МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (часть 2)

•Проверка статистических гипотез

•Схема проверки статистических гипотез

• Критерий Стьюдента

• Критерии согласия

•Критерий Пирсона

•Критерий Колмогорова

•Критерий Фишера

•Однофакторный дисперсионный анализ

•Задача дисперсионного анализа

•Элементы теории корреляции

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и про- тиворечающую ей гипотезу. Выдвинутая гипотеза может быть принята или отвергнута. Если она отверга- ется, то принимается противоречащая ей гипотеза.

Проверяемую гипотезу называют нулевой (основной), обозначают её Н0.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипо- тезу, которая противоречит нулевой, обозначают её Н1.

Задача: проверить, верна ли нулевая гипотеза Н0 при альтернативной гипотезе Н1?

Гипотеза Н0	Принимается	Отвергается
Верна	Правильное решение	Ошибка 1-го рода
Неверна	Ошибка 2-го рода	Правильное решение

Обозначим через – вероятность допустить ошибку 1-го рода, через – 2-го рода.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода, то есть отвергнуть верную гипотезу Н0, называют уровнем

значимости.

1 этап Задаём уровень значимости .

2 этап

Строим случайную величину K, называемую ста- тистическим критерием, для которой выполня- ются следующие условия:

1)она является функцией от выборочных данных: K=K(x1,x2,…,xn);

2) её значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н0», то есть о том, надо при-

нимать или отвергать гипотезу H0;

3) распределение этой величины известно.

3 этап Вычисляем значения критерия, подставляя в него

выборочные данные. Это число называют наблю- даемым значением критерия и обозначают Kнабл.

4 этап Находим критическую область данного критерия,

то есть совокупность значений критерия, при кото- рых нулевую гипотезу отвергают.

Все остальные значения критерия образуют область, называемую областью принятия гипотезы.

Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотезу отвергаем, если в область принятия гипотезы, то принимаем.

Точки, которые отделяют критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими точками.

Чаще всего встречаются следующие виды критических областей:

а) левосторонняя

K < kкр

б) правосторонняя

K > kкр

в) двусторонняя	K < kкр1
	K > kкр2

Критическую область W целесообразно находить со- гласно следующим требованиям:

1.p(K W )

2.вероятность ошибки 2-го рода – минимальная, то есть вероятность (1 ) – максимальная

Вероятность (1 ) не допустить ошибку 2-го рода, то есть отвергнуть гипотезу H0, когда она неверна,

называется мощностью критерия.

2. мощность критерия – максимальная

Схема проверки гипотезы:

1 этап Задаём уровень значимости .

2 этап Строим статистический критерий.

3 этап Вычисляем наблюдаемое значение критерия.

4 этап Находим критическую область и проверяем,

попадает ли в неё наблюдаемое значение критерия.

Критерий Стьюдента (t-критерий)

Генеральная совокупность распределена нормально. Проверить гипотезу: H0 : a a0

a0 – некоторое число

	T			a
Критерий:			xв
						n
				s

Т имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1.H1 : a a0

Критическая область W – правосторонняя:

Из требования 1 для критической области:

p(T W ) p(T tпр,кр )

p(T tпр,кр ) 1 p(T tпр,кр ) 1

p(T tпр,кр ) F(tпр,кр ), F(x) – функция распределения T

F(tпр,кр ) 1 tпр,кр F 1(1 )

F(x) – функция распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы

2. H1 : a a0

Критическая область W – левосторонняя:

Из требования 1 для критической области:

	p(T W )		p(T tлев,кр )
p(T tлев,кр ) F(tлев,кр )			, F(x) – функция
			распределения T
	tлев,кр F 1( ),	F(x) – функция распределения
		Стьюдента с (n-1) степенями
		свободы