Множини

Під множиною розуміють об’єднання в одне ціле об’єктів, що добре виокремлюються нашою думкою або інтуїцією.

Об’єкти, що утворюють множину, називають елементами множини. Елементи позначаються малими літерами латинського алфавіту, а множини великими.

Якщо елемент т належить множині М, то записують , а якщо ні, то.

Множина А, що строго включена до В, позначається як . Це означає, щоВ містить і інші елементи, крім елементів А.

Дві множини рівні в тому випадку, коли вони складаються з одних і тих самих елементів. Тому для будь-яких множин А і В, якщо вони рівні, рівність позначається як А=В.

Порядок елементів у множині не є суттєвим. Множини не містять однакових елементів.

Слід розрізняти об’єкт і множину, єдиним елементом якої є цей об’єкт. Так, множина становить об’єкт, який є елементом множини. Множиниіне рівні, оскільки перша є одноелементною множиною, що має єдиний елемент, а друга має два елементи – 1 і 2.

Якщо множина не містить жодного елемента, то вона називається порожньою і позначається Ø. Але множина {Ø} не є порожньою, тобто Ø={Ø}, ця множина є одноелементною. Її єдиним елементом є порожня множина.

Приклад 1. Чи є множини рівними?

Розв’язання

Оскільки множини складаються з одних і тих самих елементів, то вони будуть рівними.

Приклад 2. Чи правильно, що ?

Розв’язання

Неправильно, оскільки в правій множині відсутній елемент .

Об’єднанням множин А і В називається множина, що складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать хоча б одній із множин А або В і позначається .

Приклад 3. Знайти об’єднання множин

Розв’язання

Перетином множин А і В називається множина, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать як до множини А, так і до множини В і позначається .

Приклад 4. Знайти перетин множин і

Розв’язання

Різницею множин А і В називається множина, що складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать А і не належать В і позначається А\В.

Приклад 5. Знайти різницю множин і

Розв’язання

Універсальною множиною називається множина І (позначається також U), для якої решта всіх інших множин є підмножинами.

Для універсальної множини виконуються рівності: .

Доповненням множини А до універсальної множини І називається множина , що визначається за співвідношенням.

Справедливі відношення

Ø; Ø=А

Алгебра логіки

Функція F від п аргументів називається логічною, якщо вона так само, як і її змінні може приймати лише два значення.

Основні логічні функції

- кон'юнкція (логічне множення);

- диз’юнкція (логічне додавання);

- заборона за В;

- заборона за А;

- імплікація від А до В;

- логічна нерівнозначність;

~логічна рівнозначність;

- операція Пірса (стрілка Пірса);

- операція Шефера (штрих Шефера)

Перетворення логічних функцій, доведення тотожностей

Доведення правильності логічної формули легко отримати за допомогою безпосередньої перевірки в таблицях істинності за збіжністю значень, що утворюють праву і ліву сторони співвідношень, які доводяться.

Приклад 1. Необхідно довести, що в логічній функції ліва і права частини рівні між собою.

Розв’язання

Будуємо таблицю істинності для цієї функції і розглядаємо рівність лівої і правої частин на кожному наборі.

А	В
0	0	0	1	1	1	0
0	1	0	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	1

Із таблиці істинності слідує, що ліва і права частини функції рівні на кожному наборі значень логічних змінних, які входять до неї.

Приклад 2. Необхідно довести, що в логічній функції ~ліва і права частини рівні між собою.

Розв’язання

Будуємо таблицю істинності для цієї функції і розглядаємо рівність лівої і правої частини на кожному наборі.

А	В	А~В		В		А
0	0	1	1	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	1	0	1	1

Із таблиці істинності слідує, що ліва і права частини функції рівні на кожному наборі значень логічних змінних, які входять до неї.