kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r8

Устойчивость квадратурного процесса

Устойчивость квадратурных формул характеризует чувствительность интеграла к различного рода погрешностям. Она непосредственно связана с понятием сходимости квадратурных формул.

Квадратурная формула будет сходящейся при условии, что остаток Rn(f) → 0 при n → ∞. Существует оценка погрешности, которую можно определить до решения задачи. Такая оценка по-

грешности называется априорной. Оценка погрешности после решения задачи называется апостериорной.

Рассмотрим априорную оценку погрешности квадратурной формулы Симпсона. Эта погрешность определяется суммой площадей между кривой y = f(x) и интерполяционным полиномом Лагранжа L2(x) (см. рис. 8.2).

x2

Z

h

Rсимп = f(x)dx − 3 (f(x0) + 4f(x1) + f(x2)),

x0

x1+h

Z

h

R(h) = f(x)dx − 3 (f(x1 − h) + 4f(x1) + f(x1 + h)).

x1−h

Т. к. функция f(x) C4 [a, b] дифференцируема до 4-го порядка включительно, то

R0(h) = f(x1 + h) + f(x1 − h) − 13(f(x1 − h) + 4f(x1)+

+f(x1 + h)) − h3 (−f0(x1 − h) + f0(x1 + h)) =

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

	2					4		h			(−f0(x1 − h) + f0(x1 + h)) .
=			(f(x1		− h) + f(x1 + h)) −		f(x1) −
	3					3		3
				2				1
R00	(h) =				(−f0(x1 − h) + f0(x1 + h)) −					(−f0(x1 − h) + f0(x1 + h)) −
				3				3

−h3 (f00(x1 − h) + f00(x1 + h)) =

=13 (−f0(x1 − h) + f0(x1 + h)) − h3 (f00(x1 − h) + f00(x1 + h)) .

R000(h) = 13 (f00(x1 − h) + f00(x1 + h)) − 13 (f00(x1 − h) + f00(x1 + h)) −

−h3 (−f000(x1 − h) + f000(x1 + h)) =

h

(−f000(x1

− h) + f000(x1 + h)) = −

2

= −

h2f(IV )(ξ3),

ξ3 (x1 − h, x1 + h).

3

3

h

R000(t)dt = −3

h

h

t2dt = −9h3f(IV )(ξ2),

R00(h) = R00(0) + Z0

Z0

t2f(IV )(ξ3)dt = −3f(IV )(ξ2) Z0

2

2

2

ξ2 (x1 − h, x1 + h)

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

h

R00

(t)dt = −9

h

h

t3dt = −18h4f(IV )(ξ1),

R0(h) = R0(0) + Z0

Z0

t3f(IV )(ξ2)dt = −9f(IV )(ξ1) Z0

2

2

1

ξ1 (x1 − h, x1 + h)

h

h

h

R(h) = R(0) + Z0

R0

2

Z0

1

f(IV )(ξ) · Z0

h5

(t)dt = −

t3f(IV )(ξ2)dt = −

t4dt = −

f(IV )(ξ),

9

18

90

Остаточный член общей формулы Симпсона:

h5

n

Xi

f(IV )(ξi).

Rсимп = −90

=1

Т.к. f(IV )(x) — непрерывная на [a, b] функция, то найдется такая точка ξ [a, b], что

f(IV )(ξ) =

1 n

f(IV )(ξi),

n

=1

n · h5

(b − a) · h4

Xi

R

симп

=

−

f(IV )(ξ) =

−

f(IV )(ξ), где f(IV )(ξ) = max f(IV )(ξ) = M.

90

180

ξ [a, b]

Оценка погрешности квадратурных формул часто оказывается малоэффективной из-за трудностей, возникающих при нахождении производной подынтегральной функции f(x). В связи с этим широкое применение получило правило Рунге апостериорной оценки погрешности, суть которого состоит в том,

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

чтобы, организовав вычисление двух значений интеграла по двум множествам узлов, сравнить результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее распространено вычисление интеграла дважды с шагом h и h/2.

b

R

Если I = f(x)dx — точное решение интеграла, а Ih — его приближенное значение, вычисленное с

a

шагом h и Ih/2 — приближенное значение интеграла, вычисленное с шагом h/2, то погрешности каждой квадратурной формулы с шагом h и h/2 можно записать соответственно в виде:

Rh = hp · M, Rh/2 =	h		p
			· M,
	2

где p — порядок точности формул.

Вычислим приближенное значение интеграла по одной и той же квадратурной формуле сначала с шагом h, а потом с шагом h/2. Получим

I = Ih + hp · M, I = Ih/2 +

h

p

· M,

2

Ih/2 − Ih = M ·

h

p

h

p

Ih/2

−

Ih

(2p − 1); M ·

=

.

2

2

2p

−

1

Получили оценку погрешности методом Рунге:

	Rh/2		=		Ih/2 − Ih	.
					2p − 1

Пользуясь этой формулой можно уточнить приближенные значения интеграла:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Для формулы Симпсона Rh/2 =

I = Ih/2 + Rh/2	= Ih/2	+	Ih/2 − Ih	.
			2p − 1

Эту формулу называют формулой экстраполяции по Ричардсону.

Ih/2 − Ih .

15

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Предметный указатель

квадратурная формула интерполяционного типа, 5 простейшая, 3 составная, 3

остаточный член квадратурной формулы, 4

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель