Разностные схемы для уравнений эллиптического типа
Этот тип задач мы рассмотрим на примере уравнения Пуассона с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим в некоторой области Д с границей Г уравнение Пуассона
	∂2U	+	∂2U	= f(x, y).		(10.5)
	∂x2		∂y2
Выберем прямоугольную сетку по правилу (m, n) Гh.
К сеточной области Дh отнесем все узлы, принадлежащие области Д = Д + Г.
	y			Г
					(m,n+1)
l	Д			x	(m,n)
						(m+1,n)
				(m-1,n)
	h				(m,n-1)
		Рис. 10.2.
	•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Возьмем пятиточечный шаблон. Пользуясь расположением точек в этом шаблоне, разобьем узлы области на две категории: внутренние и граничные. Узел (m, n) будем считать внутренним, если он сам и четыре соседних точки шаблона принадлежат области Дh. Обозначим множество внутренних узлов через Д0h. Остальные узлы назовем граничными и их множество обозначим через Гh.

Дh = Д0h + Гh.

Очевидно, что разбиение узлов из Дh на внутренние и граничные зависит от выбранного шаблона. Пусть узел (m, n) Д0h. Замену дифференциального уравнения (10.5) разностным будем осуществлять только во внутренних узлах. Имеем

∂2U

(xm,yn)

∂2U

(xm,yn)

= f(xm, yn).

(10.6)

∂x2

+ ∂y2

получим

Воспользовавшись аппроксимацией

вторых производных,

U(xm+1, yn) − 2U(xm, yn) + U(xm−1

, yn)

h2 ∂4U

+

− 12 ∂x4

h2

xm1 ,yn

U(xm, yn+1)

2U(xm, yn) + U(xm, yn 1)

l

2

4

U

(10.7)

∂

+

−

−

= f(xm, yn),

l

2

− 12 ∂y

4

xm,yn1

(m, n)

0

(1)

(1)

Дh, xm

−

1 < xm < xm+1, yn 1

< yn < yn + 1.

∂4U

∂4U

−

Пусть

и

ограничены по абсолютной величине в Д. Тогда в формуле (10.7) при достаточно

∂x4

∂y4

малых h и l можно пренебречь членами, содержащими в качестве множителей h2 и l2, и мы получим искомое разностное уравнение

L(1)	(U(h)) = f(h),	(10.8)
h

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

где

L(1)(U(h))

≡

Um+1,n − 2Um,n + Um−1,n + Um,n+1 − 2Um,n + Um,n−1

h

h2

l2

(m, n) Дh0 , f(h) ≡ f(xm, yn).

В силу определения невязки уравнения можно получить

Lh(1)(Uh(x, y)) = f(h) + δ · f(h),

(10.9)

где Uh(x, y) — точное решение в узлах,

δ

·

f(h)

≡

h2 ∂4U

(xm(1)

+

l2 ∂4U

,

(m, n)

Дh0 .

(10.10)

12 ∂x4

,yn)

12 ∂y4

(xm,yn(1))

∂4U

∂4U

При сделанных предположениях относительно

и

, как видно из (10.10), имеет место оценка

∂x4

∂y4

M

h

l =

δ · f

(h)

Fh 6 Mh2,

(10.11)

где — постоянная, не зависит от

и

·

h.

α

Оценка (10.11) означает, что разностное уравнение (10.8) аппроксимирует уравнение (10.5) на решение U(x, y) с погрешностью порядка O(h2).

Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий

Куравнениям эллиптического типа, в частности, к уравнению Пуассона (10.5), на границе Г области

Дприсоединяются граничные условия трех видов:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

1. Граничные условие 1-го рода

U|∂ = φ(M).

(10.12)

2. Граничные условия 2-го рода

∂U

= φ(M). ∂n ∂

∂U

∂n

— производная по внешней нормали.

3. Граничные условия 3-го рода

α(x, y)∂U∂n + β(x, y)U = φ(M)

∂

α, β, φ — известные функции.

(10.13)

(10.14)

Если требуется определить функцию U(x, y), которая в области Д удовлетворяет уравнению (10.5), а на границе Г — одному из краевых условий, то говорят, что поставлена граничная задача для эллиптического уравнения. Задача (10.5), (10.12) называется задачей Дирихле, задача (10.5), (10.13) — задачей Неймана, а задача (10.5), (10.14) — смешанной граничной задачей.

Рассмотрим, как можно заменить граничные условия первого рода разностными условиями. Отметим, что граничные условия заменяются условиями на множестве граничных узлов Гh.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

y			Г
l	M	B	A	Д
	0			x
	h
	Рис. 10.3.
Пусть (m, n) — некоторый узел из Гh; обозначим его буквой B; (m+1, n) — внутренний узел, ближай-
ший к B по направлению X, обозначим его буквой A. Буквой M обозначим точку контура Г, ближайшую
к B по направлению X. Координаты этих точек такие:
M(xm − δ, yn), 0 < δ < h, B(xm, yn), A(xm+1, yn).
По условию (10.12) имеем U|Г = φ(M).
Значит, можно положить
для узлов (m, n) Гh.	Umn = φ(M) = φ(xm − δ, yn)				(10.15)
Найдем погрешность формулы (10.15). Имеем:
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

φ(M) = U(xm − δ, yn) = U(xm, yn) − δ			∂U		xm(1)	,yn ,
			∂x
xm − δ < xm(1) < xm.
Следовательно, U(xm, yn) − φ(M) = U(xm, yn) − Umn = − δ ∂x xm(1)					,yn .
	∂U
Отсюда следует, что погрешность формулы (10.15) будет иметь					первый порядок относительно h в

предположении, что δ = αh. Если точки M и B совпадают, то формула (10.15) будет точной.

Точность вычисления Umn при (m, n) Гh можно повысить, если воспользоваться еще значением U(x, y) в точке A.

Имеем:

∂U

U(M) = U(xm − δ, yn) = U(B) − δ + O(δ2. ∂x B

∂U

U(A) = U(xm + h, yn) = U(B) + h + O(δ2. ∂x B

∂U

Исключив из (10.16) с помощью (10.17), получим:

∂x B

U(B) = hφ(M) + U(A)δ + O(h2). h + δ

(10.16)

(10.17)

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Отбросив здесь величину O(h2), получим разностное граничное условие, аппроксимирующее гра-
ничное условие (10.12) в узле (m, n) hh с погрешностью O(h2):
Umn = hφ(M) + Um+1,nδ .			(10.18)
	h + δ
Обратимся теперь к замене граничного условия 2-го рода разностным уравнением.
y
	M	π
A	B
	C		x
	Г
	Рис. 10.4.
Пусть B — граничный узел с координатами (xm, yn); M — ближайшая к B точка контура Г; A —
внутренний узел с координатами (xm−1, yn); c — граничный узел с координатами (xm, yn−1), ~n — внешняя
нормаль к Г в точке M. Обозначим угол между ~n и осью Ox через α, между ~n и осью Oy — через β.
Очевидно, что β = 3π + α.
2
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

По определению имеем

∂U∂n = ∂U∂x cos α + ∂U∂y cos β = ∂U∂x cos α + ∂U∂y sin α.

Предположим, что в B направление нормали такое же, как и в M. Поскольку расстояние между B и M есть величина порядка O(h), то это предположение связано с внесением погрешности того же

	∂U			∂U
порядка O(h). Значит,	∂n	M	≈	∂n	B.
Поэтому окончательно получим:

U(xm, yn) − U(xm−1, yn)	cos α +		U(xm, yn) − U(xm, yn−1)			sin α + O(h + l) = φ(M).
h				l
Используя приблизительные сеточные значения, найдем
Um,n − Um−1,n		cos α +		Um,n − Um,n−1	sin α = φ(M).		(10.19)
h				l

Эта формула является разностной аппроксимацией в узле (m, n) Гh граничного условия второго рода с погрешностью O(h + l).

Выражения вида (10.19) должны быть записаны для всех граничных узлов (m, n) Гh, после чего будут получены разностные граничные условия, аппроксимирующие граничные условия (10.13). Процедура замены граничных условий разностными может оказаться весьма громоздкой и сложной, особенно если контур Г имеет непростую форму. Замена граничных условий третьего рода может быть осуществлена с помощью формул вида (10.15), (10.18), (10.17).

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель