080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

x −1

t 2tdt

1

∫

dx = ∫

2

= 2∫ 1

−

dt =

x

t

+1

t

2

+1

= 2(t − arctg t) + C = 2(

x −1 − arctg

x −1)+ C .

3.4.Определенный интеграл

3.4.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят различные задачи физики, механики, геометрии, техники. Рассмотрим три такие задачи.

3.4.1.1. Задача о длине пути

Постановка задачи. Тело движется прямолинейно с переменной скоростью v =v(t) . Требуется найти путь L, пройденный телом с момента времени

t = a	до момента времени t = b .
	Решение задачи. В частном случае, когда скорость v постоянна, из физи-
ки известна формула L =v(b − a) .
	Рассмотрим общий случай, когда скорость является функцией времени t,
то есть v =v(t) .
	ξ1 ξ2	ξ3	ξn
	O t0 = a t1	t2 t3	tn−1 tn = b	t
		РИС. 3.4.1
	Построим числовую ось (рис. 3.4.1), соответствующую изменению време-
ни t.	Разобьем отрезок [a,b]	произвольным образом		на n частей: [tk−1,tk ],

k =1,n ,7 (здесь t0 = a , tn = b ). Обозначим длины полученных промежутков че-

рез tk , k =1,n .

В каждом промежутке выберем произвольную точку ξk [tk −1,tk ], k =1,n .

7 Запись k =1,n означает, что k принимает все целые значения от 1 до n, включительно.

71

Найдем значение пути L на каждом промежутке tk приближенно, счи-

тая, что скорость на нем постоянна и равна значению скорости в точке ξk :

Lk ≈ v(ξk ) tk , k =1,n .

Тогда для всего пути L получим приближенную формулу

L = L1 + L2 +…+ Ln ≈ v(ξ1) t1 + v(ξ2 ) t2 +…+ v(ξn ) tn .

Для записи полученной формулы воспользуемся символом суммы Σ (греческая буква «сигма»), тогда

n

L ≈ ∑v(ξk ) tk .

k=1

Точное значение пути L найдем, если перейдем в полученном равенстве к пределу, увеличивая количество промежутков разбиения и устремляя длину максимального промежутка к нулю

	n
L = lim	∑v(ξk ) tk .	(11)
n→∞
max tk →0 k=1

3.4.1.2. Задача о массе стержня

Постановка задачи. Дан тонкий материальный стержень, расположенный на отрезке [a,b] оси x (рис. 3.4.2). Найти массу m этого стержня, если из-

вестна его линейная плотность ρ=ρ(x) .

ξ1 ξ2 ξ3	ξn
O x0 = a x1 x2 x3	xn−1 xn = b	x

РИС. 3.4.2

Решение задачи. В частном случае, когда ρ = const , имеем m =ρ(b − a).

Рассмотрим общий случай, когда ρ=ρ(x) .

Разобьем отрезок [a,b] оси Ox произвольным образом на n частей:

[xk −1, xk ], k =1,n , длины которых обозначим через xk .

Выберем произвольно точки ξk [xk−1, xk ], k =1,n .

72

Найдем массу mk каждой k-ой части приближенно, считая плотность этой части постоянной и равной ρ(ξk ) :

mk ≈ ρ(ξk ) xk .

Тогда для массы m всего стержня получим приближенную формулу

n
m ≈ ∑ρ(ξk ) xk .
k=1
Точное значение массы m получим по формуле
		n
m = lim		∑ρ(ξk ) xk .	(12)
n→∞
max x	→0 k=1
k

3.4.1.3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Прежде, чем перейти к постановке и решению задачи, дадим определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x)

(рис. 3.4.3).

y		y = f (x)
ξ1	ξ2	ξn
O x0 = a x1	x2	xn−1	xn = b	x

РИС. 3.4.3

Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x) , f (x) ≥0 , x [a,b].

Решение задачи. В частном случае, когда f (x) =C =const , криволиней-

ная трапеция является прямоугольником с основанием b − a и высотой C, а ее площадь находится по формуле S =C(b − a).

73

Больший интерес представляет общий случай, когда функция отлична от постоянной, то есть y = f (x) .

Основание трапеции – отрезок [a,b] оси Ox разобьем произвольным обра-

зом на n частей: [xk −1, xk ], k =1,n , длины которых обозначим через xk . Прове-

дем через точки деления прямые, параллельные оси Oy. Тогда криволинейная

трапеция разобьется на n полосок.
Выберем произвольно точки ξk [xk−1, xk ],	k =		и найдем значения
		1,n
функции y = f (x) в этих точках: yk = f (ξk ) .
Найдем площадь Sk каждой k-ой полоски приближенно, считая полоску
прямоугольником с высотой f (ξk ) и основанием	xk . Тогда

Sk ≈ f (ξk ) xk ,

а площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле

n

S ≈ ∑ f (ξk ) xk .

k=1

Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка [a,b] к нулю, получим точную формулу для площади криволиней-

ной трапеции

		n
S = lim		∑ f (ξk ) xk .	(13)
n→∞
max x	→0 k=1
k

3.4.2. Определение определенного интеграла

Нами были рассмотрены три различные задачи. Однако если отвлечься от их конкретного содержания, то решение каждой из них было связано с одинаковыми математическими выкладками. Все задачи свелись к вычислению предела суммы определенного вида (см. формулы (11)-(13)), что вызывает необходимость ввести новое понятие, связанное с таким пределом.

Рассмотрим функцию y = f (x) на отрезке x [a,b] и выполним следую-

щие построения.

74

1.			Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей: [xk −1, xk ],
k =		,	(здесь x0 = a , xn =b) и положим xk = xk − xk−1 , k =		.
	1,n			1,n

2.В каждом отрезке [xk −1, xk ] выберем произвольную точку ξk и найдем значения функции f (ξk ) .

3.Составим сумму

n

∑ f (ξk ) xk .

k=1

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x) на от-

резке [a,b] . Она зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части и от вы-

бора точек ξk .

4. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при max xk → 0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек ξk , то этот предел называется определенным инте-

гралом от функции f (x) на отрезке [a,b] и обозначается

b

∫ f (x)dx .

a

Таким образом, по определению

b		n
∫ f (x)dx =	nlim→∞	∑ f (ξk ) xk .
a	max xk →0 k=1

Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [a,b] – отрезком интегрирования.

Возвращаясь к задачам, рассмотренным в пунктах 3.4.1.1-3.4.1.3, можно записать полученные там формулы (11)-(13) для пути L, массы m и площади S в следующем виде:

b	b	b
L = ∫v(t)dt , m = ∫ρ(x)dx , S = ∫ f (x)dx .
a	a	a

Последняя формула дает геометрический смысл определенного интегра-

ла.

75

b

Если f (x) ≥0 при x [a,b], то ∫ f (x)dx – это площадь криволинейной

a

трапеции с основанием [a,b] , ограниченной графиком функции y = f (x) .

3.4.3.Основные свойства определенного интеграла

3.4.3.1.Свойства линейности определенного интеграла

Теорема 10. Интеграл от суммы равен сумме интегралов

b	b	b
∫[f1 (x) + f2 (x)]dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx .
a	a	a

Доказательство. Воспользуемся определением интеграла и свойством: предел суммы равен сумме пределов. Тогда

b		(x)]dx =				n
∫[f1(x) + f2				lim	→0	∑[f1(ξk ) + f2 (ξk )] xk =
a			max xk			k=1
			n					n
= maxlimx	→0		∑ f1(ξk )	xk	+ maxlimx		→0	∑ f2 (ξk ) xk =
k			k=1			k		k=1

bb

=∫ f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx .

aa

Теорема 11. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

b

b

∫Cf (x)dx = C∫ f (x)dx , C = const .

a

a

Доказательство.

b

∫Cf (x)dx =

a

		n
maxlimx	→0	∑Cf (ξk ) xk =
k		k=1

		n
= C maxlimx	→0	∑ f (ξk )
k		k=1

b

xk = C∫ f (x)dx .

a

3.4.3.2. Перестановка пределов интегрирования в определенном интеграле

Теорема 12. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак

b

a

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

a

b

76

a

Доказательство. При введении определенного интеграла ∫ f (x)dx пред-

b

полагалось, что a < b . Если же a > b , то изменится направление интервала интегрирования. Следовательно, изменится знак разностей xk = xk − xk−1 , инте-

гральной суммы и самого интеграла. Таким образом

b	a
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .
a	b

	a
Следствие.	∫ f (x)dx = 0 .
	a

3.4.3.3. Свойство аддитивности определенного интеграла

Теорема 13. Для любых трех чисел a, b и c справедливо равенство

b c b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a a c

Доказательство.

1. Рассмотрим сначала случай, когда a < c < b .

Интегральную сумму на отрезке [a,b] обозначим ∑ f (ξk ) xk . Так как

[a,b]

предел последовательности интегральных сумм не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, то выберем такое разбиение, в котором точка c яв-

ляется точкой деления. Тогда интегральная сумма				∑ f (ξk )	xk разобьется на
				[a,b]
две суммы.	Сумма	∑ f (ξk ) xk	соответствует	отрезку	[a,c], а сумма
		[a,c]
∑ f (ξk ) xk	– отрезку [c,b]:
[c,b]
	∑ f (ξk ) xk = ∑ f (ξk ) xk + ∑ f (ξk ) xk .
	[a,b]	[a,c]	[c,b]
Перейдя к пределу при max xk → 0 , получим
	b	c	b
	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .
	a	a	c
			77

2. Рассмотрим теперь случай		a < b < c . В силу доказанного для первого
случая имеем
c	b	c
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a	a	b

или (с учетом теоремы 3)

b	c	c	c	b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .
a	a	b	a	c
3.4.3.4. Интегрирование неравенств
Теорема 14. Если		f (x) ≥0 на отрезке [a,b] , причем a < b , то
		b

∫ f (x)dx ≥ 0 .

a

n

Доказательство. В интегральной сумме ∑ f (ξk ) xk все слагаемые неот-

				k=1
рицательны, так как f (x) ≥0 и		xk	≥ 0 по условию теоремы. Следовательно,
b			n
∫ f (x)dx = lim			∑ f (ξk )	xk ≥ 0 .
a	max	xk →0 k=1
Следствие. Если	f (x) ≤0 на отрезке [a,b] , причем a < b , то
	b
	∫ f (x)dx ≤ 0 .
Теорема 15. Если	a		f (x) и	g(x) удовлетворяют
	функции				условию
f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b] , причем a < b , то
	b		b
	∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .
	a		a
Доказательство. По условию теоремы функция g(x) − f (x) ≥0					на отрез-

ке [a,b] . Тогда применима теорема 5:

b

∫[g(x) − f (x)]dx ≥ 0 .

a

Если использовать свойства линейности интеграла (п. 3.4.3.1), то получим

b b

∫g(x)dx − ∫ f (x)dx ≥ 0.

a a

78

Следовательно,

	b	b
	∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .
	a	a
Геометрический смысл теоремы (рис. y			y = g(x)
3.4.4). Если	f (x) ≥0 , g(x) ≥ 0 и	f (x) ≤ g(x)
при x [a,b], то площади криволинейных
трапеций,	ограниченных графиками этих			y = f (x)
функций, удовлетворяют неравенству
	S f (x) ≤ Sg (x) .
		O a	b	x
			РИС. 3.4.4

3.4.3.5. Интеграл от единицы

Теорема 16. Определенный интеграл от единицы по отрезку [a,b] равен длине отрезка b − a

b

∫1 dx = b − a .

a

Доказательство. Из вида интеграла следует, что f (x) =1. Тогда при лю-

бом выборе точек ξk	имеем f (ξk ) =1, а интегральная сумма равна
n			n	n
∑ f (ξk ) xk = ∑1				xk = ∑ xk = b − a .
k=1			k=1	k=1
Итак, интегральная сумма при любом разбиении отрезка на части и при
любом выборе точек ξk равна b − a . Следовательно,
b			n
∫1 dx =	lim	→0	∑ xk =	lim (b − a) = b − a .
a	max xk		k=1	max xk →0

3.4.3.6. Теорема об оценке определенного интеграла

Теорема 17. Если m – наименьшее, а M – наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a,b] , a < b , то имеет место оценка

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

Доказательство. Так как по условию теоремы m ≤ f (x) ≤ M , то по свой-

ству интегрирования неравенств (Теорема 15) получим

79

	b	b	b
	∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx .
	a	a	a
Применив теперь свойство линейности (Теорема 11), найдем
	b	b	b
	m∫dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ M ∫dx .
b	a	a	a
Так как ∫dx = (b − a) (Теорема 16), то окончательно получим
a
		b
	m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .
		a
Геометрический	смысл	теоремы	(рис.	y	A2	B2
3.4.5). Если f (x) ≥0	при x [a,b], то площадь			M
криволинейной трапеции S f (x)		больше площа-			y = f (x)
ди прямоугольника aA1B1b и меньше площади
прямоугольника aA2 B2b :
SaA1B1b ≤ S f ( x) ≤ SaA2B2b .				m	A	B1
					1
				O a		b	x
					РИС. 3.4.5
3.4.3.7. Теорема о среднем
Теорема 18. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] ,						a < b , то
на этом отрезке существует такая точка c, что выполняется равенство
	b
	∫ f (x)dx = f (c)(b − a) .
	a		f (x)	непрерывна на отрезке [a,b] , то
Доказательство. Так как функция

она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения. Следовательно, в силу теоремы об оценке интеграла (Теорема 17), имеем

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

Отсюда

80