080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

4.3.1. ДУ с разделяющимися переменными

Рассмотрим сначала три наиболее простых типа ДУ, методы решения которых базируются на так называемом разделении переменных.

4.3.1.1. Простейшие ДУ

Наиболее простой тип ДУ первого порядка – это простейшее ДУ:

y′ = f (x) .

(33)

Метод решения этого уравнения базируется на определении первообразной функции и состоит в интегрировании правой части

y = ∫ f (x)dx + C .

Пример. Решить ДУ y′ =3x2 .

y = ∫3x2dx =3 x3 + C = x3 + C .

3

4.3.1.2. ДУ с разделенными переменными

Под ДУ с разделенными переменными понимают уравнение вида

M (x)dx = N ( y)dy .

(34)

Название этого уравнения следует из его вида, так как в них переменные действительно «разделены» друг от друга знаком равенства.

Метод решения такого уравнения состоит в интегрировании обеих его частей:

∫M (x)dx = ∫N ( y)dy + C 15.

Полученная в результате интегрирования связь P(x) = Q( y) + C между независимой переменной x и искомой функцией y(x) называется общим интегралом ДУ.

Пример. Решить ДУ y2dy = (x −1)dx .

∫y2dy = ∫(x −1)dx + C y3 = x2 − x + C . 3 2

Нетрудно видеть, что простейшее ДУ (33) может быть записано в виде (34), если воспользоваться формулой (30):

15 Постоянную C записывают только в одной стороне равенства. 111

dy = f (x)dx .

4.3.1.3. ДУ с разделяющимися переменными

ДУ с разделяющимися переменными называется ДУ вида:

а)	M1 (x)N1 ( y)dx + M 2 (x)N2 ( y)dy = 0	(35)
(дифференциальная форма),
б)	y′ = f1 (x) f2 ( y)	(36)

(нормальная форма).

Метод решения ДУ (35), (36) состоит в сведении к уравнению вида (34):

M1(x)

dx = −

N2 ( y)

dy ,

dy

= f (x)dx .

M2 (x)

N1( y)

f2 ( y)

1

Примеры.

Решить ДУ (x +1) ydx + (1 − y)xdy = 0 .

(x +1) ydx = −(1 − y)xdy

(x +1) dx = −(1 − y) dy

x

y

∫

(x +1)

dx

= −

∫

(1

− y)

dy + C

∫

+

1

∫

−

1

x

y

x

y

1

dx =

1

dy + C

x + ln | x |= y − ln | y | +C .

Решить задачу Коши y′ = xy2 , y(1) = 2 .

Ищем сначала общий интеграл

dy

= xy2

dy2

= xdx ∫dy2

= ∫xdx + C −

1

=

x2

+ C .

dx

y

y

y

2

Из начального условия находим:

−12 = 12 + C C = −1.

	Тогда решение задачи Коши примет вид −	1	=	x2	−1	или y =	2	.
		y		2			2 − x2

4.3.2.ДУ, сводящиеся к ДУ с разделяющимися переменными

4.3.2.1.Однородные ДУ в нормальной форме

Однородным ДУ первого порядка в нормальной форме называется уравнение вида

112

y′ =		y
	f		.	(37)
	x

Метод решения этих уравнений состоит в сведении их к ДУ с разделяющимися переменными (ДУ вида (35) или (36)) с помощью замены искомой функции y(x) на новую функцию

z(x) =	y(x)	.			(38)
	x
Если из (38) выразить «старую» функцию y через «новую» – z ( y = zx ) и
продифференцировать полученное равенство по x, то получим			y	′	′
					= z x + z . Под-

ставив теперь найденное выражение y′ в левую часть уравнения (37) и сделав замену (38) в его правой части, найдем

z′x + z = f (z) ,

то есть придем к ДУ с разделяющимися переменными. Действительно, проделаем преобразования

′	dz		dz		dx
z x = f (z) − z x dx		= f (z) − z		=	x
			f (z) − z

и получим, что переменные разделены. Общий интеграл ДУ (37) имеет вид

y

dz

F

= ln | x | +C , где

F(z) =

.

∫

f (z) − z

x

′

y

y

=

x +1 + x .

Пример. Решить ДУ y

y

′

′

′

= z +1 + z

x

= z y = zx y

= z x + z z x + z

dz x = z +1

dz

= dx

∫

dz

= ∫dx

+ C

z +1

dx

x

z +1

x

2 z +1 = ln | x | +C 2

y

+1 = ln | x | +C .

x

4.3.2.2. Однородные ДУ в дифференциальной форме

Однородными ДУ в дифференциальной форме называют ДУ вида

Pn (x, y)dx + Qn (x, y)dy = 0 ,

(39)

113

где P (x, y) и Q (x, y) – однородные многочлены16				одинаковой степени n.
n	n
	Тот факт, что ДУ вида (39) являются однородными ДУ, следует из следу-
ющего свойства однородных многочленов:
	если Pn (x, y) и Qn (x, y) – однородные многочлены одинаковой степени n,
то
		Pn (x, y)			y
			= f			.
		Qn (x, y)
					x

Если использовать это свойство, то получим, что метод решения уравнения (39) состоит в сведении его к ДУ вида (37), которое затем решается, как это было описано выше в п. 4.3.2.1.

Пример. Решить ДУ (x + y)dx − xdy = 0 .

dy

x + y

′

y

xdy = (x + y)dx dx =

x

=1 + x

,

y

y

′

′

′

′

x

= z y = zx y

= z x + z z x + z =1

+ z z x =1,

dz x =1 xdz = dx dz = dx

∫dz = ∫dx

z = ln

x

+ C ,

dx

x

x

y

= ln

x

+ C y = x(ln

x

+ C ) – общее решение ДУ.

x

4.3.2.3. ДУ вида y′ = f (ax + by + c)

Еще один тип ДУ первого порядка, сводящихся к ДУ с разделяющимися переменными записывается в виде

y′ = f (ax + by + c) .	(40)
Метод решения этих уравнений, как и	для однородных ДУ, состоит в

сведении их к ДУ с разделяющимися переменными, но с помощью другой за-

мены искомой функции

16 Многочлен	P (x) = a xk1 yl1		+ a xk2	yl2	+…	называется однородным много-
	n	1	2

членом степени n, если все его слагаемые имеют одну и ту же суммарную сте-

пень: k1 + l1 = k2 + l2 =…= n .

114

z = ax + by + c .						(41)
Покажем это:
z = ax + by + c y =	z − ax − c	y	′	=	z′ − a	.
	b				b

Подставив в левую часть уравнения (40) выражение y′ и использовав в правой части замену (41), получим

z′b− a = f (z) z′ = bf (z) + a ,

то есть придем к ДУ с разделяющимися переменными.

Пример. Решить ДУ y′ = ( y + x)2 .

z = y + x y = z − x y′= z′−1 z′−1= z2 z′= z2 +1 dxdz = z2 +1 z2dz+1 = dx ∫z2dz+1 = ∫dx arctg z = x + C arctg( y + x) = x + C – общий интеграл.

4.3.3.Линейные ДУ первого порядка

4.3.3.1.Определения

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка

называется уравнение

y′ + a(x) y = f (x) .	(42)
Функция a(x) называется коэффициентом ЛДУ, а функция	f (x) – правой частью (или свободным чле-

ном).

Если правая часть f (x) ≡ 0 , то уравнение (42) называется линейным од-

нородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) первого порядка.

Если f (x) ≠ 0 , то уравнение (42) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) первого порядка.

4.3.3.2. Метод решения

Метод решения ЛНДУ (42) называется методом вариации произвольной постоянной и состоит из следующих трех этапов:

Составим ЛОДУ

115

y′ + a(x) y = 0 ,

(43)

соответствующее ЛНДУ (42). Оно является ДУ с разделяющимися переменными:

dy	= −a(x)y dy	= −a(x)dx ∫dy	=−∫a(x)dx + lnC	(44)
dx	y	y

A(x)

ln | y |= A(x) + ln C –

общий интеграл ЛОДУ. Потенцируя, получим общее решение ЛОДУ (43) в виде

y = eA(x)+ln C = eA(x)eln C .

Следовательно
y =CeA(x) .	(45)
Решение ЛНДУ (42) будем искать в виде
y = zeA(x) ,	(46)
то есть в решении ЛОДУ (45) произвольную постоянную C заменим новой не-
известной функцией z(x). Такое представление решения	ЛНДУ объясняет

название метода решения – метод вариации произвольной постоянной.

Продифференцировав равенство (45), получим

y′ = z′eA(x) + zA′(x)eA(x) = z′eA(x) − a(x)zeA(x) ,

так как A′(x) = −a(x) (см. (44)). Подставив теперь выражения y(x) и y′(x) в ис-

ходное ЛНДУ (42), придем к ДУ относительно функции z(x):

z′eA(x) − a(x)zeA(x) + a(x)zeA(x) = f (x) z′eA(x) = f (x) z′ = f (x)e−A(x) .

Полученное уравнение является простейшим ДУ, а его решение имеет вид z = ∫ f (x)e−A( x)dx + C1 .

Подставив найденное выражение в представление (46), получим решение ЛНДУ

y =(∫ f (x)e−A(x)dx + C1 )eA(x) .

Пример. Решить ЛНДУ y′ + 2xy = (1 + 3x2 )e−x2 .

y′ + 2xy = 0 dydx = −2xy dyy = −2xdx ∫dyy = −2∫xdx

116

ln y = −x2 + ln C y = Ce−x2 .

y = ze

−x2

y

′

′ −x2

− 2xze

−x2

;

= z e

′ −x2

− 2xze

−x2

+ 2xze

−x2

= (1

+ 3x

2

)e

−x2

z

′

= (1 + 3x

2

)

z e

z = ∫(1 + 3x2 )dx + C1 = x + x3 + C1 .

y =(x + x3 + C1 )e−x2 – общее решение ЛНДУ.

4.4.Дифференциальные уравнения высших порядков

4.4.1.Основные понятия

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение,

связывающее неизвестную функцию y(x), ее производные до n-го порядка включительно и независимую переменную x:

′	(n)	) = 0 .	(47)
F(x, y, y ,…, y

Такая форма записи, аналогичная форме (27), называется общей, а форма

y	(n)	′	(n−1)	) ,	(48)
		= f (x, y, y ,…, y

по аналогии с (28), называется нормальной формой (разрешенной относительно старшей производной).

В дальнейшем мы, в основном, будем рассматривать ДУ второго порядка. Для них также можно записать формы, аналогичные формам (27), (28) (ДУ первого порядка) или (47), (48) (ДУ n-го порядка):

			′ ′′	;	(49)
F (x, y, y , y ) = 0
y	′′		′		(50)
		= f (x, y, y ) .
Общим решением ДУ			второго	порядка является	функция

y = y(x,C1,C2 ) , зависящая от двух произвольных постоянных и являющаяся решением ДУ при любых (допустимых) значениях C1 и C2 .

Решения, получающиеся из общего решения ДУ при подстановке конкретных значений произвольных постоянных, называются частными решени-

ями.

Начальные условия для ДУ второго порядка имеют вид:

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ ,

(51)

117

где y0 и y0′ – некоторые заданные величины.

Замечание. Для ДУ n-го порядка общим решением является функция y = y(x,C1,C2 ,…,Cn ) , а начальные условия имеют вид:

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ , …, y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) .

Задача нахождения частного решения ДУ (50) или (49) при заданных начальных условиях (51) называется задачей Коши.

Пример. Найти частное решение ДУ y′′ = 2x при начальных условиях y(0) =1, y′(0) = 0 .

Проинтегрируем уравнение:

y′ = ∫2xdx + C1 = x2 + C1 y = ∫(x2 + C1

Подставим теперь начальные условия:

	=	0	+ C	0	+ C	,	C
1		3						2
			1		2
0	= 0		+ C ,				C1
			1

Частное решение имеет вид y = x3 +1. 3

)dx = x3 + C1x + C2 .

3

=1,

=0..

4.4.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейным ДУ второго порядка называется ДУ вида

y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) ,

(52)

где функции p(x) , q(x) называются коэффициентами уравнения, а функция f (x)

(или свободным членом).

– правой частью

Если правая часть f (x) ≡ 0 , то уравнение (52) называется линейным од-

нородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка.

Если f (x) ≠ 0 , то уравнение (52) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка.

Задача Коши для ЛНДУ второго порядка принимает вид:

y′′ + p(x) y′ + q(x) y =			f (x),	(53)
		y′(x0 ) = y0′.
y(x0 ) = y0	,

Для дальнейшего изложения материала нам понадобятся некоторые определения:

118

Две функции y1 (x) и y2 (x) называются линейно зависимыми, если име-

ет место равенство y1 (x) = Cy2 (x) .

Две функции y1 (x) и y2 (x) называются линейно независимыми, если y1 (x) ≠ Cy2 (x) .

Практически, для проверки линейной независимости двух функций, необходимо доказать, что

y1(x)

≠ C

при x.

y (x)

Примеры.

2

Функции

y

= ek1x

и

y

2

= ek2x

при k

≠ k

2

линейно независимы, так как

1

1

y1

=

ek1x

= e(k1−k2 )x ≠ C .

ek2x

y2

Функции

y

= ekx и

y

2

= xekx

линейно независимы, так как

1

y

ekx

1

1

=

=

≠ C .

= cos2 x

y2

xekx

x

Функции

y

и y

2

=1 + cos 2x линейно зависимы, так как

1

y

cos2 x

cos2 x

1

1

=

=

=

= C .

y2

1 + cos2x

2cos2 x

2

Функции y

= 0 и

y

2

= x2

линейно зависимы, так как

1

y1

=

0

= 0 =C .

x2

y2

4.4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго по-

рядка

4.4.3.1. Свойства решений ЛОДУ

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка

y′′ + p(x) y′ + q(x) y = 0 ,

(54)

и три свойства его решений, которые сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Если функции y1 (x) и y2 (x) – решения ЛОДУ (54), то их сумма y(x) = y1 (x) + y2 (x) тоже является решением ЛОДУ (54).

119

Теорема 2.	Если функция y1 (x) – решение ЛОДУ (54), то функция
y(x) = Cy1(x) тоже является решением ЛОДУ (54).
Теорема 3.	Функция y(x) = 0 является решением ЛОДУ (54).

Решение y(x) = 0 называется тривиальным решением ЛОДУ (54). Оно

является частным решением этого ЛОДУ при нулевых начальных условиях y(x0 ) = 0 и y′(x0 ) = 0 .

4.4.3.2. Теорема о виде общего решения ЛОДУ

Теорема о виде общего решения ЛОДУ. Если y1 (x) и y2 (x) – линейно независимые решения ЛОДУ

(54), то функция
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) ,	(55)

где C1 , C2 – произвольные постоянные, будет общим решением ЛОДУ.

4.4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

4.4.4.1. Свойства решений ЛНДУ

Свойства решений ЛНДУ (52) тесно связаны со свойствами соответствующего ему ЛОДУ (54). Рассмотрим два из них, сформулированных в виде тео-

рем.
Теорема 1.	Если функция y1 (x) – решение ЛНДУ (52), а y2 (x)					– реше-
ние соответствующего ему ЛОДУ (54), то их сумма			y1 (x) + y2 (x)		будет реше-
нием ЛНДУ (52).
Теорема 2.	Если функция y1 (x) – решение ЛНДУ (52) с правой частью
f1 (x) , а y2 (x) –	решение ЛНДУ (52) с правой частью			f2 (x) ,	то функция
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) будет решением		ЛНДУ	(52)	с правой		частью
f (x) = C1 f1 (x) + C2 f2 (x) .
4.4.4.2. Теорема о виде общего решения ЛНДУ
Теорема о виде общего решения ЛНДУ. Если Y (x)		– общее решение ЛОДУ (54), а			y(x)	– частное
решение ЛНДУ (52), то функция
	y(x) =Y (x) + y(x) ,					(56)

будет общим решением ЛНДУ (52).

120