kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r9

	Раздел ¹ 9. Задача Коши
Содержание
Методы решения	4
Метод Пикара	5
Методы Рунге-Кутта	9
Неявные методы	17
Предметный указатель	24

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию с одной независимой переменной. Если независимых переменных больше, чем одна, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными.

С помощью обыкновенных дифференциальных уравнений строятся модели движения систем взаимодействующих частиц, электротехнических процессов в электрических цепях, кинетики химических реакций, процессов заселения уровней энергии в высокотемпературных средах и многих других объектов и процессов.

К задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений сводятся некоторые задачи для уравнений в частных производных, когда многомерное уравнение позволяет провести разделение переменных (например, при вычислении энергетического спектра частиц в полях определенной симметрии).

Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка при помощи замены переменных может быть сведено к системе уравнений первого порядка. Рассмотрим пример.

Дифференциальное уравнение третьего порядка

d3v

d2v

dv

a (x)

+ b (x)

+ c (x)

+ d (x) v = f (x)

dx3

dx2

dx

заменой переменных

d2v

dv

= v2,

= v1,

dx2

dx

приводится к следующей системе дифференциальных уравнений

dv

= v1,

dx

dv1

= v2,

dx

a (x) dvdx2 = −b (x) v2 − c (x) v1 − d (x) v + f (x) .

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

В общем виде преобразование выглядит следующим образом: дифференциальное уравнение n-го порядка

v(n)(x) = ϕ x, v, v0, v00, . . . , v(n−1) ,

заменой переменных

v(k) ≡ vk

сводятся к системе n уравнений первого порядка

vk0 = vk+1, 0 6 k 6 n − 2,

vn0 −1(x) = ϕ (x, v0, v1, v2, . . . , vn−1) ,

где обозначено v0 ≡ v.

В соответствии с изложенным, далее будут рассматриваться системы уравнений первого порядка:

vk0 (x) = ϕk (x, v1, v2, . . . , vn) , 1 6 k 6 n.

Решение системы n-го порядка зависит от n параметров c1, c2, . . . , cn.

Единственное решение получается при использовании дополнительных условий для искомой функции. В зависимости от того, каким образом ставятся данные условия, различают три типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задача Коши, краевая задача и задача на собственные значения.

В задаче Коши все дополнительные условия ставятся в одной точке:

vk(x0) = vk,0, 1 6 k 6 n.

Решение ищется в некотором интервале x0 6 x 6 xl.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Если правые части ϕk уравнений непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (x0, v1,0, v2,0, . . . , vn,0) и удовлетворяют условию Липшица по переменным vk, то решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т.е. задача является корректной. Условие Липшица формулируется следующим образом

|ϕk (x, v1,l, v2,l, . . . , vn,l) − ϕk (x, v1,m, v2,m, . . . , vn,m)| 6

6 L {|v1,l − v1,m| + |v2,l − v2,m| + . . . + |vn,l − vn,m| ,

для любых точек (x, v1,l, v2,l, . . . , vn,l) , (x, v1,m, v2,m, . . . , vn,m).

Методы решения

Можно выделить три метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений: точные, приближенные и численные.

Точные методы предусматривают получение решения в виде комбинации элементарных функций или в виде квадратур от последних. Возможности точных методов ограничены.

Приближенные методы сводятся к построению последовательности

функций wn(x), имеющих пределом искомую функцию v(x). Обрывая эту последовательность на каком-то k, получают приближенное решение.

Наиболее универсальными методами решения являются численные. Их основной недостаток — возможность получения только частного решения.

Следует иметь в виду следующее обстоятельство. Успех от применения численного метода сильно зависит от обусловленности задачи, т.е. задача должна быть хорошо обусловлена, а именно, малые изменения начальных условий должны приводить к малому изменению решения. В противном случае (слабой устойчивости) малые погрешности в начальных данных или погрешности численного метода могут приводить к большим погрешностям в решении.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Рассмотрим пример. Решим уравнение

dxdv = λ · v

с начальным условием v(x0) = v0. Имеем v(x) = v0eλ(x−x0).

При v0 = 0 получается решение v(x) = 0. Если предположить, что v0 не равно строго нулю, а имеет небольшое отклонение от нуля, например, v0 = 10−6, тогда при больших x будет иметь место следующая ситуация. Если λ < 0, то v(x) при увеличении x стремится к нулю, т.е. к невозмущенному решению. В этом случае решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Однако при λ > 0 с увеличением x v(x) неограничено возрастает, а именно, например, при x = 100, x0 = 0, λ = 1, v(100) = 10−6e1(100−0) = 2, 7 · 1037.

Таким образом, решение оказывается неустойчивым.

Далее будут рассматриваться алгоритмы решения задачи Коши на примере одного уравнения первого порядка v0(x) = ϕ(x, v). Обобщение на случай системы n уравнений осуществляется заменой v(x)

на v¯(x) и ϕ(x, v) на ϕ¯(x, v¯), где

v¯(x) = v1	v2 . . . vn , ϕ¯(x, v¯) =		ϕ2	.
			ϕ1
			ϕ·
			n

Метод Пикара

Данный метод является представителем класса приближенных методов решения. Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последовательных приближений для решения интегрального

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

уравнения, к которому приводится исходное дифференциальное уравнение. Пусть поставлена задача Коши

v0 (x) = ϕ (x, v(x)) ,

(9.1)

x0 6 x 6 xl,

v (x0) = v0.

Проинтегрируем выписанное уравнение

x
v (x) = v0 + Z	ϕ(t, v(t))dt.	(9.2)
x0

Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме

x
ys (x) = v0 + xZ0	ϕ(t, ys−1(t))dt,	(9.3)

причем y0(t) = v0.

Пример Решить методом Пикара уравнение

v0(x) = x3 + v3,

v(0) = 0.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

x

y1(x) = 0 + Z0

x4

t3dt =

,

4

x

y2(x) = 0 + Z0

4

x4

1

[t3 + (

t

)3]dt =

(1 +

x9),

4

4

42 · 13

x

4

y3(x) = 0 + Z0

1

{t3+[

t

(1 +

t9)]3}dt =

4

42 · 13

x4

x13

3

x9

3

x18

1

x27)

=

+

(1 +

+

+

3

2

·

4

· 13

6

2

4

4 · 13

4

22

4

· 31

4

· 13

· 40

и т.д.

Видно, что при x 6 1 ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.

Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной области g(x, v) правая часть ϕ(x, v) непрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменной v т.е.

|ϕ(x, v1) − ϕ(x, v2)| 6 L |v1 − v2| ,

где L — некоторая константа.

В силу ограниченности области g(x, v) имеют место неравенства

|x − x0| 6 l1, |v − v0| 6 V.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Вычтем из (9.3) формулу (9.2), получим для модулей правой и левой частей:

ys(x)

v(x)

=

x

ϕ(t, ys−1(t))dt

x

ϕ(t, v(t))dt

,

|

−

|

Z

− Z

x0

x0

или

x

|ys(x) − v(x)| 6 xZ0

|ϕ(t, ys−1(t)) − ϕ(t, v(t))| dt.

Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим

x

|zs(x)| 6 L Z

|zs−1(t)| dt,

(9.4)

x0

где zs(x) = ys(x) − v(x) — погрешность приближенного решения.

Последовательное применение формулы (9.4) при s = 1, 2, . . . дает следующую цепочку соотношений при учете того, что

|z0(x)| = |v0 − v(x)| 6 V,
	|z1(x)| 6 LV |x − x0| ,
|z2	1				,
	(x)| 6 2L2 · V (x − x0)2

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

|zs(x)| 6 s1!Ls · V |(x − x0)s| .

Т.к. |x − x0| 6 l1, то имеем

|zs(x)| 6 s1!Ls · V · l1s = s1!V · (L · l1)s.

Заменяя s! по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения

|zs(x)| 6	√	V	(	el1L		)s.	(9.5)
				s
		2π s

Из (9.4) следует, что при s → ∞ модуль погрешности |zs(x)| → 0, т.е. приближенное решение равномерно сходится к точному.

Методы Рунге-Кутта

Данные методы являются численными. На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие построение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее употребимы схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и рассмотрим ниже.

Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на отрезке [a, b] называется фиксированное множество точек этого отрезка ωN . Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией. Координаты точек xi удовлетворяют условиям

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−2 < xN−1 < xN = b.

Точки xi ωN являются Узлы сетки. Равномерной сеткой на [a, b] называется множество точек

ω		=	x	= a + ih	,	i = 0, 1, 2, . . . , N , где h =	b − a	−	шаг сетки.
	h		{ i	}			N

При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при h → 0. Обозначим значения сеточной функции yi значения точного решения дифференциального уравнения (9.1) в узле i−v(xi) (yi являются приближенными значениями v(xi)). Сходимость при h → 0 означает следующее. Фиксируем точку x и строим совокупность сеток ωh таким образом, что h → 0 и xi = a + ih = x (при этом i → ∞). Тогда считают, что численный метод сходится в точке x, если |yi − v(xi)| → 0 при h → 0 , xi = x . Метод сходится на отрезке [a, b] , если он сходится в каждой точке x [a, b]. Говорят, что метод имеет p-й порядок точности, если можно найти такое число p > 0, что

|yi − v(xi)| = O(hp) при h → 0.

Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимации разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка ψi представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (9.1) v(x) в разностное уравнение. Например, (9.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением

yi+1 − yi	−	ϕ(x	, y	) = 0,	i = 0, 1, 2, . . . , y		= v	.
h		i	i			0	0

Тогда невязка определится следующим выражением

ψi = −ui+1 − ui + ϕ(xi, yi). h

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель