kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r9

Рассмотрим еще один неявный метод более высокого порядка аппроксимации (второго)

	yn+1 − yn	=	1		[ϕ(xn+1, yn+1) + ϕ(xn, yn)] .	(9.21)
	h		2

Этот метод получается заменой интеграла от правой части (9.1) на длине шага по формуле трапеций. Применительно к уравнению (9.15) метод (9.21) выглядит следующим образом:

1 + 0, 5µ yn+1 = 1 − 0, 5µyn,

1 + 0, 5µ

т.е.		1 − 0, 5µ		6 1, если Reµ 6 0, т.е. метод (9.21) относится к A-устойчивым.
	Существует доказательство следующих положений:

•среди методов (9.12) не существует явных A-устойчивых методов;

•среди неявных линейных многошаговых методов нет A-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго.

A-устойчивые разностные схемы весьма эффективны при решении так называемых жестких систем уравнений, так как эти методы не накладывают ограничений на шаг h. Рассмотрим подробнее это утверждение.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

	dv¯	= Av¯	(9.22)
	dx

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

с независящей от x матрицей A(m × m) называется жесткой, если Reλk < 0, k = 1, 2, . . . , m и отношение max |Re λk|

16k6m

s = min |Re λk| велико, где λk- собственные числа матрицы A. Величина s называется числом жестко-

16k6m

сти. Если матрица A зависит от x, то и λk — зависят от x , тогда вводится переменное число жесткости

max |Re λk(x)|

s(x) =

16k6m

min |Re λk(x)|

16k6m

и оперируют с величиной sup s(x) на отрезке интегрирования.

Отличительной особенностью жестких систем является наличие в их решении как быстро, так и медленно убывающих компонент. При x > 0 решение системы практически определяется медленно убывающей компонентой, однако, если воспользоваться явными разностными методами, то быстро убывающая составляющая будет отрицательно влиять на устойчивость, и в результате весь расчет необходимо вести с малым шагом интегрирования. При использовании же неявных методов ограничения на шаг сняты, и его величину определяют из условия достижения нужной точности, не заботясь особо об устойчивости.

При решении жестких систем дифференциальных уравнений хорошо зарекомендовал себя метод Гира, который относится к чисто неявным многошаговым разностным методам, общая формула которых выглядит следующим образом:

m

X

akyn−k = hϕ(xn, yn),

k=0

т.е. рассматривается частный вариант метода (9.12), когда b1 = b2 = . . . = bm = 0, а b0 = 1.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

При m = 1 и a0 = 1, a1 = −1 имеем yn − yn−1 = hϕ(xn, yn), т.е. неявный метод Эйлера. При m = 2 и m = 3 методы выглядят следующим образом

3				− 2yn−1 +					1
			yn							yn−2 = hϕ(xn, yn),
		2							2
11						3					1
	yn − 3yn−1				+			yn−2 −					yn−3	= hϕ(xn, yn).
6							2					3

(9.23)

(9.24)

Разностное уравнение (9.23) имеет второй порядок точности, а (9.24) - третий. Чтобы найти область устойчивости метода, следует записать аналогичные уравнения для дифференциального уравнения (9.15). Например, (9.23) примет вид

3	yn − 2yn−1		1		= µ · yn.
		+		yn−2
2			2

Соответствующее характеристическое уравнение запишется следующим образом

(	3	− µ)q2 − 2q +	1	= 0.	(9.25)
	2		2

Наша задача — определить область комплексной плоскости µ = µ0 + iµ1, в точках, в которых оба корня (9.25) по модулю меньше единицы. Оказывается, что эта область целиком располагается в правой плоскости и метод (9.23) является A-устойчивым.

Метод (9.24) относится к так называемым A(α)-устойчивым методам.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Предметный указатель

сетка, 9 сеточная функция, 9

узлами сетки, 10

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель