 6y − 2.

Прирівняємо частинні похідні до нуля і розв’яжемо систему, що

утворилася:
	6x − 2 =												x =				1		,
						0,
																	3
																	1
	6y − 2 = 0;															=				.
													y
																	3
						1					1
Маємо стаціонарну точку					M			;				, яка є внутрішньою точкою області
						3					3
D . Значення функції в цій точці
	1			2			1					2	− 2	1		−	2				1	+ 2	=	4
z(M ) = 3					+ 3																				.
														3							3			3
	3						3

71

y

x = 0

1B

D

y = 0

A

O

1

x + y = 1

x

Рис. 1

2) Визначимо найбільше і найменше значення заданої функції на межі

області.

На відрізку OA

маємо

y = 0, тому

функція

запишеться у

вигляді

z(x;0)

= z

= 3x2 − 2x + 2,

0 ≤ y ≤1. Таким

чином,

потрібно дослідити на

1

екстремум

функцію

однієї

змінної:

z′ = 6x −

2,

6x − 2 = 0,

x =

1

,

1

3

		1				1		2
z				= 3
						3
1		3

z(A) = 3.

− 2 1 + 2 = 5. Крім того на кінцях проміжку маємо z(O) = 2,

33

На відрізку OB

маємо x = 0, звідки

z(0; y) = z2 = 3y2 − 2y + 2,

0 ≤ x ≤1.

′

1

1

5

=

y =

,

z2

;

z(B) = 3.

Отже, z2 = 6y − 2, 6y − 2 = 0,

3

3

3

На відрізку AB маємо y =1− x

z(x;1− x) = z3 = 3x2 + 3(1− x)2 − 2x − 2(1− x) + 2 = 6x2 − 6x + 3,

0 ≤ x ≤1.

Рівняння 6x2 − 6x + 3 = 0 в

дійсній області

розв’язків

не

має,

оскільки його

дискримінант менший нуля.

4

1

5

3) Порівнюючи

значення

z(M ) =

,

z

=

,

z(O) = 2,

z(A) = 3,

3

1 3

3

1

5

z2

=

,

z(B) = 3, приходимо до висновку, що найбільшого значення функція

3

3

набуває

на

межі області в

точках

A і

B :

max

z = 3,

а найменшого – в

(x, y) D

середині області в точці M :

min

z =

4

.

(x, y) D

3

72

Задачі контрольної роботи № 5

Задача 5.1. Маємо z = f (x, y). Довести, що

F(x; y; z;

∂z ;

∂z ; ∂2 z

;

∂2 z

; ∂2 z) = 0.

∂x

∂y ∂x2

∂x∂y ∂y2

1.

z =

y

; F =

1

∂z +

1

∂z −

z

.

(x2 − y2 )5

x

∂x y

∂y y2

2.

z =

y2

+ arcsin(xy) ;

F = x2

∂z

− xy

∂z

+ y2 .

3x

∂x

∂y

3.

z = ln(x2 + y2 + 2x +1) ;

F =

∂2 z

+

∂2 z

.

∂x

2

∂y2

4.

z = exy ; F = x2 ∂2 z

− 2xy

∂2 z

+ y2 ∂2 z

+ 2xyz .

∂x2

∂x∂y

∂y2

5.

z = ln(x + e− y ) ; F =

∂z

∂2 z

−

∂z

∂2 z .

∂x

∂x∂y

∂y

∂x2

6.

z =

x

;

F = x

∂2 z

− ∂z .

y

∂x∂y

∂y

7.

z = xy ; F = y

∂2 z

− (1

+ yln x)

∂z .

∂x∂y

∂x

y

; F = x2 ∂2 z + 2xy

∂2 z

+ y2 ∂2 z .

8.

z = xe

x

∂x2

∂x∂y

∂y2

9.

z = sin(x + ay) ; F =

∂2 z

− a2 ∂2 z .

∂y2

∂x2

10. z = cos y + (y − x)sin y ;

F = (x − y)

∂2 z

−

∂z .

∂x∂y

∂y

Задача 5.2. Задані функція z = f (x, y) і точки A(x0; y0 ) і B(x1; y1) .

1.Обчислити значення z1 = f (B) = f (x1; y1) ;

2.Обчислити наближене значення z1 за допомогою повного диференціала;

3.	Знайти відносну	похибку	(у відсотках)	при заміні приросту	z
	диференціалом dz ;
4.	Написати рівняння	дотичної	площини до	поверхні z = f (x, y) в точці

C(x0; y0; z0 ) .

1. z = x2 + xy + y2 ; A(1; 2); B(1,02;1,96) .

73

2.	z = 3x2 − xy + x + y ; A(1; 3); B(1,06; 2,92).
3.	z = x2 + 3xy − 6y ; A(4; 1); B(3,96; 1,03) .
4.	z = x2	− y2 + 6x + 3y ; A(2; 3); B(2,02; 2,97).
5.	z = x2	+ 2xy + 3y2 ; A(2;1); B(1,96;1,04) .
6.	z = x2	+ y2 + 2x + y −1; A(2; 4); B(1,98; 3,91) .
7.	z = 3x2 + 2y2 − xy ; A(−1; 3); B(−0,98; 2,97) .
8.	z = x2	− y2 + 5x + 4y; A(3; 2); B(3,05;1,98) .

9.z = 2xy + 3y2 − 5x ; A(3; 4); B(3,04; 3,95) .

10.z = xy + 2y2 − 2x; A(1; 2); B(0,97; 2,03) .

Задача 5.3. Знайти похідну скалярного поля U(x; y; z) в точці M за напрямком

нормалі до поверхні σ , яка утворює гострий кут з додатним

напрямком вісі OZ .

1.

U = 4ln(3 + x2 ) − 8xy ; σ : x2 − 2y2 + 2z2 =1; M (1;1;1) .

2.

U = x

+ y

; σ :4z + 2x2 − y2 = 0; M (2; 4; 4).

y

z

3.

U = −2ln(x2 − 5) − 4xyz ; σ : x2 + 2y2 − 2z2 =1; M (1;1;1) .

1

x2 y −

; σ : z2 = x2 + 4y2 − 4; M (−2;

1

;1) .

4.

U =

x2 + 5z2

4

2

5.

U = xz2 − x3 y ; σ : x2 − y2 + 3z +12 = 0; M (2; 2; 4).

6.

U = x

− yz2 ; σ : x2 + y2 = 4z; M (2;1; −1).

y

1

2

2

2

2

7.

U = 7ln

+ x

− 4xyz ; σ :7x

− 4y

+ 4z

= 7 ; M (1;1;1) .

13

8.

U = arctg

y

+ xz ; σ : x2 + y2 − 2z =10 ; M (2; 2; −1) .

x

9.

U = ln(1+ x2 ) − xy

; σ :4x2 − y2 + z2 =16; M (1; − 2; 4) .

z

10.U =

x2 + y2

− z ; σ : x2 + y2 = 24z; M (3; 4;1).

Задача 5.4. Знайти кут між градієнтами скалярних полів U(x; y; z) і V (x; y; z) в

		точці M .
	x3				yz2				1				1
1. V =		+ 6y3 + 3 6z3 ; U =				; M 2;						;			.
					x2
	2								2				3

	4 6			6		3			1				3
2. V =			−		+		; U = x2 yz3	; M	2;		;				.
	x			9y		x			3				2

74

															y3													4z3												z3
																																																								1																					3
3.	V = 9 2x3 −																									−								; U =													; M														; 2;																						.
																																												2
													2							2								3											xy																	3																					2
		3					4						1																						z																				1
4.	V =		+							−												; U =															;		M 1; 2;																							.
																															x3 y2
		x y													6z																																									6
		x	3																																			x2																							1																	1
						+ 6y3 + 3 6z3 ; U =
5.	V =																																										; M											2;																			;													.
																																					yz2
		2																																																											2																				3
														y2																													z2
																																																											1																		2
6.	V = 3 2x2 −																					− 3 2z												2; U =															; M																; 2;																					.
																																														2
													2																												xy																		3																		3
																																											xz				2														1																1
	V = 6 6x3 − 6 6y3 + 2z3 ; U =
7.																																																		; M																					;														;1 .
																																													y																6																6
																																			yz2													1								1					1
			6							6										2
8.	V =						−							+												;		U =										; M														;														;												.
		2x								2y 3z																									x													2								2 3
														y2																											xy2
																																																											1																		2
9.	V = 3 2x2 −																					− 3 2z												2; U =															; M																; 2;																					.
																																													2
													2																														z																3																		3
		3					4						1																		x3 y2																								1
10.V =			+							−												; U =																; M 1; 2;																								.
		x							y						6z																				z																					6

Задача 5.5. Знайти найбільше та найменше значення функції z = f (x, y) в замкненій області D , яку задано системою нерівностей. Зробити рисунок.

1. z = x2 + y2 − 9xy + 27; 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3. 2. z = x2 + 2y2 +1; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3.

3. z = 3 − 2x2 − xy − y2; x ≤1, y ≥ 0, y ≤ x .

4.z = x2 + 3y2 + x − y; x ≥1, y ≥ −1, x + y ≤1.

5.z = x2 + 2xy + 2y2; −1≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2 .

6.z = 5x2 − 3xy + y2 + 4; x ≥ −1, y ≥ −1, x + y ≤1.

7.z =10 + 2xy − x2; 0 ≤ y ≤ 4 − x2 .

8.z = x2 + 2xy − y2 + 4x; x ≤ 0, y ≤ 0, x + y + 2 ≥ 0.

9.z = x2 + xy − 2; 4x2 − 4 ≤ y ≤ 0 .

10.z = x2 + xy; −1≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 3.

75

Література:

1.Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії./ В.І. Діскант, Л.Р. Береза, О.П. Грижук, Л.М. Захаренко. – К.: Вища шк., 2001. – 303 с.

2.Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для втузов. –М.: Высш. шк., 1972. – 640 с.

3.Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников химико-технологических специальностей высших учебных заведений. / С.Г. Григорьев, О.В. Мантуров, Е.С. Мироненко; под ред.

О.В. Мантурова. – 2-е изд. перераб. – М.: Высш. шк., 1987. – 80 с.

4.Вища математика. Збірник задач: Навч. посібник / В.П. Дубовик, І.І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2001. – 480 с.

5.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков: Издательство Харьковского Университета, 1967. – 946 с.

6.Бермант А.Р., Арамович И.Г. Краткий курс математического анализа (для втузов). – М.: Наука, 1973. – 720 с.

7.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. – 648 с.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. І.

– М.: Высш. шк., 1986. – 415 с.

ЗМІСТ
ВСТУП ..........................................................................................................	3
§1. Елементи лінійної алгебри....................................................................	4
Задачі контрольної роботи № 1............................................................	11
§2. Аналітична геометрія.............................................................................	13
Задачі контрольної роботи № 2............................................................	22
§3. Введення в математичний аналіз.
Диференціальне числення функції однієї змінної..............................	23
Задачі контрольної роботи № 3............................................................	37
§4. Інтегральне числення функції однієї змінної......................................	42
Задачі контрольної роботи № 4............................................................	60
§5. Диференціальне числення функції багатьох змінних ........................	64
Задачі контрольної роботи № 5............................................................	73
ЛІТЕРАТУРА.................................................................................................	76

76