если все подставить в эту формулу, то получаем e = 0(Δt) + 0[(Δx)2].

Это говорит о том, что конечноразностный метод имеет первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространственной переменной. Наше e дает нам погрешность приближенного решения на одном шаге по времени. То, что из сходимости разностного метода не обязательно следует сходимость приближённого решения к точному, связано с проблемой устойчивости разностной схемы.

Методы прогонки для уравнения параболического типа

На отрезке 0 6 x 6 a, 0 6 t 6 b решить уравнение

∂T

=

∂2T

,

которое удовлетворяет условиям

∂t

∂x2

T (0, x) = f(x), T (t, 0) = φ(t), T (t, a) = ψ(t).

Выбираем шаги h = x, τ =

t, по аргументам x и t соответственно. В каждом внутреннем узле

заменяем производную конечно-разностными выражениями

∂2T

=

Tjm+1 − 2Tjm + Tjm−1

;

∂T

=

Tjm − Tjm−1

.

∂x2

h2

∂t

τ

Вычислим значения f(x), φ(t), ψ(t) в граничных узлах. Обозначив µ = h2/τ, получаем систему

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

m+1	m+1	m+1	m	= 0, j = 1, 2, . . . , N − 1 m = 0, 1, 2, . . .
Tj−1	− (2 + µ)Tj	+ Tj+1	+ µTj 0
			Tj	= f(xj),

T0m = ϕ(tm), TNm = ψ(tm).

Метод прогонки решения этих систем состоит в том, что уравнение приводится к виду

T m+1	= am+1(bm+1		+ T m+1).	(10.44)
j	j	j	j+1

Прямым ходом, вычислим величины amj +1, bmj +1 по формулам

	ajm+1 =		1	, bjm+1 = ϕ(tm+1) + µT1,
			2 + µ
ajm+1 =	1	, bjm+1 = ajm−+11 bjm−+11 + µTjm, j = 1, 2, . . . , N − 1.
	2 + µ − ajm−+11

На первом шаге обратного хода находим значение TNm+1 = ψ(tm+1). И последовательно, выполняя обратный ход, определяем значение Tjm+1 (j = N − 1, . . . , 1) по формулам (10.44)

TNm−+11 = amN+1−1(bmN+1−1 + TNm+1), TNm−+12 = amN+1−2(bmN+1−2 + TNm−+11 ),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T1m+1 = am1 +1(bm1 +1 + T2m+1).

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Предметный указатель

разностная схема, 32

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель