Раздел ¹ 10. Численное решение уравнений в частных производных

Содержание

Разностные схемы. Основные понятия	2
Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем	4
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа	8
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий	10
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона	16
Метод матричной прогонки	24
Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле	26
Уравнение параболического типа. Явные и неявные конечноразностные методы	27
Методы прогонки для уравнения параболического типа	35
Предметный указатель	37

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Разностные схемы. Основные понятия

Пусть Д — некоторая область изменения независимых переменных x, y, ограниченная контуром . Говорят, что в области Д задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(x, y), если для любой точки из области Д имеет место соотношение

L(U) = a(x, y)			∂2U	+ 2b(x, y)			∂2U	+ c(x, y)	∂2U	+
			∂x2				∂x∂y		∂x2		(10.1)
+2d(x, y)	∂U	+ 2e(x, y)			∂U	+ g(x, y)U = f(x, y),
	∂x				∂x

где a(x, y), b(x, y), . . . — коэффициенты, f(x, y) — свободный член уравнения. Эти функции известны и их обычно считают определенными в замкнутой области Д = Д + .

График решения представляет собой поверхность в пространстве Oxyz.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

z

u=u(x,y)

y

0

x

Рис. 10.1.

Обозначим δ(x, y) = b2 − ac. Уравнение L(U) = f называется эллиптическим, параболическим или

гиперболическим в Д, если соответственно выполняются условия δ(x, y) < 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) > 0 для

всех (x, y) Д.

В зависимости от типа дифференциального уравнения по-разному ставятся граничные начальные

условия, связанные с этим уравнением. Далее мы будем рассматривать частные случаи уравнения

(10.1):

• Уравнение Пуассона (уравнение эллиптического типа)

∂2U ∂2U

∂x2 + ∂y2 = f(x, y)

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

• Уравнение теплопроводности (уравнение параболическго типа)

∂U = ∂2U + f(x, t) ∂t ∂x2

• Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)

∂2U ∂2U

∂x2 + ∂y2 = f(x, y)

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем

Пусть U есть решение дифференциального уравнения

L(U) = f,

(10.2)

заданного в Д. Рассмотрим некоторое множество Дh = {Mh} состоящее из изолированных точек Mh, принадлежащих замкнутой области Д = Д + . Число точек в Дh, будем характеризовать величиной h; чем меньше h, тем большим будет число точек в Дh. Множество Дh называется сеткой, а точки Mh Дh — узлами сетки. Функция, определенная в узлах, называется сеточной функцией. Обозначим через U пространство непрерывных в D функций V (x, y). Через Uh обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций Vh(x, y), определенных на Дh. В методе сеток осуществляется замена пространства U на пространство Uh.

Пусть U(x, y) — точное решение уравнения ((10.2)) и U(x, y) принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений Uh(x, y). Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

равно числу точек в Дh. Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения U(h), относительно которых можно предполагать, что

U(h) ≈ Uh(x, y).

Величины U(h) называются приближенными сеточными значениями решения U(x, y). Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде

Lh(U(h)) = fh,

,

. Если

, то

(10.3)

где L

h

есть разностный оператор,

соответствующий оператору

(h)

Fh

f(x, y) F

обра-

h

L

f

Fh

зуется по F аналогично тому, как U

образовывалось по U. Формулу (10.3) будем называть разностной

схемой. Пусть в линейных пространствах Uh и Fh введены соответственно нормы k · kUh и k · kFh, которые являются сеточными аналогами норм k · kU и k · kF в исходных пространствах. Будем говорить, что разностная схема (10.3) является сходящейся, если при h → 0 выполняется условие

kUh(x, y) − UhkUh → 0.

Если выполняется условие

kUh(x, y) − UhkUh 6 chs,

где c — постоянная, не зависящая от h и s > 0, то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s относительно h.

Говорят, что разностная схема (10.3) аппроксимирует задачу (10.2) на решении U(x, y), если

Lh(Uh(x, y)) = f(h) + δf(h) и	δf(h) Fh → 0 приh → 0.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Величина δf(h) называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если

δf(h) Fh 6 Mhσ, где M — константа, не зависящая от h и σ > 0, то говорят, что задана разностная схема (10.3) на решении U(x, y) с погрешностью порядка σ относительно h.

Разностная схема (3) называется устойчивой, если существует такое h0 > 0, что для всех h < h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

1.	Разностная схема (10.3) имеет единственное решение;
2.	U(h) Uh		6 M	f(h) Fh, где M — постоянная, не зависящая от h и f(h).

Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема 1 Пусть разностная схема Lh(Uh(x, y)) = f(h) аппроксимирует задачу L(U) = f на решении U(x, y) с порядком s относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. будет справедлива оценка

Uh(x, y) − Uh Uh 6 khs,		(10.4)

где k — постоянная, не зависящая от h.

Доказательство. По определению аппроксимации имеем

df	(h) Fh 6 chs, где δf(h) = Lh(Uh(x, y)) − f(h).

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Обозначим εh(x, y) = Uh(x, y)−U(h). Легко видеть, что в силу линейности Lh для εh(x, y) имеет место формула Lh(εh(x, y)) = δf(h).

Отсюда, используя определение устойчивости, получим:

kεh(x, y)kUh 6 M δ · f(h) Fh 6 M(Chs) = Khs,

где K = MC. Таким образом, оценка (10.4) установлена и теорема доказана. Обычно применение метода сеток заключается в следующем:

1.Вначале указывается правило выбора сетки, т.е. указывается метод замены области Д и контура Г некоторой сеточной областью. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2.Затем указывается и строится конкретно одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации и устанавливается ее порядок.

3.Доказывается устойчивость построенных разностных схем. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если разностная схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости судят по доказанной теореме.

4.Рассматривается вопрос численного решения разностных схем.

Вслучае линейных разностных схем это будет система линейных алгебраических уравнений. Порядок таких систем может быть большим.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель