Интервальные оценки

параметров распределения

Пусть в результате эксперимента получены значения точечных

оценок	~	~	~	~
	a1	, a2	, a3	, ..., an
которые группируются вокруг некоторого aзначенияn при

a

~	~	~	~	~
a1	a2	a3	an	a

- истинноеa значение параметра

~

a- оценка параметра

| а − ã |→ min | а − ã |<ε

Р(| а − ã |< ε )= β – доверительная вероятность

Для большинства технических задач β Є [0,9; 0,99]

Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться с малой

вероятностью

α =1− β,

которую называют вероятностью риска или уровнем значимости

Неравенство | а − ã |< ε можно записать в виде − ε

< а − ã < ε

или

ã − ε < а < ã + ε – доверительный интервал

доверительный интервал - это интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им

ерительный интервал для математического ожида

хср β М (Х ) хср β ,

Где εβ tk ,β Sn

−коэффициентtk ,β Стьюдента(находят по таблице)

к= n - 1 - число степеней свободы

β- доверительная вероятность

Доверительный интервал для дисперсии:

	(n 1) S 2		(n 1) S 2
	χ 2	D( X )	χ 2	.
		α		α
	n 1;1		n 1;
		2		2

Пример 1. Произведено 20 опытов над случайной величиной X, распределенной по нормальному закону. Требуется построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности β=0,8, если получены: оценки математического ожидания и

дисперсии:	хср 10,78;	S2= 0,064.

Решение. По таблице находим значение коэффициента Стьюдента для числа степеней свободы k= n-1=20-1=19 и доверительной вероятности β=0,8:

t19;0,8 1, 328.

	Тогда β 1,328	0,064	0,0751.
		20

Доверительный интервал для математического ожидания:

10,78− 0,751 < M(Х) < 10,78 + 0,751,

10,029 < M(Х) < 11,531.

Для доверительной вероятности β=0,8 и уровня значимости α=0,2 по таблице найдем значения

распределения χ2	:	χ 2	α	χ 2		11,7;	2		2	27,2.
		n 1;			19;0,1		n 1;1		19;0,9
			2					2
		Доверительный интервал для
дисперсии:					D( X ) 19		0, 064	,
		19 0, 064
		27, 2					11, 7

0,0447 < D(X) <

0,1039.

				Квантили распределения			t p k
P	0,5	0,6	0,7	Стьюдента		0,95		0,99	0,999
				0,8	0,9		0,98
k
1	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	336,619
2	0,816	1,061	1,336	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,598
3	765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,941
4	741	941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
5	727	920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032 !	6,859
6	718	906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
7	711	896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499 !	5,405
8	706	889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
9	703	883	1,100	1,383 ]	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
10	700	879	1,093	1,372 !	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
11	697	876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,487
12	695	873	1,083	1,356 !	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
13	694	870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
14	692	868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
15	691	866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
16	690	865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
17	689	863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
18	688	862	1,067	1,330	1,734	2,103	2,552	2,878	3,922
19	688	861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
20	687	860	1,064	1.325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
21	686	859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819

							Квантили хи-квадрат				2	(k)
							распределения				X p
P	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	0,20	0,30	0,70	0,80	0,90	0,95	0,975	0,990	0,995	0,999
k
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	0,446	0,713	2,41	3,22	4,61	5,99	7,38	9,21	10,6	13,8
3	0,01717	0,115	0,216	0,352	0,584	1,00	1,42	3,67	4,64	6,25	7,81	9,35	11,3	12,8	16,3
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,06	1,65	2,19	4,88	5,99	7,78	9,49	11,1	13,3	14,9	18,5
5	0,412	0,554	0,831	1,15	1,61	2,34	3,00	6,06	7,29	9,24	11,1	12,8	15,1	16,7	20,5
6	0,676	0,872	1,24	1,64	2,20	3,07	3,83	7,23	8,56	10,6	12,6	14,4	16,8	18,5	22,5
7	0,989	1,24	1,69	2,17	2,83	3,82	4,67	8.38	9,80	12,0	14,1	16,0	18.5	20,3	24,3
8	1,34	1,65	2,18	2,73	3,49	4,59	5,53	9,52	11,0	13,4	15,5	17,5	20,1	22,0	26,1
9	1,73	2,09	2,70	3,33	4,17	5,38	6,39	10,7	12,2	14,7	16,9	19,0	21,7	23,6	27,9
10	2,16	2,56	3,25	3,94	4,87	6,18	7,27	11,8	13,4	16,0	18,3	20,5	23,2	25,2	29,6
11	2,60	3,05	3,82	4,57	5,58	6,99	8,15	12,9	14,6	17,3	19,7	21,9	24,7	26,8	31,3
12	3,07	3,57	4,40	5,23	6,30	7,81	9,03	14,0	15,8	18,5	21,0	23,3	26,2	28,3	32,9
13	3,57	4,11	5,01	5,89	7,04	8,63	9,93	15,1	17,0	19,8	22,4	24,7	27,7	29,8	34,5
14	4,07	4,66	5,63	6,57	7,79	9,47	10,8	16,2	18,2	21,1	23,7	26,1	29,1	31,3	36,1
15	4,60	5,23	6,26	7,26	8,55	10,3	11,7	17,3	19,3	22,3	25,0	27,5	30,6	32,8	37,7
16	5,14	5,81	6,91	7,96	9,31	11,2	12,6	18,4	20,5	23,5	26,3	28,8	32,0	34,3	39,3
17	5,70	6,41	7,56	8,67	10,1	12,0	13,5	19,5	21,6	24,8	27,6	30,2	33,4	35,7	40,8
18	6,26	7,01	8,23	9,39	10,9	12,9	14,4	20,6	22,8	26,0	28,9	31,5	34,8	37,2	42,3
19	6,84	7,63	8,91	10,1	11,7	13,7	15,4	21,7	23,9	27,2	30,1	32,9	36,2	38,6	43,8
20	7,43	8,26	9,59	10,9	12,4	14,6	16,3	22,8	25,0	28,4	31,4	34,2	37,6	40,0	45,3
21	8,03	8,90	10,3	11,6	13,2	15,4	17,2	23,9	26,9	29,6	32,7	35,5	38,9	41,4	46,8
22	8,64	9,54	11,0	12,3	14,0	16,3	18,1	24,9	27,3	30,8	33,9	36,8	40,3	42,8	48,3

Корреляционный анализ

Выборочный корреляционный

момент:

1

l k

*

*

k

xy

n

1

x y

j

m

n xср y

.

i

ij

ср

j 1 i 1

Выборочный коэффициент корреляции:

r*		k xy*	,
xy		S x S y

Пример. Найти выборочный коэффициент										У			\						10	20	30
					корреляции по данным корреляционной						Х
					таблицы :						5								3	-	2
											10								5	4	2
Решение. Составим таблицы отдельно для распределения Х и распределения У:
					Х		10	20	30	У							5			10
					mi *		8	4	4	mj *							5			11
					Найдем оценки параметров распределения: xср														yср	S x2 S y2	Sx S y
xср		1			(10 8 20 4 30 4) 17,5					yср			1				(5 5 10 11) 8,44
		16											16
S x2		1		(100 8 400 4 800 4 16 17,52 ) 73,33						S y2			1			(25 5 100 11 16 8,442 ) 5,68
												15
15
S x						8,56				S y									2,38
			73,33											5,68

Выборочный корреляционный момент:

kxy 151 (5 10 3 5 20 0 5 30 2 10 10 5 10 20 4 10 30 2 16 17,5 8,44) 0,88

Выборочный коэффициент корреляции:

r		0,88	0,043	Вывод: зависимость между
xy		8,56 2,38		случайными величинами не

линейная

РЕГРЕССИОННЫЙ

РЕГРЕССИЯ (лат. regressioАНАЛИЗ— обратное движение) в статистике — статистическая зависимость среднего значения случайной величины от значений другой случайной

величины или нескольких случайных величин РЕГРЕССИЯ - количественные изменения одного явления,

наступающие в связи с изменениями другого явления, находящегося с первым в корреляционной связи

Классические примеры регрессии (Фрэнсис Гальтон, 1886)

зависимость среднего роста детей от роста родителейзависимость средних диаметров сосен от их высотзависимость среднего роста человека от его веса и т.п.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ - раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по

статистическим данным
ЦЕЛЬ регрессионного анализа – определение аналитического
выражения связи	ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Как ВВП страны зависит от средней заработной платы, мировых цен на нефтьКак определитькурса рубля?зависимость между погодой и количеством посетителей?

Как спрогнозировать приток клиентов в зависимости от размера рекламногоСколько временибюджета?нужно производить обжиг, чтобы достигнуть наилучшего качества?

		ε1	ε2	εk
x1						y1
x2						y2
xn						ym
				«Черный ящик»

xn − входные параметры ym − выходные параметры

εk − воздействие трудно учитываемых факторов (возмущений)

ЗАДАЧА. Изучить зависимость между входными X и выходными Y параметрами в виде математической модели

Если поставлена задача, о выявлении зависимости в виде некоторой функции Y f X ,

то она является задачей регрессионного анализа, а полученные зависимости

линиями регрессии

Пусть произведено n опытов, в которых наблюдались изменения как случайной величины X, так и Y.

В результате эксперимента получено n пар наблюдений (x ; y )

Нас интересует функция, которая бы приблизительно описывала зависимость

между величинами.