учебное пособие(мат)

11

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дискон-

тирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

S P(1 nis ) , то в обратной

	1		Рис.1.2.
P S		.
	1 nis

(1.7)

Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D S P .

(1.8)

Пример. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых (простые проценты). Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

	Решение
P	310000	287328 руб .

1 180365 0,16

Банковский или коммерческий учет. Операция учета (учета век-

селей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная

ставка ds.

По определению, простая годовая учетная ставка находится так:

12

	d			S P		(1.9)
		s		S n
	Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
	D S n d ,					(1.10)
	откуда
	P S D S Snds S(1 nds )					(1.11)

Множитель (1 – nds) называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Пример. Вексель выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2008г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2008 г. по простой учетной ставке 20 % (365/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Определить полученную при учете сумму и дисконт.

Решение

P 1000000(1 36055 0,2) 969444 руб.

D S P 1000000 969444 30556 руб.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

S P	1					(1.12)
	1 nds
Множитель наращения здесь равен	1	nd			)	.
	(1			s

Пример. Какую сумму нужно проставить в векселе, если сумма долга составляет 1 млн. руб., срок договора 258 дней (365/360). Применяется простая учетная ставка 18 % годовых.

			Решение
	S 1000		1		1148,105 тыс. руб.
			258
	1			0,18
			360

При разработке условий контрактов или их анализе и сравнении возникает необходимость в решении ряда, если так можно назвать, вторичных задач — определении срока ссуды и размера процентной

13

ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях. Определение срока договора. Необходимые для расчета продол-

жительности ссуды в годах и днях формулы получим из формулы наращения простых процентов (1.1). Срок в годах и днях:

n	S P	;	t	S P	K .	(1.13)
	Pis			Pis

Напомним, что n = t/К, где K — временная база.

Пример. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25 % годовых

(365/365)?

Решение

n120 100 0,8 г ода; 100 0,25

t 0,8 365 292 дня .

Определение величины процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Решив выражение (1.1) относительно is, получим искомую формулу:

i

S P

(1.14)

s Pn

Пример. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (365/365). Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки простого процента.

Решение

110 90

is 0,6759 или 67,59 %. 90 120365

ТЕМА 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

2.1. Наращение по сложным процентным ставкам

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансовокредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически

Рис. 2.1

14

сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют

капитализацией процентов.

Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

n — срок, число лет (периодов) наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Наращенная сумма долга с присоединенными процентами через один год составит P(1 i) , через 2 года P(1 i)(1 i) P(1 i)2 ,

через n лет - P(1 i)n . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:

S P(1 i)n .

(2.1)

Множитель наращения (1 i)n называют мультиплицирующим

множителем.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Для того, чтобы сопоставить результаты наращения по простым и сложным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения:

— для срока меньше года простые проценты больше сложных:

(1 nis ) (1 i)n

— для срока больше года сложные проценты больше простых:

(1 nis ) (1 i)n

15

— для срока, равного году, множители наращения равны друг дру-

гу.

Заметим также, что при n > 1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. рис. 2.1.

Пример. Какой величины достигает долг, равный 100 тыс. руб. через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Решение

S 100(1 0,155)5 205,546 тыс.руб.

При расчете наращенной суммы по простой процентной ставке получим:

S 100(1 5 0,155) 177,5 тыс.руб.

Если ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид:

S P(1 i )n1	(1 i	)n2 ...(1 i )nk	(2.2)
1	2	k

где i1, i2, …, ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2, …, nk, соответственно.

Пример. Срок ссуды — 5 лет, процентная ставка в первые два года 12,5 % годовых и 12,75 % в оставшиеся три года. Определить множитель наращения.

Решение

q (1 0,125)2 (1 0,1275)3 1,81407

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом, т.е.

n a b ,

(2.3)

где а – целая часть числа и b – дробная.

В этом случае, как правило, применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (2.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

S P(1 i)a (1 bi) ,

(2.4)

где n = a + b – срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом на-

16

числения является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для n < 1 справедливо соотношение 1 + n·i > (1 + i)n. Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

Пример. Кредит в размере 300 тыс. руб. выдан на 2 года и 160

дней ( n 3160365 3,4384 ) под 16,5% сложных годовых. Определить

сумму на конец срока. Расчет провести двумя методами.

Решение

1.S 300(1 0,165)3,4384 507,197 тыс.руб.

2.S 300(1 0,165)3 (1 0,4384 0,165) 508,673 тыс.руб.

Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j, которую указывают в договоре, называют номинальной. Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

		j N
S P 1				,	(2.5)
		m

где N = mn — общее количество периодов начисления.

Пример. Какой величины достигает долг, равный 100 тыс. руб. через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? Проценты начисляются поквартально (m = 4).

		Решение
		0,155		5 4
S 100 1				213,905 тыс.руб.
		4

Эффективная ставка. Введем понятие действительной, или эф-

фективной ставки процента. Эффективная ставка процента измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

17

Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

	n			j mn
(1 i)		1				(2.6)
				m

Из равенства множителей наращения следует

		j m
i 1				1	(2.7)
		m

Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда, кстати, следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

Пример. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25 % при помесячном начислении процентов?

				Решение
		0,25	12
i 1				1 0,2807 или 28,07 %.
		12

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении номинальной ставки j по заданным значениям i и m. Из

равенства множителей наращения (2.6) в этом случае находим:
j m m 1 i 1	(2.8)

Пример. Какую номинальную ставку необходимо указать в договоре, чтобы обеспечить доходность 25 % годовых при ежемесячном (m = 12) начислении процентов?

Решение

j 12 12 1 0,25 1 0,2252 или 22,52 % .

18

2.2. Дисконтирование и учет по сложным процентным ставкам

Математическое дисконтирование. На основе формулы нара-

щения по ставке сложных процентов (2.1) (напомним ее S P(1 i)n ), получим

			P	S		(2.9)
				(1 i)n
Величину		1	называют	дисконтирующим,		множителем.
		i)n
(1

Значения этого множителя табулированы.

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют совре-

менной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Пример. Сумма в 500 тыс. руб. выплачивается через 5 лет. Определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых.

	Решение
P	500	283,713 тыс.руб.
	(1 0,12)5

Если проценты начисляются m раз в году, то формула для расчета первоначальной Суммы будет:

P S	1
	(1 j / m)mn .	(2.10)

Банковский учет. В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

P S(1 d)n ,

(2.11)

где d - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен

D S P S S(1 d)n .

(2.12)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

19

Пример. Долговое обязательство на сумму 500 тыс. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?

Решение

P 500(1 0,15)5 221,853 тыс.руб.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул

(3.11) следует:

S	P
	(1 d )n .	(2.13)

1

Множитель наращения здесь равен (1 d )n .

При разработке условий финансовых операций часто сталкиваются с необходимостью решения обратных задач — расчетом продолжительности договора или уровня процентной ставки. Для получения соответствующих формул необходимо решить уравнения (2.1) и (2.5), связывающие Р и S, относительно интересующих нас величин.

Определение срока договора. При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (2.1) и (2.5) получим:

nlog( S P) log(1 i)

n	log( S P)
			j
	m log 1
			m

(2.14)

(2.15)

Пример. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. руб. достигнет 200 тыс. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15 % раз в году (m = 1) и поквартально (m = 4)?

		Решение
n		lg( 200 / 75)	7,0178 г ода,
		lg1.15
		lg( 200 / 75)
n				6,6607 г ода.
	4 lg(1 0,15 / 4)

гае е — основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста как . Теперь можно записать

S Pe n (2.19)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и силы роста. Последняя представляет собой номинальную ставку сложных процентов j при m .

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения

20

Определение величины процентной ставки. Необходимые фор-

мулы для расчета ставок i, j при различных условий наращения процентов получим при решении уравнений, связывающих S и Р.

i n S / P 1,			(2.16)
j m(mn S / P 1) .			(2.17)

Пример. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его цена 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных процентов?

Решение

i 2,5 1,6 1 0,2068 или 20,68 %.

2.3. Непрерывное наращение и дисконтирование

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Рассмотрим в качестве примера случай, когда сила роста постоянна во

времени. Формулу наращения для этого случая получим из (2.5) при

m .

		j mn			jn
S P lim 1				Pe		(2.18)
m		m