m = −5, 747

m := f1(−0, 4)

M := f1(0)						M = −3
α :=		2				α = −0, 229
	m + M
q :=		M − m				q = 0, 314
m + M
Выполним 3 итерации по расчетной формуле			x = φ(x) = x					αf(x).
							−

φ(x) = x − αf(x)

1 итерация: x0 := −0, 4; y = φ(x0); y = −0, 3989264935.

2 итерация: x0 := −0, 3989264935; y = φ(x0); y = −0, 3992627662. 3 итерация: x0 := −0, 3992627662; y = φ(x0); y = −0, 399157617.

Погрешность найденного значения: |y − (−0, 3991826759)| = 2, 506 · 10−5.

Метод Ньютона

Метод Ньютона (метод касательных) для приближенного решения уравнения f(x) = 0 состоит в построении итерационной последовательности

f(xn)	(2.23)
xn+1 = xn − f0(xn)

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

что сходится к корню уравнения на отрезке [a, b] локализации корня.

Теорема 9 Если f(a)f(b) < 0, причем f0(x) и f00(x) не равны нулю и сохраняют определенные знаки при a 6 x 6 b, то, исходя из начального приближения x0 [a, b], удовлетворяющего неравенству

f(x0)f00(x0) > 0

(2.24)

можно вычислить методом Ньютона единственный корень ξ уравнения (2.8) с любой степенью точности.

Доказательство. Пусть, например, f(a) < 0, f(b) > 0, f0(x) > 0, f00(x) > 0 при a 6 x 6 b (другие случаи рассматриваются аналогично). Соответственно неравенству (2.24) имеем f(x0) > 0. (например, можно принять x0 = b). Методом математической индукции докажем, что все приближения xn > ξ (n = 0, 1, 2 . . .)и, значит, f(xn) > 0. В самом деле, прежде всего, x0 > ξ. Пусть теперь xn > ξ. Положим

ξ = xn + (ξ − xn).

Применяя формулу Тейлора, получим:
0 = f(ξ) = f(xn) + f0(xn)(ξ − xn) +	1	f00(cn)(ξ − xn)2,	(2.25)
	2

где ξ < cn < xn. Поскольку f00(x) > 0, имеем:

f(xn) + f0(xn)(ξ − xn) < 0

и значит, xn+1 = xn − f0(xn) > ξ, что и нужно было доказать.

f (xn)

Учитывая знаки f(xn) и f0(xn), имеем: xn+1 < xn (n = 0, 1, . . . ), то есть последовательные приближения x0, x1, . . . , xn,. . . образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Итак,

существует ξ = lim xn.

n→∞

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Переходя к пределу в равенстве (2.23), будем иметь:

ξ = ξ − f(ξ) , f0(ξ)

то есть f(ξ) = 0. Отсюда ξ = ξ, что и нужно было доказать.

Поэтому, применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки x0 выбирается тот конец интервала [a, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак f00(x).

Замечание. Из формулы (2.23) видно, что чем большее численное значение f0(x) в окрестности корня, тем меньшей есть поправка, которую надо прибавить к предыдущему приближению, чтобы получить следующее. По этой причине метод Ньютона в особенности удобен тогда, когда в окрестности корня график функции имеет большую кривизну. Если же f0(x) возле корня — маленькая, то применять данный метод не рекомендуется.

Для оценки погрешности n-го приближения xn можно воспользоваться , формулой
ξ	x	n| 6	|f(xn)|		,			(2.26)
| −			m1
где m1 наименьшее значение |f0(x)| на отрезке [a, b].
Выведем еще одну формулу для оценки точности приближения xn.
Применяя формулу Тейлора, имеем:
f(xn) = f[xn−1 + (xn − xn−1)] =				1		(ξn−1)(xn − xn−1)2	,	(2.27)
= f(xn−1) + f0(xn−1)(xn − xn−1) +				2 f00

где ξn−1 (xn−1, xn). Поскольку из определения приближения xn имеем:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

f(xn−1) + f0(xn−1)(xn − xn−1) = 0,

то из (2.27) находим:

|f(xn)| 6 12M2(xn − xn−1)2,

где M2 — наибольшее значение |f00(x)| на отрезке [a, b]. Итак, на основании формулы (2.26) окончательно получаем:

|ξ − xn| 6	M2	(xn − xn−1)2.	(2.28)
	2m1

Если процесс сходится, то xn −xn−1 → 0 при n → ∞. Поэтому при n > N имеем: |ξ −xn| 6 |xn −xn−1|, то есть начальные десятичные знаки приближений xn−1 и xn, начиная с некоторого приближения, есть

верными.

Заметим, что в общем случае совпадение с точностью до ε двух последовательных приближений xn−1 и xn совсем не гарантирует, что с той же точностью совпадают значения xn и точный корень ξ.

Проанализируем абсолютные погрешности двух последовательных приближений xn и xn+1. Из фор-

мулы (2.25) получаем:
	f(xn)				1 f00(cn)
ξ = xn −			−							(ξ − xn)2,
	f0(xn)				2			f(xn)
где cn (xn, ξ). Отсюда, учитывая формулу (2.23), будем иметь:
			1			f00(cn)
ξ − xn+1 = −				·					(ξ − xn)2
			2			f0(xn)

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

|ξ − x0| 6 q < 1.

и, значит,
|ξ − xn−1| 6	M2	(ξ − xn)2.	(2.29)
	2m1

Формула (2.29) обеспечивает быструю сходимость процесса Ньютона, если начальное приближение x0 такое, что

M2

2m1

В частности, если µ = M2 6 1 и |ξ − xn| < 10−2m, то есть приближение xn имело m верных десятич-

2m1

ных знаков после запятой, то следующее приближение xn+1 будет иметь не меньше 2m верных знаков; другими словами, если µ 6 1, то с помощью метода Ньютона число верных знаков после запятой искомого корня ξ удваивается на каждом шаге.

Пример. Найти корень уравнения `x − 10x = 0 с точностью ε = 10−3.

1.Это уравнение имеет один корень на [0, 1]. (f(0)f(1)) < 0)

2.Найдем производные

f(x) = `X − 10x; f0(x) = `X − 10; f00(x) = `X .

3.Выбираем начальное приближение корня x0 [0, 1] так, чтобы f(x0) · f00(x0)i0. Выбираем x0 = 0, так как f(0)f00(0) > 0.

4.Строим итерационную последовательность:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

x

= x

f(x0)

= 0

e0

=

−1

= 0.1111,

1

0 − f0(x0)

− e0

−

10

9

f(x1)

`

0.1111−

0.00640

x

= x

= 0.1111

− 1.111

= 0.1111 +

=

2

1 − f0(x1)

−

`0.1111 − 10

8.8824

=0.1111 + 0.00072 = 0.11183.

5.Вычисление прекращаем , так как |x2 − x1| < ε, и за приближенное значение корня с точностью

10−3 принимаем ξ = x2 = 0.11183.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель