3. Кортеж. Длина кортежа

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, …, n – я – множеству А_n.

Декартово произведение множеств А₁, А₂, …, А_n обозначают так: А₁ А₂ … А_n.

Пример

Даны множества: А₁= 2, 3, А₂= 3, 4, 5, А₃ = 6, 7. Найти А₁ А₂ А₃.

Решение

Элементами множества А₁ А₂ А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

А₁ А₂ А₃ =(2,3,6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7).

Практическая работа. Декартово произведение

Цель. Уметь решать практические задачи на понятие декартова произведения и его свойств.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Декартово произведение множеств.

2. Свойства операции декартова произведения.

3. Кортеж. Длина кортежа.

Основные понятия

• декартово произведение множеств;

• кортеж; длина кортежа.

Обозначения

А  В = (х, у)  х  А и х  В - запись определения декартова произведения множеств А и В.

• Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, декартово произведение.

• Свойства этих операций:

• дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:   С    С    С,  \   С    С \   С.

Правила

• Нахождения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств: n (А  В) = n (А)  n (В).

Практическая часть

Обязательные задания

1. Элементами множеств А и В являются пары чисел: А = (1,12), (2, 9), (3,6), (4, 3), (5, 0), В = (1,9), (2,7),(3,6), (4,7), (5,0). Найдите пересечение и объединение данных множеств.

2. Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова произведения множеств?

3. Перечислите элементы декартова произведения   В, если: а) А = a,b,c, d, B =  b, k, l; б) А = В = a, b, c; в) А = a, b, c, В = .

4. Даны множества А = 1, 3, 5 и В = 2, 4. Перечислите элементы множеств   В и В  А. Верно ли, что: а) Множества   В и В  А содержат одинаковое число элементов; б) Множества   В и В  А равны?

5. Проверьте справедливость равенства   С    С    С для множеств А = 3, 5, 7, В = 7, 9, С = 0, 1. Выполняется ли для них равенство  \   С    С \   С) ?

6. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове? Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа.

7. Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа цифр в его записи?

8. Изобразите в прямоугольной системе координат множество   В, если: а) А = -2; 2. В = 2, 3, 4; б) А = -2; 2. В = (2, 4); в) А = R, В = 2; 4.

Творческие задания

1. Изобразите на декартовой плоскости множество 0;1)  (0,1); 0;10;1);  0; 1)  R; N  R; N  1;2;1;2  N; 5;6;9 R.

2. В звене 7 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать пару учеников, состоящую из мальчика и девочки, для дежурства по классу?

3. В каких случаях АВ = ВА?

4. Составьте таблицу результатов однокругового шахматного турнира трех: Иванова, Петрова, Сидорова (результаты возьмите произвольно).

5. Фабрика верхнего трикотажа изготовляет мужские пуловеры, женские костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую декартово произведение множества изделий и множества цветов, и заполните ее.

6. Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариантов: а) У продавца имеется три варианта мороженного: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки? б) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?